课件22张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．1 随机事件及其概率
3．1.1 随机现象情景切入
相传古代有个国王，由于崇尚迷信，世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑前都要抽一次“生死签”，即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样，由执法官监督，让犯人当众抽签．如果抽到“死”字的签，则立即处刑；如果抽到“生”字签，则被认为这是神的旨意，应予当场赦免．
有一次，国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣，为了不让这个大臣得到半点获赦的机会，他与几个心腹密谋暗议，想出一条狠毒的计策：暗中嘱咐执法官，把“生死签”的两张纸都写成“死”字，这样，不管犯人抽的是哪张签纸，终难免一死．
当执法官宣布抽签的办法后，只见大臣以极快的速度抽出一张签纸，并迅速塞进嘴里，等到执法官反应过来，嚼烂的纸早已吞下，执法官赶忙追问：“你抽到‘死’字签还是‘生’字签？”大臣故作叹息说：“我听从天意的安排，如果上天认为我有罪，那么这个咎由自取的苦果我也已吞下，只要看剩下的签是什么字就清楚了．”请问，那个大臣为什么镇定自若？1了解随机事件的概念
2.能正确判断和区分随机事件 栏目链接自 主学 习1．在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是________．必然会发生的事件叫做________，肯定不会发生的事件叫做________．
2．在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生．事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是________．可能发生也可能不发生的事件叫做________．
3．随机事件简称_____，一般用_______________表示．确定性现象必然事件不可能事件随机现象随机事件事件大写英文字母 栏目链接自 主学 习4．对于某个现象，如果让其条件实现一次，就是进行了一次________．每一种可能的结果，都是一个________．,试验事件 栏目链接 栏目链接一、几种现象的区别与联系要 点导 航 1．必然现象：在一定条件下，事先就能断定必然会发生某种结果的现象．
2．随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象．随机现象要满足以下三个条件：①在相同的条件下可以重复进行；②所有可能结果是预先知道的，且不止一种；③每做一次试验总会出现可能结果中的一种，但在试验之前，不能预测会出现哪种结果． 栏目链接要 点导 航 3．判断一个试验或现象是随机现象还是必然现象，关键是看这个试验或现象在一定条件下是否一定发生某种结果． 栏目链接要 点导 航 本知识点的易错之处：忽视随机现象中的“一定条件”，随机现象结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的，而这些次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一把握的． 二、对试验的理解 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1判断以下现象是否为随机现象．
(1)某路口单位时间内通过“红旗”牌轿车的车辆数；
(2)n边形的内角和为(n－2)·180°；
(3)某同学竞选学生会主席的成功性；
(4)一名篮球运动员每场比赛所得的分数． 栏目链接典 例剖 析 判断一个现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性．若一定发生或一定不发生，则它就不是随机现象，否则为随机现象． (1)(3)(4)为随机现象，(2)不是随机现象． 随机现象具有这样的特点：当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现． 栏目链接典 例剖 析变式训练1．指出下列现象是必然现象，还是随机现象：
(1)在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过500辆；
(2)若a为实数，则|a＋1|≥0；
(3)发射一枚炮弹，命中目标；
(4)明天下雨；
(5)导体通电后发热；
(6)某同学高中毕业后考入中山大学． 栏目链接典 例剖 析 结合必然现象与随机现象的定义可知．
答案：(2)(5)是必然现象，(1)(3)(4)(6)均为随机现象． 栏目链接典 例剖 析 例2下列现象中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？
(1)从10件产品中任取1件进行检测，共取了3件，全部合格．
(2)抛10次骰子，出现3次4点． 栏目链接典 例剖 析试验就是探索随机现象规律的过程． (1)每取1件产品进行检测，就是1次试验，共进行了3次试验．
(2)抛一次骰子，就是一次试验，共有10次试验． 随机试验(一次试验)所代表的现象叫随机现象；对“试验”一词要作广义理解．例如，做一次游戏，参加一次考试，做一次化学实验等等，都是一次试验． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．写出下列随机试验的结果．
(1)连续抛掷1枚硬币3次，观察正反面情况；
(2)开运动会时，某人从有6个号签的盒子中任取1个选跑道；
