数学参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 D C C B A B A C AB ACD AD ACD
1.【解析】由M {x | x2 2x 8 0} {x | 2 x 4}, N { 3, 2,0,2,3}，得M N {0, 2,3} .
2.【解析】由复数 z (m 1) (m 1)i(m R) 为纯虚数，可得复数m 1，所以复数
z(3 i) i(3 i) 1 3i，所以在复平面内对应的点为 ( 1, 3) ，在第三象限，故选 C.
3.【解析】由题意可得a b ( 2, 2) ，因为 (a b) / /b，所以4( 2) 4 ，解得 1，故选 C.
sin3 cos3 tan3 1 8 1 3
4.【解析】由题意可得 tan 2 ，所以原式= ，故选 B.
sin3 2cos3 tan3 2 8 2 2
5.A 【解析】由题意可得正方体卡片纸盒如图所示，则易知CM EF ，
CM / / AB ，CM 与CD，MN 的夹角均为60 ，故选 A.
6. 【 解 析 】 由 题 意 估 计 高 一 高 二 日 阅 读 时 间 的 平 均 数 为
40 60
x 50 40 44，
100 100
s2 [4 (50 44)2
40 60
方差为 ] [6 (40 44)2 ] 29.2，故选 B.
100 100
ln 4 4
7.【解析】由1 log5 c ，得 log5 (5c) log5 4，即5c 4 ，即 c .
ln 5 5
a log 3 log 5 35 5 5
4
4 4 log4 243 log4 256 log
5
4 4
4 ，
5
4
b log7 5 log
5 5
7 5 log
5
7 3125 log
5
7 2401 log
5
7 7
4 ，综上可知a c b ，故选 A.
5
AB AC AB AC
8.【解析】因为 , 分别是向量 AB, AC 的单位向量，所以由 AQ ( )( 0)，易
| AB | | AC | | AB | | AC |
知 AQ 是 ABC 中角 A 平分线，于是结合 S ABC S ABQ S BCQ ， AQ 4 3 可得，
1 1 1 1 1 1
bc sin 60 4 3c sin 30 4 3b sin 30 ，化简得bc 4(b c)，故 ，
2 2 2 b c 4
1 1 b 16c
所以b 16c 4(b 16c) ( ) 4(17 ) 100，当且仅当b 20,c 5时等号成立，故选 C.
b c c b
9.【解析】A 选项中的极差为 2.8-0.1=2.7（%），故 A 正确；B 选项中的数据由小到大排列为 0.1%,0.2%，
0.7%，1.0%,2.1%,由 i=5×75%=3.75，不是整数，所以 75%分位数为第 4个数 1.0%，故 B 正确；C 选项中 2
月至 4 月均为负数，说明下降，故 C 错误；D 选项等价于从 5 个数字中随机选取 2 个，样本空间包含的样
本点总数为 10，其中随机事件“选到 4 月和 5 月”包含的样本点数为 1，古典概型概率计算公式可得所求
第 1 页 共 6 页
{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}
1
概率为P ，故 D 错误.综上，选 AB.
10
2
10. 【 解 析 】 由 题 意 知 BC // x , 所 以 f (x) 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 2 3 7 ,x
2 12
7 1 2 π
,所以 2 .由于函数 f x 图像过 ( ,0) ，由 2 2k , k Z ,且
12 3 4 4 3 3
0 ,得 ,所以 f (x) sin(2x ) ，故 A 正确，B 错误； f (x) 的图象向右平移 个单位长度
2 3 3 6
得到 g(x) sin(2x ) sin 2x ，是奇函数，故 C 正确； f (x) 的图象向左平移 个单位长度得到
3 3 12
h(x) sin(2x ) cos 2x，是偶函数，故 D 正确.故选 ACD.
6 3
11.【解析】连接 PQ， AD 4BC, AD / /BC ，所以 DP 4BP ，又因为 DQ 4QS ，所以 PQ / /SB，
1 4
故 A 正确；过Q 作QM / / AD 交 SA于点 M ，由 DQ 4QS ，可得QM AD BC ，所以四边形
5 5
BCQM 是梯形，CQ 与 BM 的延长线必定相交，故CQ 与平面 SAB 必定相交，故 B 错误；设直四棱锥
S ABCD 的高为H ，底面梯形 ABCD的高为h ，则易得三棱锥 S ABC 和三棱锥Q ACD 的高分别为
1 1
BC h H
4 V
H , H ，所以 1 3 2
1 5
,所以 C 错误，D 正确.综上，选 AD.
