数学·必修3(苏教版)
概率
3．1 随机事件及其概率
3．1.1 随机现象
1．下列试验能构成事件的是( )
A．掷一次硬币
B．射击一次
C．标准大气压下，水烧至100 ℃
D．摸彩票中头奖
答案：D
2．下面事件是必然事件的有( )
①如果a，b∈R，那么a·b＝b·a；
②某人买彩票中头奖；
③3＋5＞10.
A．① B．② C．③ D．①②
答案：A
3．一次掷出一分，二分，伍分的硬币各一枚，则该现象的所有结果有________种．
解析：这些结果为(1＋，2＋，5＋)(1＋，2＋，5)(1＋，2，5＋)(1，2＋，5＋)(1＋，2，5)(1，2＋，5)(1，2，5＋)(1，2，5)，其中1＋，2＋，5＋均表示正面．
答案：8
4．判断下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)掷一枚质地均匀的骰子的点数；
(2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；
(3)在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出2个检验的结果；
(4)三角形的内角和为180°；
(5)2018年世界杯足球赛，德国队夺冠；
(6)2015年高考甲同学数学成绩125分．
解析：(1)掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现1～6点，不能确定，因此是随机现象．
(2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有可能是绿色，故是随机现象．
(3)抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有可能是两个次品，故此现象为随机现象．
(4)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故是必然现象．
(5)2018年世界杯足球赛哪个队夺冠，不能确定，是随机现象．
(6)甲同学高考数学是否得到125分，不能确定，是随机现象．
5．指出下列现象是必然现象还是随机现象．
(1)三个球全部放入两个盒子且每盒不空，其中一个盒子有一个以上的球；
(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2
(4)集合{1，2，3，4，5}的子集共有32个．
解析：(1)若一个盒子中有1个，则另一个盒子中有2个，故是必然现象．
(2)若0(3)圆内的点的坐标一定使不等式成立，故为必然现象．
(4)含5个元素的集合的子集有25＝32个，是必然现象．
6．下列现象中，随机现象有哪些？
(1)某体操运动员参加下周举行的运动会；
(2)同时掷两颗骰子，都出现6点；
(3)某人购买足球彩票中奖；
(4)若x为实数，则x2＋1≥1；
(5)下周一广东北部地区的温差为10 ℃.
解析：(4)是必然现象，(1)、(2)、(3)、(5)是随机现象．
故随机现象有(1)(2)(3)(5)．
7．判断以下现象是随机现象还是必然现象．
现象1：某人明天起床的时间(准确的)；
现象2：12∶10在学生餐厅就餐的学生人数；
现象3：在一定温度和稳定电压U下(直流电)，导体内的电流强度I＝(R为导体的电阻)；
现象4：函数y＝2x与函数y＝x2的图象有3个交点．
解析：现象1、现象2为随机现象，现象3、现象4为必然现象．
8．指出下列现象是必然现象、随机现象，还是不可能现象．
(1)当x＝1时，lg x＝0.
(2)已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B?A.
(3)当α≠β时，sin α≠sin β.
(4)从全副扑克牌中抽出黑桃A.