(3)某人任意取1个一元二次方程，观察它的实根个数． 栏目链接典 例剖 析 (1)(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)，共8种结果．
(2)1，2，3，4，5，6，共6种结果．
(3)0个实根，1个实根，2个实根共3种结果． 栏目链接课件30张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．1 随机事件及其概率
3．1.2 随机事件的概率情景切入
一个随机事件的发生具有随机性，对于随机现象，是否发生有一定的偶然性，但又存在统计规律性．在进行大量重复试验时，事件A发生的频率往往会稳定在一个常数的附近，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小．
例如，掷硬币，虽然我们不能预先判断正面向上还是反面向上，但是假如硬币均匀，直观上可以认为出现正面与反面的机会相等，即在大量试验中出现正面的频率应接近一个常数．你能确定这个常数吗？1．理解随机事件概率的定义．
2．掌握频率与概率之间的关系及概率的基本性质． 栏目链接自 主学 习1．对于任意一个随机事件A的概率满足________，特别地，必然事件Ω的概率P(Ω)＝________；不可能事件?的概率P(?)＝________．
2．如果随机事件A在n次试验中发生了 次，那么事件A发生的频率为，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的__________，记作__________，且P(A)≈__________．0≤P(A)≤110概率P(A) 栏目链接自 主学 习3．概率是可以通过________来“测量”的，或者说频率是概率的一个________，概率从________上反映了一个事件发生的可能性的大小．,频率近似值数量 栏目链接 栏目链接一、概率的统计定义要 点导 航 1．定义：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验次数 很大时，可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值，即P(A)＝ .从概率的定义中，我们可以看出随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1；当A是必然事件时，P(A)＝1；当A是不可能事件时，P(A)＝0.一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间 栏目链接要 点导 航[0，1]内的某个常数上，这个常数可以用来度量事件A发生的可能性的大小，定义为概率，概率的这种定义叫做概率的统计定义．
2．频率与概率的关系：(1)频率与概率有本质的区别．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率与概率越来越接近．(2)随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多， 栏目链接要 点导 航摆动幅度越来越小，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．(3)概率意义下的“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”、“估计”是不同的．也就是说：单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性． 栏目链接要 点导 航二、从集合的观点认识事件的概率 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)．
(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 栏目链接典 例剖 析 利用公式fn(A)＝ 依次计算出频率值，估计男婴出生的概率． (1)计算即得到男婴出生的频率依次是：
0．520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.
(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表：(1)填写表中的进球频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率大约是多少？ 栏目链接典 例剖 析 (1)频率依次为0.75，0.8，0.8，0.85，0.83，0.8，0.76；
(2)由于上述频率接近0.8，因此这位运动员投篮一次进球的概率大约是0.8. 栏目链接典 例剖 析 例2掷一枚硬币，会出现正面或反面向上，对其概率的探究，历史上有不少人做过这个试验，其结果如下表： 栏目链接典 例剖 析(1)计算3次试验中出现正面向上的频率各是多少？
(2)掷一枚硬币出现正面向上的概率约为多少？
(3)掷一枚硬币出现反面向上的概率约为多少？ 栏目链接典 例剖 析事件的概率．求硬币出现反面的概率有两种思路：一是由试验总次数、出现正面的次数可得到出现反面的次数，进而求出出现反面的概率，其近似值即为所求概率；二是根据掷一枚硬币向上一面非正即反，非反即正，那么掷一枚硬币“正面朝上或反面朝上”是必然事件，其概率为1，则出现反面的概率等于1减去出现正面的概率． 栏目链接典 例剖 析 (1)频率分别为：布丰0.506 9，皮尔逊第一次为0.501 6，皮尔逊第二次为0.500 5.
(2)由(1)中数据可知，出现正面向上的概率约为0.5.