5 V 1 1 4 42 AD h H 4 16
3 2 5 5
2sin 63 sin 64 2 sin(45 18 ) 2 sin(45 19 )
12.【解析】因为 x
cos18 cos19 cos18 cos19
sin18 cos18 sin18 cos18
(1 tan18 )(1 tan19 )，所以 A 正确；由正切函数在 (0, ) 上恒为正
cos18 cos19 2
且单调递增得 x (1 tan18 )(1 tan19 ) (1 tan 26 )(1 tan 27 ) y ，所以 B 错误；注意到
tan18 tan 27
1 tan(18 27 ) ， 所 以 tan18 tan 27 tan18 tan 27 1 ， 同 理
1 tan18 tan 27
tan19 tan 26 tan19 tan 26 1，于是 xy (1 tan18 )(1 tan 27 ) (1 tan19 )(1 tan 26 )
(1 tan18 tan 27 tan18 tan 27 )(1 tan19 tan 26 tan19 tan 26 ) 2 2 4，故 C 正确；由基
本不等式可得 x y 2 xy 4，故 D 正确.综上，选 ACD.
1 i3 i(4 3i) 3 4i 1
13.【答案】 【解析】 z ，所以 | z | .
5 4 3i (4 3i)(4 3i) 25 5
第 2 页 共 6 页
{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}
2 2
14.【答案】 112 【解析】由题意可知正四棱台的高为 5 3 4 ，所以该四棱台的体积为
1
(22 82 22 82 ) 4 112 .
3
15. 【答案】 40【解析】由题意 知， ADB 60 , BCA 30 , DAC 120 , 设 DA x ， 则
40 39 1
AB 3x, AC 3x ，在 ABC 2 2 2，由余弦定理可得 ( ) x (3x) 2 x 3x ( ) ，解得
3 2
40 3
x ，所以 AB 3x 40（米）.
3
1 1 x 1
16【. 答案】 ， 【解析】在 f ( ) f (x)中，分别令 x 0 ，得 f (0) 0，在 f (1 x) 1 f (x)中，2 128 3 2
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
令 x 1, x ，得 f (1) 1, f ( ) f ( ) 1 .又令 x ，得 f ( ) f (1) ，所以 f ( ) f ( ) ，
3 3 3 3 3 2 2 3 2 2
1 1 1
结合对于 0 x1 x2 1，都有 f (x1) f (x2 ) ，可得当 x [ , ]时，康托尔函数 f (x) ，反复利用
3 2 2
3 32
x 1 1 2
f ( ) f (x)，可得 f ( ) f ( 2023
1 3 1
) f ( ) f ( 2023
1 3
) f ( )
3 2 2023 3 2 2023 2 3 4 2023
33 34
1 3 4 5 6
f ( 2023
1 3 1 1 3 1 3 1 3
) f ( ) f ( 2023) f ( ) f ( ) f ( ) ， 注 意 到
4 3 8 2023 8 2 16 2023 32 2023 64 2023
1 36 36 36 36 2 36 2 1 1 1 1 1
，所以 f ( ) ，故第二空填 .
3 36 3 729 3 2023 3 6729 3 3 3 2023 64 2 128 128
2
（注：第一空 2 分，第二空 3 分）
17.【解析】（1）因为 (2a b)(a b) 3，所以 2a2 a b b2 3，
又 | a | 1,| b | 2，所以a b 1， ························ 2 分
因为 | a b |2 a2 2a b+ b2 12 2 1 22 3，
所以 | a b |= 3 . ·························· 5 分
a b 1
（2）设a,b的夹角 ，由（1）中可得cos ，故 .
| a || b | 2 3
b 3 1
因为b ( 3,1)，所以 ( , )， ······················· 7 分
| b | 2 2
第 3 页 共 6 页
{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}
b 1 3 1 3 1
所以向量a在向量b上的投影向量为 | a | cos ( , ) ( , ) ········ 10 分
| b | 2 2 2 4 4
a b c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 2
18．【解析】(1)由 2 ，得 2 ，所以 ，
b a ab ab 2ab 2
2
结合余弦定理可知cosC ，而0 C ，所以C . ·············································5 分
2 4
a 5 2
(2)由正弦定理可得 ，解得a 4 5 ， ·························································7 分
2 5 2
5 2
2 2 2
又由余弦定理可得50 b 80 2 4 5b ，即b 4 10b 30 0，
2
解得b 3 10 ，或b 10 ，
而 c 5 2 b，所以b 3 10 ， ········································································ 10 分
1 1 2
所以 ABC 的面积 S absin C 4 5 3 10 30 ········································· 12 分
2 2 2
19．【解析】设事件 Ai =“甲答对了 i 道题”，事件Bi =“乙答对了 i 道题”， i 0,1,2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
由题意P(A0 ) ，P(A1 ) ， P(A2 ) ，
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4
1 1 1 1 2 2 1 4 2 2 4
P(B0 ) ， P(B1 ) ，P(B2 ) ，(4 分)
3 3 9 3 3 3 3 9 3 3 9
1 1 2 2 1
（1）由题意得，甲，乙都通过考试的概率；P(A2B2 ) P(A2 )P(B2 ) ． ······8 分
2 2 3 3 9
（2）由题意得，E A1B1 A2B0 A0B2 ，
1 4 1 1 1 4 13
所以P(E) P(A1)P(B1) P(A2 )P(B0 ) P(A0 )P(B2 ) . ·········· 12 分
2 9 4 9 4 9 36