(5)长度为2、3、4的三条线段可构成一个三角形．
(6)在标号为1，2，3，…，10的十个杯子中，任选取一个杯子是3号杯子．
(7)一骑自行车的人，骑车至某十字路口，遇到“红灯”．
(8)中国国际象棋队参加奥林匹克团体赛首场比赛获胜．
(9)他乡遇故知．
(10)光线在均匀媒质中发生折射现象．
解析：(1)由对数性质：1的对数是零，于是知x＝1时，lg x＝0一定成立．
(2)因为4∈B，4?A，所以B一定不是A的子集，也就不是A的真子集．
(3)当α＝30°时，β＝60°，α≠β，sin α≠sin β；当α＝30°，β＝150°时，α≠β，sin α＝sin β.所以当α≠β时，sin α≠sin β可能出现也可能不出现．
(4)从全副扑克牌中任抽一张可能是黑桃A，也可能是其余53张牌中的某一张．
(5)由2＋3>4知这三条线段一定可以组成一个三角形．
(6)从10个杯子中任取一个，有10种可能．
(7)路口有“红灯”、“黄灯”、“绿灯”三种颜色的信号灯，某人骑车至路口遇到的灯的颜色也就有三种可能．
(8)团体赛获胜、战平、失利都有可能，是随机的．
(9)两位好朋友在没有约定的情况下客乡相遇，是人生的一大喜事，可见，“他乡遇故知”是可能发生也可能不会发生的．
(10)光线在均匀媒质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象．
答案：(1)(5)是必然现象，(2)(10)是不可能现象，(3)(4)(6)(7)(8)(9)是随机现象．
9．指出下列试验的结果：
(1)先后掷两枚质地均匀的硬币的结果；
(2)某人射击一次命中的环数；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取两个元素构成的A的子集；
(4)语文、数学书各一本放进三个抽屉．
解析：(1)结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面；
(2)结果：0环，1环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环，10环；
(3)结果：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．
(4)结果：、、、、
、、、、
.
10．下列随机事件中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)一天中，从上海开往南京的3列航班，全部正点到达；
(2)抛50次质地均匀的硬币，硬币落地时有26次正面向上；
(3)箱中有a个正品，b个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，取出的3个全是正品．
解析：(1)一架飞机开出，就是一次试验，共有3次试验．
(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有50次试验．
(3)抽取一次产品，就是一次试验，共有3次试验．
3．1.2 随机事件的概率
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概率
3．1 随机事件及其概率
3．1.2 随机事件的概率
1．从一批计算机中随机抽出100台进行质检，其中有10台次品，下列说法正确的是( )
A．次品率小于10% B．次品率大于10%
C．次品率接近10% D．次品率等于10%.
解析：可以通过频率估计概率．
答案：C
2．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币24 000次，则正面向上的次数最可能是( )
A．12 012 B．11 012
C．13 012 D．14 000
解析：试验次数越多，频率越接近概率，该试验概率为.
答案：A
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．
解析：在一年内玻璃破碎的频率为＝，用它来估计玻璃破碎的概率．
答案：
4．甲、乙两箱外形完全相同，已知甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，现随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取1球，结果取得白球．我们作出推断，该白球是从________中抽出的．
解析：作出推断的依据是“样本发生的可能性最大”．甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是，乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，由此可以看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．所以我们作出推断：该白球是从甲箱中抽出的．
答案：甲
5．下列结论正确的是________(填序号)．
①事件A的概率P(A)必有0②事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件；
③用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现对有胃溃疡的病人使用此药，则估计其有明显疗效的可能性为76%；
④某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖．
解析：事件A发生的概率0≤P(A)≤1，若P(A)＝0.999，则A不是必然事件，中奖率为50%，说明有一半的机会中奖．
答案：③
6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________．
解析：通过求该事件的频率而得之．
答案：0.25
7．下表是甲、乙两名射击运动员在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
射击次数n
甲击中10环以上的次数
击中10环以上的频率
10
9
20
17
50
44
100
92
200
179
500
450
射击次数n
乙击中10环以上的次数
击中10环以上的频率
10
8
20
19
50
44
100
93
200
177
500
453
请根据以上表格中的数据回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据(1)中计算的结果预测两位运动员在比赛中每次击中10环以上的概率．
解析：(1)两位运动员击中10环以上的频率为：
甲：0.9，0.85，0.88，0.92，0.895，0.9；
乙：0.8，0.95，0.88，0.93，0.885，0.906.
(2)由(1)中的数据知两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.9这个数的附近，所以两人击中10环以上的概率为0.9，也就是说两人的实力相当．
8．掷一枚硬币，连续出现10次正面向上，试就下列情况分析．
(1)若硬币是均匀的，则下次出现反面向上的概率会大于，这种理解正确吗？
(2)若就该硬币是否均匀作出判断，你会做出哪一种判断？
解析：(1)不正确，正反面是随机的，概率均为.
(2)若是均匀硬币，则连续10次正面向上的概率为，这件事基本不可能发生，故硬币不均匀．
9．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；
②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解析：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85.