(3)出现反面向上的概率约为0.5. 由概率的统计定义知，频率的结果的稳定值称为该随机事件的概率，概率是频率理论上的期望值，但这里的频率值应是重复试验次数尽量多，且呈现出一定的稳定性． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．在42位美国总统中，有两个人的生日相同，三人卒日相同，波尔克生于1795年11月2日，哈定则生于1865年11月2日；门罗卒于1831年7月4日，而亚当斯、杰弗逊都卒于1826年7月4日．还有两位总统是卒于3月8日：费尔莫卒于1874年，塔夫脱卒于1930年．参照下表说明这是巧合吗？ 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 这是历史上有名的生日问题，记n位相关的人数，n个人至少有两个人的生日在同一天的概率为P(A)．上表列出的结果足以引起多数人的惊奇，因为“至少有两个人的生日相同”这件事发生的概率，并不如大多数人的直觉想象中的那样小，而是相当大．由表中可以看出，当人数是40时，“至少有2个人的生日相同”的概率为0.89.因此，在42位美国总统中，有两人的生日相同，三人卒日相同，根本不是巧合，而是很正常的．这个例子告诉我们，“直觉”并不是很可靠，这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性． 栏目链接典 例剖 析 例3某种病的治愈概率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?概率反映了事件发生可能性的大小． 栏目链接典 例剖 析 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈． 栏目链接典 例剖 析 治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下随机试验A发生的频率稳定性． 栏目链接典 例剖 析变式训练 3．某手机配件厂生产的配件的次品率为3%，试估算该厂10 000件产品中合格品的件数． 估算该厂10 000件产品中合格品的件数为10 000(1－3%)＝9 700(件)． 栏目链接课件42张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．2 古典概型1理解古典概型的特点.
2.掌握古典概型的概率计算公式.情景切入
在袋中装有大小均匀的5个红球、2个黑球、1个白球，现任取一球，你觉得它应该是什么颜色的球？这个问题我们可以用概率的知识解决．你们知道怎样求取出的球是红球、黑球、白球的概率吗？ 栏目链接自 主学 习1．古典概型：具有以下两个特征的试验称为古典概型．
(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有______个，即只有______个不同的基本事件．
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性________．
2．在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为________．
如果随机事件A包含的基本事件数为m，则P(A)＝________，所以在古典概型中，P(A)＝________．有限有限均等 栏目链接自 主学 习等可能基本事件含有m个元素的子集子集A的元素个数card(A)集合I的元素个数card(I) 栏目链接自 主学 习等可能出现基本事件基本事件 栏目链接 栏目链接一、古典概型的定义要 点导 航 1．定义：(1)在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)每个基本事件发生的可能性都是相等的．具有以上两个特点的概率模型称为古典概型．
2．古典概型的判断：判断一个试验是否为古典概型，关键是判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，注意并不是所有的试验都是古典概型．例如：某电话交换台在单位时间内收到的呼叫次数． 栏目链接要 点导 航记I＝{收到的呼叫次数}，则它的基本事件空间Ω＝{0，1，2，3，…}，由于基本事件是无限的，所以它不属于古典概型．又如：在适宜的条件下，“种一粒种子观察它是否发芽”这个试验的基本事件空间为{发芽、不发芽}，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它也不属于古典概型． 栏目链接要 点导 航 栏目链接要 点导 航二、古典概型概率计算公式 栏目链接 栏目链接典 例剖 析 例1袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率；
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球． 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：取出的两球都是白球的总数和事件B：取出的两球1个是白球，而另1个是红球的总数．套用公式求解即可． 栏目链接典 例剖 析 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 取出两球的结果数15还可以这样计算，从袋中6个球中任取两个球，并按抽取顺序(x，y)记录结果，由于是随机抽取，因此x有6种，y有5种，共有5×6＝30种，但在记录的结果中有些是重复的，如(1，2)，(2，1)是30种中的两种，它们在“从袋中取出2个球”这件事上，是同一种情况，从而应有5×6÷2＝15种情况． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．已知5根细木棒的长度分别为1，3，5，7，9，从中任取三根，求能搭成三角形的概率． 栏目链接典 例剖 析 例2袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，下面有三个游戏规则，分别计算甲获胜的概率，并判断哪个游戏是公平的. 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 本题关键是找出试验所有的结果数以及相关事件的结果数来计算获胜的概率． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 一般来说，从总体中抽取个体的问题都属于抽样问题，在抽样过程中，每个个体被抽的机会均等，且结果有限，属于古典概型，应按古典概型的概率公式求解． 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．袋中有红、黄、白球各1个，每个球除颜色外都相同，每次任取一个，有放回地抽取三次，求基本事件的个数．并计算下列事件的概率：(1)三次颜色各不相同；(2)三次颜色不全相同；(3)三次取出的球无红色或无黄色． 栏目链接典 例剖 析画出树状图如下图所示．每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别指红、黄、白．故基本事件个数为3×3×3＝27. 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例3任意投掷两枚骰子，计算：
