2024届第四学期第二次质量检测
数 学 试 题（文科）
一、单选题.
1. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.
【详解】由得，
由得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2. 已知命题；命题，直线与圆有公共点，若或为真，且为假，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数的图象与性质和直线与圆的位置关系，分别求得命题为真命题时，实数的取值范围，结合已知可知真假或假真，列出不等式组，即可求解.
【详解】若为真命题，则由，可得，故；
若为真命题，由直线可化为，则直线所过定点，
因为直线与圆有公共点，
所以定点在圆上或圆内，可得，解得，
若为真命题，为假命题，则真假或假真，
即或，解得或，
故选：D．
3. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义及导数的几何意义计算作答.
【详解】因为函数的图象在点处的切线方程为，则，
所以.
故选：D
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据渐近线方程得到，根据共焦点得到，解得答案.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则.
椭圆与双曲线有公共焦点，则双曲线的焦距，即，
则，解得，，则双曲线C的方程为.
故选：B.
5. 已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 BC的中点的坐标，由垂径定理和两点间的距离公式列出式子，化简后可得 BC的中点的轨迹方程．
【详解】设BC的中点 P的坐标是 ，
∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ，
，即 ，
化简得 ，
∴BC的中点的轨迹方程是 ，
故选： C．
6. 已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出抛物线C的准线l的方程，过A作l的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.
【详解】抛物线的准线l：，显然点A在抛物线C内，过A作AM⊥l于M，交抛物线C于P，如图，
在抛物线C上任取不同于点P的点，过作于点N，连PF，AN，，
由抛物线定义知，，
于是得，即点P是过A作准线l的垂线与抛物线C的交点时，取最小值，
所以的最小值为3.
故选：D
7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用题给条件列方程组求得的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C的长轴长.
【详解】椭圆的左右焦点分别为，，
抛物线与椭圆C有相同的焦点，则，，
设直线的方程为，
由，可得①，
则，解之得或（舍），
由①可得可得，则，
则，，
则椭圆C的长轴长为.
故选：B.
8. 设为函数在处的导数，则满足的函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义逐项分析判断.
【详解】结合图象根据导数几何意义可得：
对于A：由图可得，故A错误；
对于B：由图可得，故B错误；
对于C：由图可得，故C错误；
对于D：由图可得，故D正确；
故选：D.
9. 已知抛物线，上一点到焦点的距离为5，直线过点，且，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A. 2个 B. 1个或2个 C. 1个 D. 0个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和抛物线方程，求得点的坐标，根据直线的斜率求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，由此判断出直线与抛物线的交点个数.
【详解】由，抛物线，有，故，直线.由可得，解得，故直线与抛物线只有一个交点.
故选:C
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查直线和抛物线的位置关系，属于基础题.
10. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，所以构造函数，
因，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
11. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造新函数并利用导数求得其极值，再利用函数的零点即函数与直线的图像的交点横坐标，进而求得实数m的取值范围.
【详解】令，则，
由得，或；由得，，
则当或时单调递增；
当时单调递减.
则时取得极大值；时取得极小值.
函数有三个零点，
即函数与直线的图像有3个不同的交点，
则实数m的取值范围是
故选：A
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
第II卷（非选择题）
二、填空题.
13. 已知命题，．若为真命题，则实数的取值范围为________________．
【答案】
【解析】
【分析】若命题，为真命题，则在上恒成立，解得实数的取值范围．
【详解】∵命题，，且为真命题
∴在上恒成立
∵
∴
∴实数的取值范围为
故答案为.
【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，函数恒成立问题，解答本题的关键是正确分离参数，难度中档．
14. 求焦点在直线的抛物线的标准方程______________.
【答案】
【解析】
【分析】由，分别令，得到在y，x轴上的焦点坐标，再写出抛物线方程.
【详解】因为，
令，得，
所以，
所以抛物线的标准方程 ；
令，得，
所以，
所以抛物线的标准方程，
综上：抛物线的标准方程为：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力.属于基础题.
15. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.
【详解】，，
令，解得：或，
在上的“拉格朗日中值点”的个数为.
故答案为：.
16. 已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是_______________
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求出的单调性，即可得到的取值情况，依题意函数与恰有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，
当时，则，
所以当时，当时，所以在上单调递增，
在上单调递增，
即在处取得极大值，又，
且当时，当时，当时，，
当时，则，
所以在上单调递减，且，当时，
因为函数恰有一个实根，即恰有一个实根，
即函数与恰有一个交点，
所以或，即实数的取值范围是.