当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85.
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N)
(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．
②当且仅当日需求量不少于16时，利润不低于75元．故当天的利润不少于75元的概率为
P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.
10．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
(注：s2＝，其中x为数据 x1，x2，…，xn的平均数)
解析：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
＝＝.
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．
事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为＝0.7，
所以P(A)约为1－0.7＝0.3.
(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．
因为x＝(a＋b＋c)＝200，
所以s2＝×[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.
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概率
3．2 古典概型
1．下列试验中，是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生，观察它是否发芽；
②向上抛一枚质地不均的硬币，观察正面向上的概率；
③向正方形ABCD内，任意取一点P，点P恰与点C重合；
④从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；
⑤在区间[0，5]上任取一个数，求此数小于2的概率．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①花生发芽与不发芽的可能性不相等，不是古典概型；②硬币不均匀，所以正面向上与背面向上的可能性不相等，不是古典概型；③点P的个数是无限的，不是古典概型；⑤在区间[0，5)上任取一个数有无限个，不是古典概型．故只有④是古典概型，选B.
答案：B
2．从{1，2，3，4，5}中随机选出一个数字为a，从{1，2，3}中随机选取一个数字为b，则b＞a的概率是( )
A. B. C. D.
解析：用(a，b)表示基本事件，则基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，…，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15个，其中b＞a的事件有：(1，2)，(1，3)，(2，3)．故其概率为＝.选D.
答案：D
3．一批产品有100个零件，其中5件次品，从中任意抽取一件产品，抽到次品的概率为________．
解析：抽到次品概率P＝＝.
答案：
4．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：数字a，b的所有取法有62＝36种，满足|a－b|≤1的取法有16种，故其概率为P＝＝.
答案：
5．3名学生排一排，甲乙站在一起的概率为________．
解析：总的结果为6种，而甲乙排一起的排法有4种：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲．∴P＝＝.
答案：
6．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为________．
解析：从5个数字中可重复的抽取三个，共有53＝125种不同的结果，三位数之和等于9的数字有2，3，4；3，3，3；2，2，5；1，4，4；1，3，5；共组成6＋6＋3＋3＋1＝19个，
∴P＝.
答案：
7．任取一正整数，该数的平方的末位数是1的概率是________．
解析：首先要注意如果把正整数的全体取为样本空间，则空间是无限的，不属于古典概型．但是一个正整数的平方的末位数只取决于该正整数的末位数，正整数的末位数0，1，2，…，9中的任意一个数，现在任取一正整数的含义就是这十个数字是等可能出现的．因此取样本空间为{0，1，2，…，9}，欲求的事件为A＝{1，9}，∴P(A)＝＝.
答案：
8．若以连续掷两次骰子，分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16外的概率是________．
解析：画出相应的图形，点P的坐标总数有36个，点P落在圆x2＋y2＝16外的有28个．∴P＝＝.
答案：
9．抛掷两个均匀的正方体玩具(它的每个面上分别标有数1，2，3，4，5，6)，它落地时向上的两数之和为几的概率最大？这个概率是多少？
解析：作图，由下图可知，基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}中的元素一一对应，因为S中的点数是6×6＝36个，所以基本事件总数n＝36.记“落地向上两数之和”为事件A，由图可知，数7出现6次，次数最多，即和为7出现的概率最大，P(A)＝＝.
10．箱子里有3双不同的手套，随机地拿出2只，记事件A＝{拿出的手套配不成对}；事件B＝{拿出的都是同一只手上的手套}；事件C＝{拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．
(1)请列出所有的基本事件；
(2)分别求事件A、事件B、事件C的概率．
解析：分别设3双手套为：a1a2；b1b2；c1c2.a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套．
从箱子里的3双不同的手套中，随机地拿出2只，所有的基本事件是：(a1，a2)、(a1，b1)、(a1，b2)、(a1，c1)、(a1，c2)、(a2，b1)、(a2，b2)、(a2，c1)、(a2，c2)、(b1，b2)、(b1，c1)、(b1，c2)、(b2，c1)、(b2，c2)、(c1，c2)，共15个基本事件．
(2)①事件A包含12个基本事件，故P(A)＝＝，(或能配对的只有3个基本事件，P(A)＝1－＝)；
②事件B包含6个基本事件，故P(B)＝＝；
③事件C包含6个基本事件，故P(C)＝＝.
