江西省乐安县2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题（含解析）

乐安县2023-2024学年高三上学期开学考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效。
4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知，，满足，则p与q的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则p是q成立的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充要
3．若函数，则对a，，不等式成立的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数f（x）=（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．若,则
A． B． C． D．
6．设定义在的单调函数，对任意的都有.方程在下列哪个区间内有解
A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）
7．已知函数，若对，，都有成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义域为
C．的值域为 D．若，则或2
10．设，，满足，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1
11．已知数列满足，，且，则下列表述正确的有（ ）
A． B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．数列的前项和为
12．已知是定义在上的函数，满足，且对任意的恒有，且当时，，则（ ）
A．函数的值域是 B．
C．时， D．函数在上递减
三、填空题（共20分）
13．设，，已知，则 ．
14．已知直线与曲线相切，则实数 .
15．已知数列的前项和为，对任意都有，若，则的值为 .
16．已知函数，若不等式恒成立，则a的最小值为 .
四、解答题（共70分）
17．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
18．如图，四面体ABCD中，，，二面角的大小为，，．
（1）若，M是BC的中点，N在线段DC上，，求证：平面AMN；
（2）当BP与平面ACD所成角最大时，求的值．
19．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分．现从盒内任取3个球．
（1）求取出的3个球中至少有一个红球的概率；
（2）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（3）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列．
20．设数列满足，，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）对于大于的正整数、（其中），若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组；
（3）若数列满足，是否存在实数，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
21．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且与轴垂直．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．
22．知函数 (、为常数)，曲线在点处的切线方程是．
（1）求、的值
（2）求的最大值
（3）设，证明：对任意，都有.
1．D
由得，，解得，所以，
因为，
所以方程的一个根为，所以，
故选：D
2．B
由，得．
∵ ，
∴p是q成立的必要不充分条件．
故选B．
3．D
，，是偶函数，
，在时，，递增，
所以．
故选：D.
4．D
解：根据题意，函数，则有，
由图象知，函数的定义域为且，
则方程的两个根分别为，，
所以，，所以，，
故有，异号，，同号，又因为，所以，异号，
所以D符合，ABC不符合.
故选：D.
5．D
，，，
令，则在上是单调增函数.
又，所以
即.故选D.
6．B
根据题意，对于任意的都有，又由上的是单调函数，则为定值，设，则，又由，可得，可解得，故，又是方程的一个解，所以是函数的零点，易得，所以的零点介于之间，故选B.
7．C
由且得：
对，，都有
令，则
则只需对，单调递减即可
即在上恒成立
令，则
当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增

本题正确选项：
8．C
令，，则，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当时，，则，
，则，，
构造函数，其中，由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，可得.
二次函数的对称轴为直线，
则函数在区间上单调递增，
当时，，即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
9．CD
由图像值，故A错误；
函数的定义域为，，故B错误；
函数的值域为，，故C正确；
若，则或2，故正确
故选：．
10．AC
因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
11．BD
由，得，所以数列是等差数列，
所以，即
对于A，，故A不正确；
对于B，∵，，故是公差为的等差数列，故B正确；
对于C，，则，，所以不是等差数列，故C不正确；
对于D，
所以的前项和为，故D正确．
故选：BD
12．BC
解：是定义在上的函数且，
是上的偶函数，
又，
是周期函数，且周期，
对A，时，，
易知：在上单调递减，且是上的偶函数，周期，
，，
的值域是，故A错误；
对B，，
在上单调递减，
在上单调递增，
，故B正确；
对C，当时， ，
，
又，
，
故当时，，
设，则，
，
又 ，
，故C正确；
对D，由的周期知：在的单调性和 上的单调性一样，
在 上单调递增，
在上单调递增，故D错误.
故选：BC.
13．8
∵，，
∴，∴．
故答案为：8.
14．
设切点为，，
则有，
解得
故答案为：
15．
当，则，即，
又，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，则，
则，即，，可得.
故答案为：
16．
依题意，，
，在R上单调递增，
且，为奇函数，
，
令，求导得，函数在上单调递增，
当时，有，于是，当时，显然成立，
因此，即，令，求导得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此当时，，则，而，有，
所以a的最小值为.
故答案为：
17．(1)或
(2)
（1）设公差为，则，即
解得或 ，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，，，
所以
；
所以.
18．(1)见证明；(2)
（1）取DN的中点E，连接PE、BE．
，，PE、BE是平面AMN外两条相交直线，
所以平面平面AMN，
所以平面AMN.
（2）作与G，在平面DAC内作交AD于H，二面角的平面角为,因为，所以H为AD的中点，得是正三角形．
易得平面平面DAC，作，则为GH的中点，,
连接PI，根据面面垂直的性质定理，有平面.则是BP与平面ACD所成角．在中，，为定值，故当时，即最短时，取得最大值，取得最大，在中,,，故，,故．
19．（1）；（2）；（3）答案见解析.
（1）取出的3个球中至少有一个红球的概率
（2）记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件，则．
（3）可能的取值为0，1，2，3．
，，
，．
的分布列为：
0 1 2 3
20．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且实数的取值范围是.
（1）由，，
即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）知，、、这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，，
又，，；
②若，则，，
左边为偶数，右边为奇数，不成立；
③若，同理也不成立.
综合①②③得，；
（3）依题意，
则.
若存在，则对恒成立.
①当为奇数时，，其中当时，，故；
②当为偶数时，，其中当时，，故.
综上所述，存在实数，使得数列是单调递增数列.
21．(1)；(2).
解：（1）由已知得：，
令，则，
则有，又，
所以，
所以椭圆方程为；
（2），
设的直线方程为，
联立，消得，
，
则，
所以，
，
当且仅当，即时取等号，
所以面积取最大值为.
22．（1） （2） （3）证明过程详见解析
解：（1）由 ，得，
由已知得，解得．
又．
（2）由(1)得： ，
当时， ，所以；
当时， ，所以，
∴当时， ；当时， ，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
时， ．
（3）证明：．
对任意， 等价于，
令 ，则 ，
由 得： ，
∴当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以的最大值为 ，即 ．
设 ，则 ，
∴当 时， 单调递增， ，故当 时， ，即， ，
∴对任意，都有 ．