广东省广州市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023·广州）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广州）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12.下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为9
4．（2023·广州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·广州）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023·广州）如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为．（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·广州）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2023·广州）已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023·广州）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾个，将用科学记数法表示为 ．
12．（2023·广州）已知点，在抛物线上，且，则 .（填“＜”或“＞”或“=”）.
13．（2023·广州）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为 若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为
14．（2023·广州）如图，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
15．（2023·广州）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为 ．
16．（2023·广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17．（2020九上·天桥期末）解方程：
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023·广州）如图，是的中点，，求证：．
19．（2023·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为将向右平移5个单位，得到(点A平移后的对应点为C）．
（1）点的坐标是 ，所在圆的圆心坐标是 ；
（2）在图中画出，并连接，；
（3）求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留π）
20．（2023·广州）已知，代数式：，，．
（1）因式分解；
（2）在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
21．（2023·广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
22．（2023·广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的函数解析式为．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）现计划用元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
23．（2023·广州）如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法；
（2）在（1）所作的图中，连接，．
求证：∽；
若，求的值．
24．（2023·广州）已知点在函数的图象上．
（1）若m=-2，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，⊙C与轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023·广州）如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合边关于对称的线段为，连接．
（1）若，求证：是等边三角形；
（2）延长，交射线于点．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
若，求面积的最大值，并求此时的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-（-2023）=2023.
故答案为：B.
【分析】此题求的是-2023的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
2．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、长方体的三个视图都是长方形，故此选项不符合题意；
B、圆柱体的左视图及主视图是两个长方形，俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
C、圆锥体的主视图及左视图都是等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆，故此选项不符合题意；
D、底面相等的圆柱和小圆椎的组合图的主视图及左视图都是长方形上面一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】主视图，就是从正面看得到的平面图形，左视图就是从左面看得到的图形，俯视图就是从上面看得到的图形，据此分别找出各个选项中几何体的三视图，即可一 一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：9，10，10，11，12，
排在这组数据最中间的数据为10，故这组数据的中位数为10，所以D选项错误，不符合题意；
这组数据中出现次数最多的数据是10，共出现了两次，故这组数据的众数为10，所以A选项正确，符合题意；
这组数据的平均数为：（9+10+10+11+12）÷5=10.4，故B选项错误，不符合题意；
这组数据的方差为：[（9-10.4）2+（10-10.4）2+（10-10.4）2+（11-10.4）2+（12-10.4）2]÷5=1.04，故C选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3×a5=a3+5=a8，故此选项计算正确，符合题意；
D、（2a）-1=，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；由同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算可判断B选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相减，进行计算可判断C选项；根据一个不为零的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数进行计算可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥-1，
由②得x＜3，
∴该不等式组的解集为-1≤x≤3，
该不等式组的解集在数轴上表示为：
，
故A、C、D三个选项都错误，不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，从而即可一 一判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意得∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=10nmile，
∴AC=BC×tan∠ABC=10×tan60°=10×=10nmile.
故答案为：D.
【分析】连接AC根据∠ABC的正切函数可得AC=BC×tan∠ABC，从而代值计算可得答案.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，
由题意得 .
故答案为：B.
【分析】设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，根据路程除以速度等于时间及动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同列出方程即可.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接IE、IF、ID，
∵AC、BC、B分别与圆I相切于点E、D、F，
∴BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，
∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0，
∵ ，∠IFA=∠IEA=90°，
∴∠FIE=180°-，
∴∠EDF=∠FIE=（180°-）= .
故答案为：D.
【分析】连接IE、IF、ID，由切线长定理得BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，根据线段的和差即可求出BF+CE-BC=0；进而根据四边形的内角和定理得∠FIE=180°-，最后根据圆周角定理，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据及绝对值的性质化简即可即可.
11．【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：280000=2.8×105.
故答案为：2.8×105.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．【答案】＜
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-3中，二次项系数a=1＞0，对称轴直线为x=0，
∴图象开口向上，并且在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＜y2.
故答案为：＜.