(1)出现点数相同的概率；
(2)出现点数之和为奇数的概率；
(3)出现点数之和为偶数的概率． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 (1)的错解原因在于改变了原事件的含意，原事件是要求在投掷的所有结果中出现点数同为1，2，3，4，5，6的概率，而不是点数相同时其中之一的概率．(2)中错解给出的点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件，如点数之和为2，只出现一次：(1，1)，点数之和为3出现2次：(2，1)、(1，2)． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练 3．同时抛掷两颗骰子，求至少有一个5点或6点的概率． 栏目链接典 例剖 析 4．先后抛掷2枚均匀硬币．
(1)一共可能出现多少种可能结果？
(2)出现“一枚正面、一枚反面”的结果有多少种？
(3)出现“一枚正面、一枚反面”的概率是多少？
(4)有人说：一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面、一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面、一枚反面”的概率是，这种说法对不对？ 栏目链接典 例剖 析 (1)掷一枚硬币有正，反两种可能，我们把两枚硬币标上1，2以便区分，由于1号硬币的每一个结果都可与2号硬币的任意一个结果配对，组成掷两枚硬币的一个结果，因此同时掷两枚硬币的结果有2×2＝4种，它们是(正1，反2)、(正2，反1)、(正1，正2)、(反1，反2)．
(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有两种，它们是(正1，反2)、(反1，正2)． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例4设人的某一特征(如瞳孔颜色)是由他的一对基因所决定的，R表示显性基因，r表示隐性基因，具有RR基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有Rr基因的人为混合性．纯显性和混合性的人都表现显性性状，纯隐性的人表现隐性性状．孩子从父母身上各得到1个基因，假定父母都是混合性的，则：
(1)1个孩子表现显性性状的概率是多少？
(2)2个孩子中，没有一个表现显性性状的概率是多少？ 栏目链接典 例剖 析 本题为概率在遗传中的应用．由于人的基因遗传是等可能的，可以将各种遗传情形都列举出来． 栏目链接典 例剖 析 解决此类问题，关键是将各遗传情况不重不
漏地一一列举出来． 栏目链接典 例剖 析变式训练 5．(2014·黄冈模拟)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.若a，b是一颗骰子掷两次所得的点数．
(1)求方程有两个正根的概率；
(2)求方程没有实根的概率． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接课件36张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．3 几何概型情景切入
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含间谍犯罪的信息，后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？你会计算吗？1．理解几何概型的定义及特点．
2．掌握几何概型的概率计算公式． 栏目链接自 主学 习1．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域中随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是________、________、________等，用这种方法处理随机试验，称为________．
2．一般地，在几何区域D中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则P(A)＝________． 栏目链接线段 平面图形 立体图形几何概型自 主学 习 栏目链接要求D的测度不为________，其中当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是________、________和________．
3．在几何概型中，概率为0的事件________，概率为1的事件____________．0长度 面积 体积可能发生不一定发生 栏目链接一、几何概型的概念要 点导 航 1．几何概型的概念：事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如下图所示)，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型． 栏目链接要 点导 航2．几何概型的特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思想是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占总面积(总体积、总长度)”之比来表示．要判定一个随机事件是否为几何概型，关键是看它是否具有几何概型的本质特征——能进行几何度量，掌握几何概型的两个特点有利于区分几何概型与古典概型． 栏目链接要 点导 航 栏目链接3．古典概型与几何概型的区别与联系：①古典概型适用于所有试验结果是有限个且结果是等可能出现的情况，而几何概型则适用于试验结果是无穷多的情形；②几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关；③在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域度量成正比，而与该区域的位置与形状无关；④对于一个具体问题能否用几何度量计算其概率，关键在于将问题几何要 点导 航 栏目链接化，也可根据问题的情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的每一点，使得全体结果构成一个区域，且是可度量的．要 点导 航二、几何概型的概率计算公式 栏目链接要 点导 航 栏目链接2．几何概型求解的一般步骤如下：①选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；②把基本事件转化为与之对应的区域D；③把随机事件A转化为与之对应的区域d；④利用概率公式计算． 栏目链接典 例剖 析 例1判断下列试验是否为几何概型，并说明理由．
(1)在某月某日，某个市区降雨的概率；
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率． 每个试验均符合结果无限，但不是每个结果出现等可能． 栏目链接题型一 几何概型的判断问题典 例剖 析 (1)不是几何概型，因为其不具有等可能性；(2)是几何概型，因为其具有①无限性，②等可能性，符合几何概型的特征．