11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码．
(1)求满足a·b＝－1的概率；
(2)求满足a·b＞0的概率．
解析：设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．
用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，则P(A)＝＝.
(2)a·b＞0，即x－2y＞0，在(1)中的36个基本事件中，满足x－2y＞0的事件有(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(5，2)，(6，2)，共6个．
所以所求概率P＝＝.
12．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．求：
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
?
解析：设三种颜色为甲、乙、丙，按顺序涂色，则每个矩形框都有3种涂法，所以试验可能的结果共有3×3×3＝27种，即n＝27.
(1)设“3个矩形颜色都相同”为事件A，则A有3个基本事件，故P(A)＝＝.
(2)设“3个矩形颜色都不同”为事件B，则事件B的基本事件个数为3×2×1＝6种，故P(B)＝＝.
13．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
解析：(1)样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④， 样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝.
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3．3 几何概型
1．在(0，1)内任取一个数m，能使方程x2＋2mx＋＝0有两个不相等的实数根的概率为( )
A. B. C. D.
答案：D
2．已知实数x，y，可以在0＜x＜2，0＜y＜2的条件下随机取数，那么取出的数对(x，y)满足(x－1)2＋(y－1)2＜1的概率是( )
A. B. C. D.
答案：A
3．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不少于1 m的概率是________．
解析：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，4]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，4]上的均匀随机数，其中[1，3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，3]内，也就是剪得两段长都不小于1 m．这样[1，3]的几何度量与[0，4]的几何度量之比就是事件A发生的概率．
答案：
4．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析：角的范围在0°到90°之间，作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足条件．
答案：
5．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
答案：
6．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________．
解析：直线在y轴上截距范围长度为5，满足条件的截距长度为2，故所求概率为.
答案：
7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝5∶12∶13，在边AB上任取一点M，则△AMC是钝角三角形的概率为________．
解析：设a＝5k，b＝12k，c＝13k(k＞0)，∵a2＋b2＝c2，∴∠ACB＝90°，过C作CM⊥AB于M.由AC2＝AM·AB得：AM＝k.
∴△AMC是钝角三角形的概率为：＝.
答案：
8．甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开．若他们在限期内到达目的地是等可能的，求甲、乙两人会面的概率．
解析：以x，y表示甲、乙两人到达会面地点的时间，两人能够会面的条件为|x－y|≤3，在平面上建立如下图所示的直角坐标系，则(x，y)的所有可能结果是边长为10的正方形(用Ω表示)的面积，而可能会面的时间由图中阴影部分(用A表示)面积表示，显然这是一个几何概型．
所以P(A)＝＝＝0.51.
即两人能够会面的概率为0.51.
9．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现用直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
解析：如图，记“硬币落下后与格线无公共点”为事件M，则易得小等边三角形A′B′C′的边长为2.
由三角形的面积之比等于边长比的平方，
得P(M)＝＝＝＝.
10．甲、乙两艘船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
解析：(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，
则0≤x≤24，0≤y≤24.
且y－x≥4或y－x≤－4.
作出不等式组表示的区域(如上图)．
设“两船无需等待码头空出”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足y－x≥4；
当乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y≥2.
即
设满足上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域(如下图)．
P(B)＝＝＝.
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概率
3．4 互斥事件
1．下列说法中正确的是( )
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
答案：D
2．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品不全是次品”，则下列判断正确的是( )
A．A与C互斥
B．B与C互斥
C．A、B、C中任何两个都互斥
D．A、B、C中任何两个均不互斥
答案：B
3．如果事件A，B互斥，那么________(填序号)．
①A＋B是必然事件；②A＋B是必然事件；③A与B一定是互斥事件；④A与B一定不是互斥事件．
解析：结合韦恩图即得．
答案：②
4．抛掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时间向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
答案：A，B A，B
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
解析：甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为×＝，故甲队获得冠军的概率为＋＝.