【分析】由于二次函数中，二次项系数a=1＞0，对称轴直线为x=0，故由二次函数的图象、性质与系数的关系可得，图象开口向上，并且在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，从而结合x的取值范围即可判断出y的取值范围.
13．【答案】30；36
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：a=100-10-10-50=30；
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为360°×=36°.
故答案为：30，36.
【分析】根据获得 一、二、三等奖和优胜奖 的作品数量之和等于100可求出a的值；用360°乘以获取“一等奖”的作品数量所占的百分比即可算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AE交BD于点F'，再连接F'C，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，
根据正方形的轴对称性可得AF'=CF'，
∴EF'+CF'=EF'+AF'=AE，
根据两点之间线段最短得AE就是F+EF的最小值，
在Rt△ABE中，∵∠ABC=90°，AB=4，BE=1，
∴
故答案为：.
【分析】连接AE交BD于一点F'，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF'=CF'，推出AF'+EF'=AE，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，根据勾股定理即可得到结论.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=5，
在Rt△ADE中，∵AE=12，DE=5，
∴由勾股定理得AD=，
∵S△ADE=AD×EG=AE×ED，
∴AD×EG=AE×ED，即12×5=13×EG，
∴EG=，即点E到AD的距离为.
故答案为：.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=5，在Rt△ADE中，由勾股定理算出AD，进而根据等面积法可得AD×EG=AE×ED，从而代值可算出EG的长，此题得解.
16．【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
17．【答案】解：由 得
，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
18．【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由中点的定义得AB=BD，由平行线的性质得∠ABC=∠D，从而用SAS判断出△ABC≌△BDE，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠E.
19．【答案】（1）（5，2）；（5，0）
（2）解：在图中画出弧CD，并连接AC，BD，见下图；
（3）解：弧AB和弧CD长度相等，均为，
而，
则封闭图形的周长=弧AB+弧DC+BD+AC=2+10．
【知识点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵B（0，2），将弧AB向右平移5个单位，点B的对应点是点D，弧AB所在圆的圆心为（0，0），
∴D（5，2），弧CD所在圆的圆心坐标是（5，0）；
故答案为：（5，2），（5，0）；
【分析】（1）根据点的坐标的平移规律“横坐标，左移减，右移加”可得答案；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，作图即可；
（3）先根据弧长计算先算出弧AB、CD的长，再根据图形周长计算方法计算即可.
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：选A，两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的约分
【解析】【分析】（1）先提取出公共因式2，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止；
（2）开放性命题，答案不唯一：选A、B两个代数式分别作为分子，分母，分子利用（1）的结论，分母利用提取公因式法分解因式，然后约分化简即可.
21．【答案】（1）解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
∴P（乙选中球拍）；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
∴P（甲先发球），
∴P（乙先发球），
∵ P（甲先发球）=P（乙先发球），
这个约定公平．
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，从而根据概率公式分别算出甲与乙先发球的概率，再比较两个概率的大小即可.
22．【答案】（1）解：当时，设与之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
；
当时，设与之间的函数解析式为，
把和代入解析式得，
解得，
，
综上所述，与之间的函数解析式为；
（2）解：在甲商店购买：，
解得，
在甲商店元可以购买千克水果；
在乙商店购买：，
解得，
在乙商店元可以购买千克，
，
在甲商店购买更多一些．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分0≤x≤5时与5＜x≤10时两段分别利用待定系数法求出y1关于x的函数解析式；
（2）将y=600代入（1）中求出的5＜x≤10这段y1关于x的函数解析式算出对应的x的值，再将y=600代入在乙商店购买水果的费用y2关于x的函数解析式，算出对应的x的值，将两个值比较大小即可得出答案.
23．【答案】（1）解：如图，
（2）解：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
∽；
②如图，延长AD交CE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）解：如图1，作法：1、以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2、以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3、连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形；
证明：四边形ABCD是菱形，
，
，，
≌，
就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形；
【分析】（1） 由菱形的性质可知AD=AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC 长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；
（2）①由旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则，∠BAD=∠CAE，进而根据两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ACE；
②根据菱形的每条对角线平分一组对角得∠BAC=∠DAC，利用等量代换可得∠CAD=∠EAD，然后根据等腰三角形的三线合一得AD⊥CE，设CF=m，CD=AD=x，根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等可得AF=3CF=3m，DF=3m-x，进而在Rt△CDF中，利用勾股定理建立方程可用含M的式子表示出CD，最后再根据∠DCE的余弦函数的定义可得答案.
