西乡县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学试题
【注意事项】
1、试卷共150分，考试时间120分钟，共4页。
2、答第I卷前考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3、第Ⅱ卷答在答卷纸的相应位置上，否则视为无效。答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角是第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量、满足，，，则一定共线的三点是
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
8．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得得0分.
9．已知，，是平面内三个非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c， 则下列说法正确的有（ ）
A．A:B:C= a :b :c B．
C．若A>B， 则a>b D．
11．设函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减
C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称
12．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．平面平面 D．二面角的正切值为
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．已知平面向量， ， 与的夹角为，则 ．
14．已知，则 ．
15．如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .
16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积为，那么这个三棱柱的侧面积为 ，二面角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知i是虚数单位，.
（1）求； （2）若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.
18．（12分）已知函数(其中，)的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间.
19．（12分）已知平面向量，，函数.
（1）求函数相邻两对称轴的距离；
（2）求函数在区间上的值域.
20．（12分）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面
21．（12分）在锐角中，的对边分别为，且
（1）确定角的大小；
（2）若，且，求边.
22．（12分）如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，D为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．西乡县2023-2024学年高二上学期开学考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A D C B A B BC BCD ABD ABD
13．2 14． 15． 16．
（1）解：根据复数的运算法则，
可得， ----------------------4分
所以. --------------------5分
（2）解：设，则，------------7分
因为是纯虚数，所以且， ---------------------8分
解得，所以. ---------------------10分
18．（1）由及正弦定理得 ---------------------3分
因为，故
又锐角，所以.- --------------------6分
（2）由余弦定理， ---------------------8分
，得 ---------------------10分
解得:或. ---------------------12分
19．（1）解：，---------------3分
故函数的周期是，则函数相邻的两条对称轴的距离是.--------------------6分
（2）∵，∴， ---------------------9分
∴函数的值域是. ---------------------12分
20．（1）连接交于，连接，在中，为中点，为中点，所以，又面，∴直线面； ---------------------4分
（2）∵面，面，∴．又，
，∴，面，∴面．
又面，∴面面； ---------------------8分
∵为正三角形，为中点，
∴，由，可知， ---------------------9分
．∴，又∵面，且，
∴面，且， ---------------------10分
∴． ---------------------12分
21．（1）根据函数(，，)的部分图象，
可得，，∴ . ---------------------3分
再根据五点法作图，，∴，
∴. ---------------------5分
（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，
得到函数的图象， ---------------------7分
对于函数，令，
求得，
可得的增区间为， .---------------------10分
结合，可得增区间为. ---------------------12分
22．（1）在△ 中，，分别是，的中点，即，
∵面面，面，面，
∴面 ---------------------2分
又∵底面是正三角形且，是的中点，即在正方形中有为平行四边形，有，
∵面面，面，面，
∴面，而，
∴面面 ---------------------5分
在正方形中有，若的交点为，
连接、， ----------7分
即有矩形：，，而，
则面， ---------------------9分
∴面，而面，即，又，
∴面 --------------------12分
