3.1.2二分法(浙江省宁波市慈溪市)
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课件12张PPT。利用二分法求方程近似解复习思考：1.函数的零点2.零点存在的判定3.零点个数的求法 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点有12个球,其中有一个比别的球重,你用天平称几次可以找出这个球?次数越少越好 ?第一次,两端各放6个,低的那端有重球.
第二次,两端各放3个,低的那端有重球.
第三次,两端个放1个,如果平了,剩下的那个就是,否则低的那端那个就是!所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625) f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)二分法定义: 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤： 1：确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0
2：求区间[a,b]的中点x1＝
3：计算：f(x1)判断：
(1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止;
(2)如果f(a)f(x1)<0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4：判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值是(a,b)区间内的一点；否则重复2～4步骤。 流程图即:找一个初始区间初始区间长度尽量小,一般通过作图来控制其区间长度↓计算区间中点的函数值是否为0↓是结束运算↓否找出新的端点异号区间是否满足精确度↓↓是→否生活中也常常会用到二分法思想： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
???????如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢。
???????想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？答 案：例2.利用计算器，求方程x2－2x－1=0的一个近似解(精确到0.1）解：设f(x)＝ x2－2x－1，先画出函数图象的简图，
因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0 所以 方程的一个解x1在（2,3）内取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0所以方程的解x1∈ （2，2.5）如此继续下去，得：f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈ (2.25,2.5)f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈ (2.375,2.5)f(2.375)<0,f(2.4375)>0x1∈ (2.375,2.4375)所以此方程满足要求的近似解为x1≈2.4练习：1. 方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( )
????(A)(-2,1) (B)（ ，4） (C) （1， ）(D) （ ， ）
??2.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )ABCDBB3.求方程 2x+x=4的近似解 (精确到0.1) 答案：1.4
第二次,两端各放3个,低的那端有重球.
第三次,两端个放1个,如果平了,剩下的那个就是,否则低的那端那个就是!所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.5,3)
f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625) f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3)
f(2.5)<0, f(2.75)>0 x1∈(2.5,2.75) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)二分法定义: 对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤： 1：确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0
2：求区间[a,b]的中点x1＝
3：计算：f(x1)判断：
(1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止;
(2)如果f(a)f(x1)<0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4：判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值是(a,b)区间内的一点；否则重复2～4步骤。 流程图即:找一个初始区间初始区间长度尽量小,一般通过作图来控制其区间长度↓计算区间中点的函数值是否为0↓是结束运算↓否找出新的端点异号区间是否满足精确度↓↓是→否生活中也常常会用到二分法思想： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
???????如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢。
???????想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？答 案：例2.利用计算器，求方程x2－2x－1=0的一个近似解(精确到0.1）解：设f(x)＝ x2－2x－1，先画出函数图象的简图，
因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0 所以 方程的一个解x1在（2,3）内取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0所以方程的解x1∈ （2，2.5）如此继续下去，得：f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈ (2.25,2.5)f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈ (2.375,2.5)f(2.375)<0,f(2.4375)>0x1∈ (2.375,2.4375)所以此方程满足要求的近似解为x1≈2.4练习：1. 方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( )
????(A)(-2,1) (B)（ ，4） (C) （1， ）(D) （ ， ）
??2.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )ABCDBB3.求方程 2x+x=4的近似解 (精确到0.1) 答案：1.4