24．【答案】（1）解：把代入得；
故n的值为；
（2）解：在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：正值已舍去，
即时，点到达最高处；
假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由得，， ，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为：
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
，或
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把m=-2代入反比例函数的解析式可算出对应的函数值，从而即可得出n的值；
（2）①令抛物线y=（x-m）（x-n）中的y=0，算出对应的x的值，可得点M、N的坐标，根据反比例函数图象上的点的坐标特点可得mn=-2，将代入y=（x-m）（x-n）并整理得，由偶数次幂的非负性得，故当m+n=0，且mn=-2，求解即可得出m的值；
②先令抛物线y=（x-m）（x-n）中的x=0，算出对应的y的值，可得点G的坐标，用含m、n的式子分别表示出点M、N、E的坐标及对称轴直线，由正切函数的定义表示出∠OMG的正切值，作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，根据点的坐标与图形的性质用含m的式子表示出点T的坐标，进而再根据正切函数的定义表示出∠MKT的正切值，利用待定系数法求出直线TS的表达式，将代入直线TS的解析式算出对应的y的值，从而即可求出点C的坐标；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，根据两点间的距离公式算出FG，由平行四边形的性质可得CE=FG，据此建立方程可求出E点纵坐标，从而此题得解.
25．【答案】（1）证明： 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
关于对称的线段为，
，BF=BC，
，
是等边三角形；
（2）解：边BC关于BE对称的线段为BF，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
是边上一动点，
，
点B不可能是等腰三角形BGF的顶点，
若点F是等腰三角形BGF的顶点，
则有，
此时E与D重合，不合题意，
只剩下了，
连接CG交AD于H，
，，，
≌，
，
，
为等腰三角形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由知，≌，
要求面积的最大值，即求面积的最大值，
在中，底边是定值，即求高的最大值即可，
如图，过作于，连接，取的中点，连接，作于，
设，则，
，是的中点，
，，
，
当，，三点共线时，取等号，
面积的最大值
；
如图，设与交于，
则四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由正方形的性质及角的和差可得∠CBE=75°，由轴对称的性质得到BF=BC，∠FBE=∠CBE=75°，进而根据角的和差得∠ABF=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论；
（2）① 根据轴对称的性质得到BC=BF，根据正方形的性质得到BC=AB，得到BA②由①知，△CBG≌△FBG，要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值，在△GBC 中，底边BC是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作GP⊥BC于P，连接AC，取AC的中点M，连接GM，作MN⊥BC于N，设AB=2x，则AC= x，根据直角三角形的性质得到GM=AC= x，MN=AB三x，推出PG≤GM+MN=(+1)x，当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设PG与AD交于Q，则四边形ABPQ是矩形，根据矩形的性质得到AQ=PB=x，PQ=AB=2x，求得QM=MP=x，GM=X，从而此题就得解了.
1 / 1广东省广州市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023·广州）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-（-2023）=2023.
故答案为：B.
【分析】此题求的是-2023的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案.
2．（2023·广州）一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：A、长方体的三个视图都是长方形，故此选项不符合题意；
B、圆柱体的左视图及主视图是两个长方形，俯视图是一个圆，故此选项不符合题意；
C、圆锥体的主视图及左视图都是等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆，故此选项不符合题意；
D、底面相等的圆柱和小圆椎的组合图的主视图及左视图都是长方形上面一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】主视图，就是从正面看得到的平面图形，左视图就是从左面看得到的图形，俯视图就是从上面看得到的图形，据此分别找出各个选项中几何体的三视图，即可一 一判断得出答案.
