江西省宜春市宜丰县中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

宜丰县中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．下列函数中定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
3．直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ）
A．，2 B．， C．， D．，2
4．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．八一广场是南昌市的心脏地带，八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、西、南三门各有一副反映武装起义的人物浮雕，塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得的长为m．已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列式子表示正确的是：（ ）
A． B．
C． D．为第二象限的角，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．过两点的直线方程为
B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
C．点关于直线的对称点为
D．直线必过定点
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．函数的图象关于对称
C．是函数图象的一条对称轴
D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为
C．四棱锥体积最大值为
D．四面体为“鳖臑”
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．若复数是纯虚数，则实数a的值为 .
14．已知函数，则 .
15．函数，若对于任意的有恒成立，则实数的最小值是 .
16．已知函数，有下列四个结论：①图象关于直线x=1对称；②f (x)的最大值是2；③f (x)的最大值是﹣1，；④f (x)在区间[﹣2015，2015]上有2015个零点．其中正确的结论是
（写出所有正确的结论序号）．
四、解答题（70分）
17．（10分）已知直线：.
(1)若直线在轴上的截距为2，求实数的值；
(2)若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.
18．（12分）设是定义在上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若在上单调递增，且，求实数m的取值范围．
19．（12分）在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求的面积．
20．（12分）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．
(1)求证：∥平面;
(2)求证：平面平面．
21．（12分）已知的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且有：．
(1)求角B的大小；
(2)设，若点M是边上一点，且，，求的面积．
22．（12分）已知如图平面四边形ABCD，，，，现将沿边折起，使得平面平面，，点为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.
宜丰县中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试卷参考答案：
1．C 2．B 3．C 4．B 5．A
6．D【详解】因为平行四边形中，是的中点，，，
所以
.故选：D．
7．B【详解】对于A，由可以解，又，可求塔高度，故选项A能计算出纪念塔高度；对于B，在中，由，无法解三角形，在中，由，无法解三角形，在中，已知两角无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故选项B不能计算出纪念塔高度；对于C，由，，可以解，可求，又，即可求塔高度，故选项C能计算出纪念塔高度；
对于D，如图，过点作于点，连接，由题意知，平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，平面，所以，则，由，知,，故可知的大小，由，，可解，可求，又，可求塔高度，故选项D能计算出纪念塔高度；故选：B.
8．D【详解】因为对任意的，都有，此时，则，所以在单调递减，因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，，所以当和时，；当和时，.
由，即，所以或或或，所以或或或无解，所以原不等式解集为
故选：D
9．ABD 10．BD 11．BCD
12．AD【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱面，A：面，则，又，且，则面，∴四棱锥为“阳马”，对；C：在底面有，即，当且仅当时取等号，，错；D：由，即，又且，面，∴面，面,
∴，则为直角三角形，由面，面，，则为直角三角形，由“堑堵”的定义得为直角三角形，为直角三角形．∴四面体为“鳖臑”，对；B：由C知为直角三角形，侧棱面，易知,为直角三角形，
而为直角三角形，则外接球球心位于的中点，则外接球半径，
则球的表面积为，错.故选：AD．
13． 14．
15．【详解】
，，，∵在上的最小值为，
最小值为，令，解得,则实数的最小值是.故答案为：
16．①②【详解】对于①，∵的图象关于x=1对称，的图象关于x=1对称，∴的图象关于直线x=1对称，故①正确，对于②，∵﹣1≤≤1，0＜|≤1，∴时，f（x）的最大值是2，故②正确，③不正确，对于④，∵的周期为T==4，时，，函数图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，且时，取得最大值1，时，，作出函数和的图象，如图，在不含的每个周期区间上，它们都有两个交点，因此在上有1006个交点，在上有1006个交点，时，，不是交点，而在区间上，由图可知它们有4个交点，所以在上这两个图象有2016个交点，即原函数有2016个零点．故④错．故答案为：①②
17．(1) (2)
18．(1)(2)【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，，且，
即是定义在上的奇函数，符合题意，所以.
（2）若在上单调递增，且是奇函数，可知在上单调递增，且在处连续不断，所以在上是增函数，因为，则，
可得，解得，所以实数m的取值范围是.
19．(1)(2)【详解】（1）由及正弦定理得：，由得：．，由知，，；
（2）：当时，代入得：，由（1）知，由余弦定理得：，整理得：，解得：，由（1）知：，
．
法二：当时，代入得：，由（1）得：，
，由得，
，．
法三：当时，代入得：，由（1）得：，由余弦定理得：，整理得：，解得：或，若，则为等腰三角形，此时，由及内角和定理得：，与矛盾，不合题意，，
∵，．
20．【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．，分别是和的中点，∥，∥．又四边形为正方形，∥，从而∥．
平面，平面，∥平面，同理∥平面，又，平面，平面∥平面，
平面，则∥平面;
（2）为正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，
设，，， ∴，∴．
又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．
21．(1)(2)
【详解】（1）依题意得，，则有，故：．即：，因为，所以，所以，又，所以．
（2）如图，由，所以，，．在中，由余弦定理得，即．①，又由于，所以，两边平方得，即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以为直角的三角形，
所以的面积为，由于，知，
故的面积为．
22（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以.
取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面.
（2）过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面，因为平面，所以，
，，平面，所以平面，
所以为与平面所成角.
由（1）知，平面，平面，所以,
在中，因为，，所以，
因为为的中点，所以，
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得.
所以与平面所成角的正弦值为.
（3）取的中点为，连接，因为为线段的中点，所以，由（1）知，平面，所以平面，平面.所以，过点作，垂足为，连接，，
，平面，所以平面．平面，所以，所以为二面角的平面角.在中，，由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，所以，由（1）知，平面，平面．所以，在中，，由（2）知，，即，解得.因为平面，平面，所以，在中，，所以，即二面角的平面角的余弦值为.
答案第1页，共2页