故答案为：
三、解答题.
17. 已知命题，命题有意义．
（1）若为真命题，求实数的取值范围;
（2）若为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）先求出命题,为真命题的等价条件,为真命题,则,均为真命题,求出此时的取值范围即可;
（2）由（1） ,为真命题的等价条件,要使为假命题,则为假命题,为真命题,求出此时的取值范围即可.
【小问1详解】
解:由题知,，解得，即,
要使函数有意义,
只需,，解得或，即或,
若为真，则有，解得:,
实数的取值范围是;
【小问2详解】
由(1)知或,
若为假命题，则与都为假命题，即与都为真命题，
或,
只需，解得或．
则实数的取值范围:或．
18. 已知函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）；
（2）在和(1，2)上单调递增，在上单调递减
【解析】
【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；
（2）先求函数导函数，判断函数单调性.
【小问1详解】
由已知可得．又，所以
【小问2详解】
由（1）可知，，
令，解得或，
令，解得或，
所以在和(1，2)上单调递增，在上单调递减．
19. 已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；
（3）求的周长．
【答案】（1）
（2）25 （3）54
【解析】
【分析】（1）双曲线的焦点在轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；
（2）写出直线AB的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；
（3）由双曲线的定义及弦长AB得出的周长．
【小问1详解】
因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，所以双曲线方程为.
【小问2详解】
依题意得直线AB的方程为，设，.
联立，得，
，且，
所以.
【小问3详解】
由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，
由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
20. 直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.
（1）求抛物线方程；
（2）设抛物线与轴交于点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的焦点到轴的距离求出的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知，将直线与抛物线的方程联立，根据求出的取值范围，根据线段中点的横坐标为求出的值，列出韦达定理，利用弦长公式可求得的值，求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
解：抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点到轴的距离为，则，可得，
所以，抛物线的方程为.
【小问2详解】
解：若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则，
设点、，联立，可得，
，解得，
因为线段中点的横坐标为，则，整理可得，
又因为，解得，
易知抛物线交轴于点，则有，可得，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，
原点到直线的距离为，
所以，.
21. 已知函数
（1）当时，求函数的极值
（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围
【答案】（1）极大值，无极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；（2）首先分和两种情况讨论函数的单调性，再根据函数的零点个数，列不等式求实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，无极小值.
【小问2详解】
，，
当时，恒成立，在单调递增，所以最多只有1个零点，不成立，
当时，，，单调递增，当时，，单调递减，
若函数在上有且仅有2个零点，则，解得：，
且，解得：，
且，解得：，
综上可知，，
所以实数的取值范围是.
22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分析可得，可得出，则椭圆的方程可表示为，将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可证得结论成立.
【小问1详解】
解：因为椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，
则这个直角三角形为等腰直角三角形，腰长为，斜边长为，则，可得，
所以，，所以，椭圆的方程可表示为，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：设点、，联立可得，
，解得，显然，否则直线过点，
由韦达定理可得，，
所以，
，
因此，.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2024届第四学期第二次质量检测
数 学 试 题（文科）
一、单选题.
1. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知命题；命题，直线与圆有公共点，若或为真，且为假，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设函数的图象在点处的切线方程为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小值为 （ ）
A. B. 2 C. D. 3
7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（ ）
A. B. C. 4 D.
8. 设为函数在处的导数，则满足的函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知抛物线，上一点到焦点的距离为5，直线过点，且，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A. 2个 B. 1个或2个 C. 1个 D. 0个
10. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题.
13. 已知命题，．若为真命题，则实数取值范围为________________．
14. 求焦点在直线的抛物线的标准方程______________.
15. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为___________.
16. 已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是_______________
三、解答题.
17. 已知命题，命题有意义．
（1）若为真命题，求实数的取值范围;
（2）若为假命题，求实数的取值范围．
18. 已知函数，若曲线在处的切线方程为．
（1）求a，b的值；
（2）讨论函数的单调性．
19. 已知双曲线焦点为，，且该双曲线过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点作斜率为弦AB，求AB的长；
（3）求的周长．
20. 直线交抛物线于、两点，线段中点的横坐标为，抛物线的焦点到轴的距离为.
（1）求抛物线方程；
（2）设抛物线与轴交于点，求的面积.
21. 已知函数
（1）当时，求函数极值
（2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围
22. 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.
（1）求椭圆的标准方程；