规律总结：根据几何概型的定义进行判断． 栏目链接典 例剖 析变式训练 1．判断下列试验是否为几何概型：
(1)在区间[－10，10]中任意抽取一个整数，求这个数为正数的概率；
(2)在区间这[－10，10]中任取一个数，求这个数为正数的概率；
(3)地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，求乘客到站立即上车的概率；
(4)射击运动员任意射击一次，命中8环或8环以上． 栏目链接典 例剖 析 (2)，(3)是几何概型，(1)，(4)不是． 栏目链接典 例剖 析 例2在正方形ABCD的四条边及两条对角线上随机取点M，求点M在两条对角线上的概率． 栏目链接题型二 几何概型的概率计算本题区域D是四条边及两条对角线，测度为长度．典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析变式训练 2．如图，在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事件的概率． 栏目链接(1)在底边BC上任取一点P，使BP＜AB；
(2)在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P，使BP＜AB.典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接 例3设点M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足：
(1)x＋y≥0的概率；
(2)x＋y＜1的概率；
(3)x2＋y2≥1的概率．利用平面直角坐标系化归为平面点集求解．典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接 根据题意构造几何图形，找出两面积，利用面积比确定几何概型的概率．
求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．典 例剖 析变式训练 3．如右图所示的边长为2的正方形中随机撒一大把豆子，计算落在正方形的内切圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率π的值． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 例4在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？ 栏目链接题型三 生活中几何概型典 例剖 析 栏目链接利用面积比求解即可．典 例剖 析 栏目链接 生活中的概率问题很多可转化为几何概型，掌握了转化为何种几何度量是解题关键．典 例剖 析变式训练 4．甲、乙两人约定在6时到7时之间于某处会面，且先到者应等待另一人15分钟，过时即可离去，求两人能够见面的概率． 栏目链接 设甲、乙到达的时间为x，y，记“能见面”为事件A，则课件43张PPT。数学·必修3（苏教版）第3章 概 率
3．4 互斥事件情景切入
1．理解互斥事件、对立事件的定义．
2．掌握对立事件的概率计算公式． 栏目链接自 主学 习1．_______________两个事件称为互斥事件．如果事件A1，A2，…，An中任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An________．
2．设A，B为互斥事件，当事件A，B中至少有一个发生，我们把这个事件记作________．它是由事件A或B所包含的所有基本事件组成的集合．事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的______，即__________________．一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝_______________． 栏目链接不能同时发生的彼此互斥A＋B 和P(A＋B)＝P(A)＋P(B)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)自 主学 习 栏目链接3．两个互斥事件_______________，则称这两个事件为________．事件A的对立事件记为________．
4．对立事件A与A必有一个发生．故A＋A为________．从而P(A＋A)＝________．由此我们得到一个重要公式P(A)＝________．
5．对立事件一定是________，互斥事件未必是________．,必有一个发生对立事件A必然事件11－P(A)互斥事件 对立事件 栏目链接一、互斥事件要 点导 航 1．互斥事件的定义及理解：(1)定义：事件A与事件B不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称为互不相容事件)．若A∩B为不可能事件，即为A∩B＝?，那么事件A与事件B互斥．(2)对互斥事件的理解：①A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．②如果事件A与B是互斥事件，那么A与B两事件同时发生的概率为0.③与集合类比，可用下图表示．④推广：如果事件A1，A2，…，An． 栏目链接要 点导 航中的任何两个都互斥，就称事件A1，A2，…，An彼此互斥，从集合角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．在一次投骰子的试验中，若C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}．则事件C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥 栏目链接要 点导 航 栏目链接2．事件A＋B：(1)事件A＋B表示事件A和B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A、B都发生)所构成的事件．
(2)用集合表示两个事件A和B的A＋B，如下图阴影部分所示： (3)事件A＋B发生具有三层意思：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A和B同时发生．
(4)性质：A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)．要 点导 航二、对立事件及概率公式 栏目链接1．定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作A.2．对对立事件的理解：①事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．事件A与事件B在一次试验中不会同时发生．②对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A＋B为必然事件．要 点导 航 栏目链接③从集合角度看，事件A的对立事件是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．如上图所示．④在一次试验中，事件A与A只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一．
