2023-2024学年黑龙江省大庆市名校高一（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市名校高一（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 用列举法可将集合，，表示为( )
A. B.
C. ， D. ，，，
2. 已知集合，集合且，则( )
A. B. C. D.
3. 若集合，，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
4. 不等式的解集是( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
5. 将多项式进行因式分解，正确的是( )
A. B. C. D.
6. 已知，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
8. 某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价单位：元件与月销售量单位：件之间的关系为，生产件的成本单位：元若每月获得的利润单位：元不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为( )
A. B. C. D. 或或
10. 下列公式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11. 若，，且，则下列不等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知关于的方程，下列说法正确的是( )
A. 若方程有两个互为相反数的实数根，则
B. 若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
C. 若二次三项式是完全平方式，则
D. 若，则方程必有两个不相等的实数根
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知，，则 ______ ．
14. 不等式的解集为______ ，不等式的解集为______ ．
15. 已知，则 ______ ．
16. 不等式的解集是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
用十字相乘法分解因式：
；
．
18. 本小题分
若、分别是一元二次方程的两根，求下列代数式的值：
；
；
．
19. 本小题分
；
；
；
．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
已知关于的一元二次不等式的解集为，求．
22. 本小题分
设，解关于的不等式：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，表示为，，，．
故选：．
根据元素与集合的关系及描述法的定义即可得出正确的选项．
本题考查了集合的描述法和列举法的定义，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，可得，所以，
对于集合，，则，解得，
由于，所以．
故选：．
解不等式求得集合，从而求得集合．
本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，，
可知集合，，，，，，，，，故共有个元素．
故选：．
根据集合中元素的特征即可列举求解．
本题考查集合中元素的个数，考查集合的表示方法，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不等式对应方程的解是，和，
画出函数的大致图象，如图所示：
由图可知不等式的解集是或．
故选：．
利用数轴标根法即可求得正确的答案．
本题考查了可化为一元一次不等式的高次不等式解法与应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：解可得，或，
所以．
故选：．
求出方程的解，即可得出答案．
本题考查因式分解定理，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，，
所以，，
所以．
故选：．
根据题意，由不等式的性质求出，的范围，两式相加即可得出答案．
本题考查不等式的性质以及应用，注意不等式加减的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，取，，显然满足，但，故A错误；
对于，，则有，故B正确；
对于，取，，，，满足，，此时，故C错误；
对于，取，，，，满足，，但此时，故D错误．
故选：．
根据题意，利用特殊值法判断、、，利用作差法判断，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及证明，注意作差法的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，得，
令，得，即，
，解得．
该厂的月销售量的取值范围为．
故选：．
根据题意，建立利润函数，列出不等式，求解可得答案．
本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．
利用元素与集合的关系直接求解．
【解答】
解：集合中有个元素，，，且当时，，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则．
综上可知，或．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：，A正确；
，B正确；
，C正确；
，D错误．
故选：．
根据数学运算有关公式确定正确选项．
本题考查了完全平方公式、平方差公式和立方差公式，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，则，故A错误；
对于，由，两边同时乘以，，故B正确．
对于，当时，有，故C错误；
对于，因为，，则，故D正确．
故选：．
根据题意，取特值可判断，；由不等式的性质可判断，，综合可得答案．
本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对，若方程有两个互为相反数的实数根，，则由韦达定理可得，即，故A正确；
对，若方程没有实数根，则，故．
又，故，则方程判别式，故方程必有两个不相等的实数根，故B正确；
对，若二次三项式是完全平方式，则令有，故，则成立，故C正确；
对，若，则，解得仅有，故D错误．
故选：．
对，根据韦达定理判断即可；对，根据判别式正负分析即可；对，令再展开根据系数关系判断即可；对，举反例判断即可．
本题主要考查了方程根的存在及方程的根与系数关系的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题给出集合，求中所有元素的绝对值构成的集合，着重考查了集合的含义与表示法等知识，属于基础题．
根据绝对值的含义，将集合中的元素分别取绝对值，并且相同的元素算一个，这样即可得到集合中所有的元素．
【解答】
解：由于，，
则当时，；当时，；
当时，；当时，，
因此集合共有个元素：，，得
故答案为
14.【答案】
【解析】解：由不等式，可得或，解得或，
故不等式的解集为．
由不等式，可得，即，
故有，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：；．
由不等式，可得或，由此求出不等式的解集．
本题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
利用条件，充分后变形得到，代入所求式中即可求出结果．
本题考查了对数的运算性质，考查转化思想，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：要使不等式有意义，则有，解得：．
当时，不等式恒成立；
当时，不等式可化为，解得：，
所以，因为，
所以，
综上：原不等式的解集为．
故答案为：．
解根式不等式，要先求定义域，然后再解不等式，根据题意可知不等式成立的条件是，然后解不等式，取交集即可求解．
本题主要考查了含有根式的不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础题．
17.【答案】解：；
．
【解析】利用十字相乘法直接进行因式分解即可求解．
本题考查因式分解定理，属于基础题．
18.【答案】解：对于方程，，由韦达定理可得，，
所以；
；
．
【解析】列出韦达定理，可得出，即可得解；
由，结合韦达定理可得解；
利用立方和公式以及韦达定理可得解．
本题主要考查了韦达定理的应用，考查了立方和公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：不等式，可化为，
解得或，
所以该不等式的解集为；
不等式，
因为恒成立，
所以该不等式的解集为；
不等式，可化为，
即，解得，
所以不等式的解集为；
不等式，可化为，即，
所以该不等式的解集为．
【解析】根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案；
根据配方法将不等式转化为，进而分析可得答案；
根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案；
根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
20.【答案】解：原式，
当时，
原式．
【解析】由题可得原式，进而即得．
本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
21.【答案】解：关于的一元二次不等式的解集为，
所以，即，解得；
所以的取值范围是．
【解析】根据一元二次不等式的解法利用判别式即可求出的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
22.【答案】解：由可得，
当时，原不等式即为，解得，
当时，解方程可得或，
当时，，解原不等式可得或，
当时，则，解原不等式可得，
当时，原不等式即为，解得，
当时，，解原不等式可得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
【解析】将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解．
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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