3．（2023·广州）学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12.下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A．众数为10 B．平均数为10 C．方差为2 D．中位数为9
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：9，10，10，11，12，
排在这组数据最中间的数据为10，故这组数据的中位数为10，所以D选项错误，不符合题意；
这组数据中出现次数最多的数据是10，共出现了两次，故这组数据的众数为10，所以A选项正确，符合题意；
这组数据的平均数为：（9+10+10+11+12）÷5=10.4，故B选项错误，不符合题意；
这组数据的方差为：[（9-10.4）2+（10-10.4）2+（10-10.4）2+（11-10.4）2+（12-10.4）2]÷5=1.04，故C选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
4．（2023·广州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、（a2）3=a2×3=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a8÷a2=a8-2=a6，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a3×a5=a3+5=a8，故此选项计算正确，符合题意；
D、（2a）-1=，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；由同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算可判断B选项；由同底数幂相乘，底数不变，指数相减，进行计算可判断C选项；根据一个不为零的数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数进行计算可判断D选项.
5．（2023·广州）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥-1，
由②得x＜3，
∴该不等式组的解集为-1≤x≤3，
该不等式组的解集在数轴上表示为：
，
故A、C、D三个选项都错误，不符合题意，只有B选项正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，从而即可一 一判断得出答案.
6．（2023·广州）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
7．（2023·广州）如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
由题意得∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=10nmile，
∴AC=BC×tan∠ABC=10×tan60°=10×=10nmile.
故答案为：D.
【分析】连接AC根据∠ABC的正切函数可得AC=BC×tan∠ABC，从而代值计算可得答案.
8．（2023·广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，
由题意得 .
故答案为：B.
【分析】设动车提速后的平均速度为xkm/h，则动车提速前的平均速度为（x-60）kn/h，根据路程除以速度等于时间及动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同列出方程即可.
9．（2023·广州）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接IE、IF、ID，
∵AC、BC、B分别与圆I相切于点E、D、F，
∴BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，
∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0，
∵ ，∠IFA=∠IEA=90°，
∴∠FIE=180°-，
∴∠EDF=∠FIE=（180°-）= .
故答案为：D.
【分析】连接IE、IF、ID，由切线长定理得BD=BF，CD=CE，∠IFA=∠IEA=90°，根据线段的和差即可求出BF+CE-BC=0；进而根据四边形的内角和定理得∠FIE=180°-，最后根据圆周角定理，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
10．（2023·广州）已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根，
∴△=b2-4ac≥0，即（2-2k）2-4（k2-1）≥0，
解得k≤1，
∴k-1≤0，2-k≥0，
∴.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解得出k的取值范围，然后判断出k-1与2-k的正负，进而根据及绝对值的性质化简即可即可.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023·广州）近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升截至2023年5月底，某市已建成安全充电端口逾个，将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：280000=2.8×105.
故答案为：2.8×105.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．（2023·广州）已知点，在抛物线上，且，则 .（填“＜”或“＞”或“=”）.
【答案】＜
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-3中，二次项系数a=1＞0，对称轴直线为x=0，
∴图象开口向上，并且在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＜y2.
故答案为：＜.
【分析】由于二次函数中，二次项系数a=1＞0，对称轴直线为x=0，故由二次函数的图象、性质与系数的关系可得，图象开口向上，并且在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即x＜0时y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，从而结合x的取值范围即可判断出y的取值范围.
13．（2023·广州）2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为 若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为
【答案】30；36
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：a=100-10-10-50=30；
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为360°×=36°.
故答案为：30，36.
【分析】根据获得 一、二、三等奖和优胜奖 的作品数量之和等于100可求出a的值；用360°乘以获取“一等奖”的作品数量所占的百分比即可算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数.
14．（2023·广州）如图，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AE交BD于点F'，再连接F'C，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，
根据正方形的轴对称性可得AF'=CF'，
∴EF'+CF'=EF'+AF'=AE，
根据两点之间线段最短得AE就是F+EF的最小值，
在Rt△ABE中，∵∠ABC=90°，AB=4，BE=1，
∴
故答案为：.
【分析】连接AE交BD于一点F'，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF'=CF'，推出AF'+EF'=AE，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，根据勾股定理即可得到结论.
