数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质（共27张ppt）

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讲授新课
当堂练习
课堂小结
3.2 双曲线
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
定义
图象
方程
焦点
a.b.c 的关系
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
双曲线
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
2、对称性
一、研究双曲线 的简单几何性质
1、范围
关于x轴、 y轴和坐标原点都对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
又叫做双曲线的中心.
x
y
o
-a
a
(-x,-y)
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
x
y
o
-b
b
-a
a
如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
（2）
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线.
（3）
-c
c
M(x,y)
4、渐近线
N(x,y’)
Q
慢慢靠近
x
y
o
a
b
5、离心率
∵c>a>0
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
（1）定义：
（2）e的范围：
（3）e的含义：
离心率.
（4）等轴双曲线的离心率e=
( 5 )
或
或
关于坐标
轴和
原点
都对
称
性质
双曲线
范围
对称
性
顶点
渐近
线
离心
率
图象
例1:求双曲线
的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程.
解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c=
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率:
渐近线方程:
144
16
9
2
2
=
-
x
y
1
3
4
2
2
2
2
=
-
x
y
5
3
4
2
2
=
+
4
5
=
=
a
c
e
求双曲线标准方程问题：
法二：巧设方程,运用待定系数法.
⑴设双曲线方程为 ,
法二：设双曲线方程为
∴ 双曲线方程为
∴ ,
解之得k=4,
1、“共渐近线”的双曲线
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线:λ<0表示焦点在y轴上的双曲线.
2、“共焦点”的双曲线
（1）与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表示为
（2）与双曲线 有共同焦点的双曲线方程表示为
例5、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
13
12
25
'
'
'
例5、点M（,）与定点F（5,0），的距离和它到定直
线　： 的距离的比是常数 , 求点M的轨迹.　
y
0
d
x
y
.
.
F
O
M
.
X
Y
O
X
Y
O
相离:0个交点
相交:一个交点
相交:两个交点
相切:一个交点
直线与双曲线问题：
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0 直线与双曲线相切
Δ<0 直线与双曲线相离
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.
(3)k=±1，或k= ± ；
(4)-1＜k＜1 ；
(1)k＜ 或k＞ ；
(2) ＜k＜ ；
例2、 过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30度的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
弦长公式：
或
方法一
直线与双曲线相交的弦长问题：
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为
F1
F2
x
y
O
·
·
课堂小结
椭圆 双曲线
方程
a b c 关系
图象
y
x
F1
0
F2
M
x
y
0
F1
F2
p
课堂小结
渐近线
离心率
顶点
对称性
范围
准线
|x| a,|y|≤b
|x| ≥ a，y R
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
对称轴：x轴，y轴
对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b
(-a,0) (a,0)
实轴：2a
虚轴：2b
无
y =
a
b
x
±