答案：D
6．盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率是________，摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是黄球或者是黑球的概率为________．
答案：0.4 0.82 0.6
7．先后抛掷3枚硬币，至少有一枚硬币背面朝下的概率是________．
解析：利用对立事件概率公式求解．
答案：
8．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．
解析：两个球的编号和不小于15，可能是7＋8、8＋8、8＋7三种可能，基本事件共8×8＝64种，∴概率为.
答案：
9．口袋中装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，求摸出黑球的概率．
解析：设“摸出红球”、“摸出白球”、“摸出黑球”分别为事件A、B、C，则A、B、C是两两互斥事件．P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.42－0.28＝0.30.
即摸出黑球的概率为0.30.
10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及以上
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.
(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z＝1，∴z＝0.04.
又由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋0.04＝0.44，∴y＝0.2.
11．回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么？
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75，为什么？
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1－＝.这样做对吗？说明道理．
解析：(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥；(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件；(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.
12．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1至5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解析：(1)基本事件空间与点集S{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应．
因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以基本事件总数为n＝25.事件A包含的基本事件数共5个：(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)，所以P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个：(1，1)、(1，3)、(1，5)、(2，2)、(2，4)、(3，1)、(3，3)、(3，5)、(4，2)、(4，4)、(5，1)、(5，3)、(5，5)．所以甲赢的概率为，乙赢的概率为，所以这种游戏规则不公平．
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黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
分析：各种血型之间不可同时进行，故给各种血型输血对应四个互斥事件．
解析：(1)对任一个，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式有：
P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，根据互斥事件的加法公式，有P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
答：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
规律总结：互斥事件和对立事件都是研究怎样从一些较简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率．应用互斥事件的概率的加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率．
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1．据中央电视台报道，学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生裸眼视力在0.6～1.0，剩下的能达到1.0及以上．问：
(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少？
(2)这个学校在校生眼睛合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少？
解析：(1)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.6～1.0)为互斥事件，所以事件C(视力不足1.0)的概率P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝0.65.
(2)事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝0.35.
2．如果在一百张有奖储蓄的奖券中，只有一、二、三等奖，其中有一等奖1个，二等奖5个，三等奖10个，买一张奖券，求中奖的概率．
记事件A＝“买一张奖券中奖”，则对立事件A＝“买一张奖券不中奖”．
由条件知P(A)＝＝0.84.
由互为对立事件的概率公式得
P(A)＝1－P(A)＝1－0.84＝0.16
即中奖概率为0.16.
3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
解析：(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，
所以概率为P＝1－－＝.
(2)“甲不输”是“乙胜”的对立事件，
故所求概率为P＝1－＝.
有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便坐下时：
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有1位坐在自己的席位上的概率．
分析：本题属于对号入座问题，情况较为复杂，所包含的基本事件也较多，为清楚地列举出所有可能的基本事件，可借助于树形图处理．
解析：将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下图的图形表示出来(座位依次是a、b、c、d)：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
规律总结：当题中的基本事件较多、较为复杂时，可结合树形图进行分析，分类求解．
a，b，c，d，e五位同学按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1)a在边上；(2)a和b都在边上．
分析：哪个同学在什么位置是等可能的，且结果有限，因此是古典概型．
解析：五位同学按任意次序站成一排，可看做已有五个位置，让五个同学去站，第一个人可从5个位置中任选一个位置，有5种选法，第二个人有4种选法，第三个人有3种选法，第4个人有2种选法，最后一个人有1种选法，故站法总数为
n＝5×4×3×2×1＝120，即基本事件总数为120.
(1)记“a在边上”为事件A，下面计算事件A包含的基本事件数．a可以站在左边或右边，有两种站法．其余4人依次有4种、3种、2种、1种站法，故事件A包含的基本事件数为
m1＝2×4×3×2＝48.
∴由古典概型的概率公式，得P(A)＝＝.