15．（2023·广州）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=5，
在Rt△ADE中，∵AE=12，DE=5，
∴由勾股定理得AD=，
∵S△ADE=AD×EG=AE×ED，
∴AD×EG=AE×ED，即12×5=13×EG，
∴EG=，即点E到AD的距离为.
故答案为：.
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=5，在Rt△ADE中，由勾股定理算出AD，进而根据等面积法可得AD×EG=AE×ED，从而代值可算出EG的长，此题得解.
16．（2023·广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17．（2020九上·天桥期末）解方程：
【答案】解：由 得
，
解得： ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（2023·广州）如图，是的中点，，求证：．
【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由中点的定义得AB=BD，由平行线的性质得∠ABC=∠D，从而用SAS判断出△ABC≌△BDE，由全等三角形的对应角相等得∠C=∠E.
19．（2023·广州）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为将向右平移5个单位，得到(点A平移后的对应点为C）．
（1）点的坐标是 ，所在圆的圆心坐标是 ；
（2）在图中画出，并连接，；
（3）求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长.（结果保留π）
【答案】（1）（5，2）；（5，0）
（2）解：在图中画出弧CD，并连接AC，BD，见下图；
（3）解：弧AB和弧CD长度相等，均为，
而，
则封闭图形的周长=弧AB+弧DC+BD+AC=2+10．
【知识点】弧长的计算；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵B（0，2），将弧AB向右平移5个单位，点B的对应点是点D，弧AB所在圆的圆心为（0，0），
∴D（5，2），弧CD所在圆的圆心坐标是（5，0）；
故答案为：（5，2），（5，0）；
【分析】（1）根据点的坐标的平移规律“横坐标，左移减，右移加”可得答案；
（2）利用方格纸的特点及平移的性质，作图即可；
（3）先根据弧长计算先算出弧AB、CD的长，再根据图形周长计算方法计算即可.
20．（2023·广州）已知，代数式：，，．
（1）因式分解；
（2）在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
【答案】（1）解：
；
（2）解：选A，两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；分式的约分
【解析】【分析】（1）先提取出公共因式2，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止；
（2）开放性命题，答案不唯一：选A、B两个代数式分别作为分子，分母，分子利用（1）的结论，分母利用提取公因式法分解因式，然后约分化简即可.
21．（2023·广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1）解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
∴P（乙选中球拍）；
（2）解：公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
∴P（甲先发球），
∴P（乙先发球），
∵ P（甲先发球）=P（乙先发球），
这个约定公平．
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，从而根据概率公式分别算出甲与乙先发球的概率，再比较两个概率的大小即可.
22．（2023·广州）因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的函数解析式为．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）现计划用元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
【答案】（1）解：当时，设与之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
；
当时，设与之间的函数解析式为，
把和代入解析式得，
解得，
，
综上所述，与之间的函数解析式为；
（2）解：在甲商店购买：，
解得，
在甲商店元可以购买千克水果；
在乙商店购买：，
解得，
在乙商店元可以购买千克，
，
在甲商店购买更多一些．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分0≤x≤5时与5＜x≤10时两段分别利用待定系数法求出y1关于x的函数解析式；
（2）将y=600代入（1）中求出的5＜x≤10这段y1关于x的函数解析式算出对应的x的值，再将y=600代入在乙商店购买水果的费用y2关于x的函数解析式，算出对应的x的值，将两个值比较大小即可得出答案.