3．对立事件的概率公式：P(A)＝1－P(A)．
4．对立事件公式使用的前提条件是对立事件，否则不能使用此公式．当一事件的概率直接求解困难时，可考虑求其对立事件的概率，即运用间接法求概率．
要 点导 航 栏目链接 5．互斥事件与对立事件的关系：互斥事件和对立事件有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
栏目链接典 例剖 析 例1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. 栏目链接题型一 互斥事件与对立事件的判断典 例剖 析 (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件． 栏目链接利用互斥事件、对立事件的定义．典 例剖 析(3)事件B“至少订一种报”中可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥． 栏目链接典 例剖 析 栏目链接 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件不仅不能同时发生而且必须有一个发生，故对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件．
(2)只要找出各个事件包含的所有的结果，它们之间能不能同时发生便很容易知道，这样便可判定两事件是否互斥．
(3)在互斥的前提下，看两事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．典 例剖 析变式训练 1．从装有6个红球，3个白球的袋中任意取出3个球，判断下列事件是否为互斥事件，是否为对立事件．
(1)“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”．
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”．
(3)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”．
(4)“取出3个白球”与“取出3个球中至少有1个白球”． 栏目链接典 例剖 析 (1)“取出2个红球和1个白球”与“取出1个红球和2个白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能都不发生，故不是对立事件．
(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能都不发生，故不是对立事件．
(3)“取出3个红球”与“取出3个球中至少1个白球”不可能同时发生，是互斥事件，又必有一个发生，故是对立事件． 栏目链接典 例剖 析 (4)“取出3个白球”与“取出3个球中至少有1个白球”可能同时发生，故不是互斥事件，也就不可能是对立事件． 栏目链接典 例剖 析 例2向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率． 栏目链接题型二 互斥事件的概率计算 军火库要发生爆炸，只要炸弹炸中一个军火库即可，因为只投掷了一个炸弹，故炸中第一、第二、第三军火库的事件是彼此互斥的．典 例剖 析 栏目链接 设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库，
所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.典 例剖 析 栏目链接 设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库，
所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.典 例剖 析 栏目链接 对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和．关键是确定事件是否互斥、是否对立．典 例剖 析变式训练 栏目链接典 例剖 析 栏目链接题型三 生活中几何概型典 例剖 析 栏目链接 两互斥事件并的概率，等于两事件的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；两对立事件的概率的和为1，即P(A)＋P(A)＝1，故P(A)＝1－P(A)．典 例剖 析 栏目链接 (1)“互斥”和“对立”事件很容易搞混．互斥事件是指两事件不可能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．典 例剖 析 栏目链接(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．典 例剖 析变式训练 3．(2014·长沙调研)某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示： 栏目链接(1)求月收入在[1 000，2 000)(元)范围内的概率；
(2)求月收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率；
(3)求月收入不在[1 000，3 000)(元)范围内的概率．典 例剖 析 栏目链接 记这个商店月收入在[1 000，1 500)，[1 500，2 000)，[2 000，2 500)，[2 500，3 000)(元)范围内的事件分别为A，B，C，D，则这4个事件彼此互斥．
(1)月收入在[1 000，2 000)(元)范围内的概率是
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)月收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率是
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.典 例剖 析 栏目链接 (3)P(A＋B＋C＋D)＝1－P(A＋B＋C＋D)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－(0.12＋0.25＋0.16＋0.14)＝1－0.67＝0.33.
所以，(1)月收入在[1 000，2 000)(元)范围内的概率是0.37.
(2)月收入在[1 500，3 000)(元)范围内的概率是0.55.
(3)月收入在[1 000，3 000)(元)范围内的概率是0.33.典 例剖 析 例4一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率． 栏目链接 可按互斥事件和对立事件求概率的方法，利用公式进行求解．典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接 解较复杂的问题时，要注意古典概型的计算与互斥、对立事件是不矛盾的．解题时可将相关事件分解成几个彼此互斥的事件，再用古典概型计算即可．典 例剖 析变式训练 栏目链接典 例剖 析 栏目链接典 例剖 析 栏目链接
