第23章《旋转》专题卷B——核心思想方法归纳（选用）（含答案）

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12.九年级数学(上)第23章《旋转》专题卷B
核心思想方法归纳一点通(选用)
核心方法一共顶点的等腰三角形→旋转→构全等
(
图
2
) (
图
1
)基本图形:如图1，在△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE= 90°，则BE=CD；如图2，△ABD，△ACE都是等边三角形.则BE=DC.
方法技巧(一)旋转60°（补形）→构造共顶点的两个等边三角形
1.如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，求BD的长.
2.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求S△PAB+S△PAC的值.
方法技巧(二)旋转90°（补形）→构造共顶点的两个等腰直角三角形
3.如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=4， CD=3，求BD的长.
4.如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长.
5.如图，正方形ABCD中，PA=a，PB=b(a，b为常数).
（1）若P点在正方形外，且∠APB=45°，求PD的长；
(
图
1
)
(
图
2
)（2）若P点在正方形内，且∠APB=135°，求PD的长.
方法技巧(三)旋转120°(补形)→构造共顶点的两个顶角120°的等腰三角形
6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC =120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°，若BD=2CE，求DE的长.
核心方法二用旋转的方法处理半角与倍角问题
方法技巧(一)90°套45°→旋转90°
7.如图，五边形ABCDE，∠BCD=∠BAE=90°， BC= CD， AB=AE， M为DE上一点，∠MAC=45°，求证:DM=EM.
8.三角形ABC中，D为BC上一点，∠DAC=∠B=45°， AB=6，BC=8，求BD的长.(提示:以A为直角顶点，AB为直角边构造等腰直角三角形)
方法技巧(二)120°套60°→旋转120°
9.如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，E，F在AB上，∠ECF= 60°.
（1）画出△BCF绕点C顺时针旋转120°后的△ACK；
（2）在（1）中，若AE2+EF2=BF2，求证:BF=CF.
核心方法三用旋转的方法求最值
方法技巧:旋转→化散为聚→运用三边关系求最值
10.如图，△ABC和△BEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BEF=90°，BE=2，AB=5，O为CF的中点，将△BEF绕点B旋转的过程中，求AO的最大值与最小值.
11.如图，△ABC中，AB=，AC=3，以C为直角顶点，BC为直角边，向下一作等腰Rt△BCD，求AD的最大值.
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请求出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
核心方法四用旋转的观念解几何综合问题
13.如图，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠E=30°，∠EDF绕着边AB的中点D旋转，DE， DF分别交线段AC于点M，K.
(1)画出将△DKC绕点D逆时针旋转120°得到的三角形；
(2)当0°＜∠CDF＜60°时，求证:AM+CK＞MK；
(3)若MK2+CK2=AM2，求∠CDF的大小及的值.
12.九年级数学(上)第23章《旋转》专题卷B—核心思想方法归纳一点通(选用)
核心方法一共顶点的等腰三角形→旋转→构全等
(
图2
) (
图1
)基本图形:如图1，在△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAE= 90°，则BE=CD；如图2，△ABD，△ACE都是等边三角形.则BE=DC.
方法技巧(一)旋转60°（补形）→构造共顶点的两个等边三角形
1.如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，求BD的长.
解:将△ABD烧点A顺时针旋转60°得△AEC，连CE，BE，
∴ BD=CE=.
2.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求S△PAB+S△PAC的值.
解:将△APC绕A顺时针旋转60°得△AQB，易得△APQ为正三角形，△PBQ为直角三角形，∴S△PAB+S△PAC=S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9.
方法技巧(二)旋转90°（补形）→构造共顶点的两个等腰直角三角形
3.如图，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=4， CD=3，求BD的长.
解:将△ABD绕点A顺时针旋转90°得△ACD'，连 DD'，
则△BAD≌△CAD’，易证∠CDD'=90°， DD'=AD=4，
∴CD'===BD.
4.如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长.
解:将△ACP绕点C逆时针旋转90°得△BCE，连EP，则 △CBE≌△ACP， PE2=8，PB2=1，∴BE=PA=3.
5.如图，正方形ABCD中，PA=a，PB=b(a，b为常数).
（1）若P点在正方形外，且∠APB=45°，求PD的长；
(
图1
)解:作AH⊥AP且AH=AP(即将△APD绕A点顺时针旋转90°)△APD≌△ABH，∴PD=BH=；
(
图1
)
(
图2
) (
图1
)（2）若P点在正方形内，且∠APB=135°，求PD的长.
解：方法同上，PD=.
方法技巧(三)旋转120°(补形)→构造共顶点的两个顶角120°的等腰三角形
6.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC =120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°，若BD=2CE，求DE的长.