23．（2023·广州）如图，是菱形的对角线．
（1）尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法；
（2）在（1）所作的图中，连接，．
求证：∽；
若，求的值．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：①如图2，由旋转得，，，
，，
，
∽；
②如图，延长AD交CE于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）解：如图1，作法：1、以点D为圆心，BC长为半径作弧，
2、以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E，
3、连接DE、AE，
△ADE就是所求的图形；
证明：四边形ABCD是菱形，
，
，，
≌，
就是△ABC绕点A逆时针旋转得到图形；
【分析】（1） 由菱形的性质可知AD=AB，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，也就是以AD为一边在菱形ABCD外作一个三角形与△ABC全等，第三个顶点E的作法是：以点D为圆心，BC 长为半径作弧，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交前弧于点E；
（2）①由旋转的性质得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，则，∠BAD=∠CAE，进而根据两组边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ACE；
②根据菱形的每条对角线平分一组对角得∠BAC=∠DAC，利用等量代换可得∠CAD=∠EAD，然后根据等腰三角形的三线合一得AD⊥CE，设CF=m，CD=AD=x，根据正切函数的定义及等角的同名三角函数值相等可得AF=3CF=3m，DF=3m-x，进而在Rt△CDF中，利用勾股定理建立方程可用含M的式子表示出CD，最后再根据∠DCE的余弦函数的定义可得答案.
24．（2023·广州）已知点在函数的图象上．
（1）若m=-2，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，⊙C与轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入得；
故n的值为；
（2）解：在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：正值已舍去，
即时，点到达最高处；
假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由得，， ，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为：
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
，或
【知识点】平行四边形的性质；垂径定理；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把m=-2代入反比例函数的解析式可算出对应的函数值，从而即可得出n的值；
（2）①令抛物线y=（x-m）（x-n）中的y=0，算出对应的x的值，可得点M、N的坐标，根据反比例函数图象上的点的坐标特点可得mn=-2，将代入y=（x-m）（x-n）并整理得，由偶数次幂的非负性得，故当m+n=0，且mn=-2，求解即可得出m的值；
②先令抛物线y=（x-m）（x-n）中的x=0，算出对应的y的值，可得点G的坐标，用含m、n的式子分别表示出点M、N、E的坐标及对称轴直线，由正切函数的定义表示出∠OMG的正切值，作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，根据点的坐标与图形的性质用含m的式子表示出点T的坐标，进而再根据正切函数的定义表示出∠MKT的正切值，利用待定系数法求出直线TS的表达式，将代入直线TS的解析式算出对应的y的值，从而即可求出点C的坐标；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，根据两点间的距离公式算出FG，由平行四边形的性质可得CE=FG，据此建立方程可求出E点纵坐标，从而此题得解.
25．（2023·广州）如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合边关于对称的线段为，连接．
（1）若，求证：是等边三角形；
（2）延长，交射线于点．
①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
若，求面积的最大值，并求此时的长．
【答案】（1）证明： 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
关于对称的线段为，
，BF=BC，
，
是等边三角形；
（2）解：边BC关于BE对称的线段为BF，
，
四边形ABCD是正方形，
，
，
是边上一动点，
，
点B不可能是等腰三角形BGF的顶点，
若点F是等腰三角形BGF的顶点，
则有，
此时E与D重合，不合题意，
只剩下了，
连接CG交AD于H，
，，，
≌，
，
，
为等腰三角形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由知，≌，
要求面积的最大值，即求面积的最大值，
在中，底边是定值，即求高的最大值即可，
如图，过作于，连接，取的中点，连接，作于，
设，则，
，是的中点，
，，
，
当，，三点共线时，取等号，
面积的最大值
；
如图，设与交于，
则四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由正方形的性质及角的和差可得∠CBE=75°，由轴对称的性质得到BF=BC，∠FBE=∠CBE=75°，进而根据角的和差得∠ABF=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论；
（2）① 根据轴对称的性质得到BC=BF，根据正方形的性质得到BC=AB，得到BA②由①知，△CBG≌△FBG，要求△BGF面积的最大值，即求△BGC面积的最大值，在△GBC 中，底边BC是定值，即求高的最大值即可，如图2，过G作GP⊥BC于P，连接AC，取AC的中点M，连接GM，作MN⊥BC于N，设AB=2x，则AC= x，根据直角三角形的性质得到GM=AC= x，MN=AB三x，推出PG≤GM+MN=(+1)x，当G，M，N三点共线时，取等号，于是得到结论；如图3，设PG与AD交于Q，则四边形ABPQ是矩形，根据矩形的性质得到AQ=PB=x，PQ=AB=2x，求得QM=MP=x，GM=X，从而此题就得解了.
1 / 1