(2)记“a和b都在边上”为事件B，下面计算事件B包含的基本事件数．
a和b可以a在左边b在右边，也可以a在右边b在左边，因此有2种站法，其余3人分别有3种、2种、1种站法，故事件B包含的基本事件数为m2＝2×3×2×1＝12.
∴P(B)＝＝＝.
规律总结：当基本事件总数较大时，要按一定次序搜索，不重复、不遗漏“一网打尽”并计数．
古典概型是一种最基本的概型，是学习其他概型的基础．在高考中经常出现此种类型的题目．解题时要紧紧抓住此问题的两个基本特征，想清楚或写出所有基本事件．在求某些较为复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P(A)＝1－P(A)就可求出所求事件的概率．
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4．有3个人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，求至少有2人分配到同一房间的概率．
解析：3个人以相同的概率被分配到4个房间中的一间，第一个人有4种可能，第二个人有4种可能，第三个人有4种可能，故所有可能结果有4×4×4＝64种．记事件A为“至少有2人分配到同一房间”，其对立事件为“一人入住一个房间”．给4个房间编号1，2，3，4；3个人记为甲、乙、丙；当3人入住1，2，3房间时，共有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)6种可能，同样，入住(2，3，4)，(1，3，4)，(1，2，4)时都有6种可能结果，故对立事件共有6×4＝24种结果．所以，所求事件的概率为P(A)＝1－＝.
5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．
于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件A由4个基本事件组成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
事件B由4个基本事件组成，所以P(A)＝.
6．储蓄卡上的密码是一种六位号码，每位数上的数字可以从0到9这10个数中任取．
(1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按一下六位号码正好按对密码的概率是多少？
(2)若某人未记准储蓄卡的末两位数字，随机按下这两位数字正好按对密码的概率是多少？
解析：(1)由于储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都从0到9共10种取法，故这种号码共有106个，由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码可能性均等，故正好按对密码的概率P＝.
(2)按六位号码的末两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下末两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝.
甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
分析：可以把两船到码头的时刻设为x，y，然后建立坐标系求解．
设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，则0≤x≤24，0≤y≤24，且基本事件空间为Ω＝{(x，y)|x∈[0，24]，y∈[0，24]}．所以这是几何概型．
解析：要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2，设A为“两船都不需要等待码头空出”，则A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}．
A为下图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，由几何概率定义，
所求概率为P(A)＝
＝＝≈0.879 34.
规律总结：几何概型问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何试题来求随机事件的概率．
水池的容积是20 m3，向水池注水的水龙头A和水龙头B的流量都是1 m3/h，它们在一昼夜内随机开0～24 h，求水不溢出水池的概率．
解析：
设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，显然x≥0，y≥0，水池不溢出水，则x＋y≤20，记“水不溢出水池”为事件C，如右图，则C所占区域面积为×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576.由几何概型的概率计算公式，得P(C)＝≈0.35.
即水不溢出水池的概率约为0.35.
规律总结：由两个水龙头引出两个变量x，y，再抓住“流量相等且都在一昼夜内随机开0～24 h”，于是符合“约会型”概率问题的条件，可依照“约会型”概率问题进行求解．
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7．如下图所示的三个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定指针指向字母B时甲获胜，求甲获胜的概率．
解析：此题三个转盘中，虽然字母B所在区域各不相同，但所在区域的圆弧长度都是圆周长的一半，即甲获胜的概率为.
8．(2014·宁波调考)在直角坐标系中，A(1，2)，B(4，0)，动直线l与x轴垂直且交于点P，与AB交于点R，求四边形OPRA的面积不大于2的概率．
解析：如图所示，设直线l的方程为x＝a，1＜a＜4.
∵直线AB的方程为y＝－x＋，
∴点P的坐标为(a，0)，点R的坐标为.
∵四边形OPRA的面积不大于2，
∴△BPR的面积不小于2(因为△ABO的面积为4)，
∴1＜a≤4－.
记“四边形OPRA的面积不大于2”为事件M，则P(M)＝，即四边形OPRA的面积不大于2的概率为.