解:将△ABD绕点A逆时针旋转120°得△ACF；可证△ADE≌△AFE，DE=EF，CF=BD，∠ACD=∠B=30°，∠FGE=60°，作EH⊥GF于H.设BD=2CE=4x.则CH=x，CF=4x，FH=3x，EH=3x，FE2=FH2+EH2，(6－6x)2=（3x)2+(x)2，解得x1=，x2=(舍去)，∴DE=6－6x=3－3.
核心方法二用旋转的方法处理半角与倍角问题
方法技巧(一)90°套45°→旋转90°
7.如图，五边形ABCDE，∠BCD=∠BAE=90°， BC= CD， AB=AE， M为DE上一点，∠MAC=45°，求证:DM=EM.
解:将△CAB绕点C顺时针旋转90°得△CDH，连HM，易证H，M，A共线，△DHM≌△EAM，∴DM=EM.
8.三角形ABC中，D为BC上一点，∠DAC=∠B=45°， AB=6，BC=8，求BD的长.(提示:以A为直角顶点，AB为直角边构造等腰直角三角形)
解:作AE⊥AB交BC的延长线于E，将△ABD绕点A逆时针
旋转90°得△AEF，易求BE=12，易证CD=CF，设BD=x=EF，
则DC=CF=8－x，CE=4，在△CEF中，x2+42=(8－x)2，x=3，
∴BD=3.
方法技巧(二)120°套60°→旋转120°
9.如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，E，F在AB上，∠ECF= 60°.
（1）画出△BCF绕点C顺时针旋转120°后的△ACK；
（2）在（1）中，若AE2+EF2=BF2，求证:BF=CF.
解:（1）略；
（2）连KE，作KQ⊥AC于Q，∵BF=AK，∴AE2+EF2=AK2.
∵∠KCF=∠ACB=120°，∠KCE=60°，∴∠KCE=∠ECF.
∴△KCE≌△FCE(SAS).∴EF=KE，∴AE2+KE2=AK2，
∴∠AEK=90°，∴∠KEC=∠FEC=45°.
∵∠CAE=30°，∴∠ACE=15°.
∴∠KCA=60°－15°=45°，∴KC=KQ.
∵∠KAQ=30°，∴AK= 2KQ，∴AK=KC，BF=CF.
核心方法三用旋转的方法求最值
方法技巧:旋转→化散为聚→运用三边关系求最值
10.如图，△ABC和△BEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠BEF=90°，BE=2，AB=5，O为CF的中点，将△BEF绕点B旋转的过程中，求AO的最大值与最小值.
解:取BC的中点G，连接AG，OG，则OG=BF=，AG=BC=，
∵AG－OG≤AO≤AG+OG，∴≤AO≤，∴当A，O，G共线时，
(
图②
) (
图①
)AO有最大值 (见图①)，有最小值 (见图②).
11.如图，△ABC中，AB=，AC=3，以C为直角顶点，BC为直角边，向下一作等腰Rt△BCD，求AD的最大值.
解:将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A'CB，连接AA'，则△AA’C为等腰直角三角形，∴AA'=AC=3，
AD=A'B，∵A'B＜AB+AA'，故当点B，A，A’三点共线时，A'B最大，此时A'B=AB+AA'=+3=4，
∴AD的最大值为4.
12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请求出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
解:如图，将△MAP烧点P顺时针旋转90°得△BNP，
则△BNP≌△MAP，NB=AM，易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=2，在△BNA中，
3－2≤BN≤3+2，∴线段AM长的最大值为3+2；此时点N在BA的延长线上，过点P作
PE⊥x轴于点E，PE=AE=，又A(2，0），∴P(2－，).
核心方法四用旋转的观念解几何综合问题
13.如图，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠E=30°，∠EDF绕着边AB的中点D旋转，DE， DF分别交线段AC于点M，K.
(1)画出将△DKC绕点D逆时针旋转120°得到的三角形；
(2)当0°＜∠CDF＜60°时，求证:AM+CK＞MK；
(3)若MK2+CK2=AM2，求∠CDF的大小及的值.
解:(1)作DK'=DK，且∠KDK'=120°，△ADK’即为所求的三角形；
(2)易证△DMK≌△DMK'，∴MK=MK'，∴AM+CK=AM+AK'＞MK'，∴AM+CK＞MK；
(3)由(1)(2)得MK2+CK2=MK'2 +AK'2=AM2，∴∠AK'M=90°，∵∠MAK'=60°，
∴∠AMK'=30°，∴∠K'MD=∠KMD=75°，∴∠KCD=30°，∴∠KDC=15°，易求.
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