20.【解析】（1）连接OB ，由题意知DO 平面 ABC ，
故 DO BO ,则直线PB 与底面的夹角为 PBO 45 . ····················································2 分
因为底面圆的半径为 2，所以PO BO 2，底面圆的周长为4 ，
2 2
而 P 为DO 的中点，所以DO 4 ，所以圆锥的母线长为 4 2 2 5 ，
1
所以圆锥侧面展开图的面积为 4 2 5 4 5 . ·······················································6 分
2
（2）证明：连接OA,OC ，∵P 在 DO 上，OA＝OB＝OC，∴PA＝PB＝PC，
第 4 页 共 6 页
{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}
∵△ABC 是圆内接正三角形，∴AB＝BC=CA，所以 PAB PBC, PAB PAC ，
∴∠BPC＝∠APC＝90°，即 PB⊥PC，PA⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面 PAB，PC 平面 PAC，∴平面PBC 平面PAB . ··························································· 12 分
1 1
21.【解析】（1）当 t 时， AP AQ ,
3 3
因为 AQ 为边BC 的中线，
1 1 1 1
所以 AQ AB BQ AB BC AB (AC AB) AB AC ,
2 2 2 2
1 1
所以 AP AB AC . ··············································································5 分
6 6
1 1
（2）证明：由（1）可知 AQ AB AC ，
2 2
t
所以 AP t AQ (AB AC) . ···········································································6 分
2
而MP xMN ， AM AB, AN AC ，
t
所以 AP AM xAN xAM ，即 (AB AC) AB x AC x AB ,
2
t t
整理可得 ( x )AB (x )AC ， ·····································································9 分
2 2
t t
而 AB, AC 是不共线向量，所以 x x 0 ，
2 2
t t
消去 x ，可得 2 （定值）. ·············································································· 12 分
22.【解析】（1） f (x) 2 3 cos x sin x cos2 x sin4 x cos2 x sin2 x
3 sin 2 x cos2 x sin2 x(sin2 x cos2 x)，
3 sin 2 x cos 2 x 2sin(2 x )，
6
因为 1，所以 f x 2sin(2x ) . ······················ 2 分
6
第 5 页 共 6 页
{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}
3
由5 f ( ) 6得sin ，
2 12 5
4
而 ( , )，所以cos ，
2 5
24 2 7
所以sin 2 2sin cos ， cos 2 2cos 1 ， ············ 3 分
25 25
故 cos(2 ) cos 2 cos sin 2 sin
6 6 6
7 3 24 1 7 3 24
( ) . ······················· 5 分
25 2 25 2 50
x
（2）由（1）知 f ( ) sin( x )( 0)，
2 6
3 3 3
因为函数 x ( , ), x ( , ), x ( , )，
2 2 2 2 6 2 6 2 6
x 3
f ( ) sin( x )( 0)在区间 ( , )上没有零点，
2 6 2 2
k
2 6 1 7 2
所以 ，即 2k k, k Z ， ············· 8 分
3 3 9 3 k 1 k Z
2 6
7 2 1 1
因为 k 2k ，所以 k ，
9 3 3 3
7 2 7 7 1
又因为 0，所以 k 0，所以 k ，所以 k ， ············ 10 分
9 3 6 6 3
因为 k Z ，所以 k 1或 k 0，
5 1 1 7
当 k 1时， ；当 k 0时， ，
3 9 3 9
1 1 7
又因为 0，所以 的取值范围是 (0, ] [ , ]. ················· 12 分
9 3 9
第 6 页 共 6 页
{#{QQABLYYUggggABAAABgCQQWCCgOQkAECAIgORBAIIAABSQNABAA=}#}姓名
座位号
(在此卷上答题无效)
数
学
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.已知集合M={xlx2-2x-8<0},N={-3,-2,0,2,3},则M∩N=
A.x|-2
C.{-3,-2,0
D.{0,2,3
2.已知复数z=(m+1)+(m-1)i(m∈R)为纯虚数，则复数z(3-i)在复平面内对应的点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知向量a=(入，2)，b=(2,4),且(a-b)h,则入=
A.-2
B.-1
C.1
D.2
4.已知在平面直角坐标系中，点M(2,4)在角&终边上，则im(π-a)+os(-)
sin'a-2 cos'a
c.-3
5
5.手工课上某同学用六个边长相等的正方形卡片拼接成一个几何图形，如图所
示，其中AB,CD,EF,MN为对角线，该几何图形恰好能折叠组装成一个正方体
卡片纸盒，则在正方体卡片纸盒中
A.CM⊥EF
B.CM⊥AB
C.CM⊥CD
D.CM⊥MN
6.2013年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校
高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：
年级
抽查人数
平均时间
方差
高一
40
50
4
高二
60
40
6
则估计两个年级学生日阅读时间的方差为
A.52
B.29.2
C.10
D.6.4
7.已知实数a,b,c满足a=log:3,b=log5,1+logc=n5
1n4
则
A.aB.aC.cD.b高二数学试卷第1页（共4页）
8已知在△MBC中，角，B,C的对边分别为a6c,A=号点Q在边BC上，且满足心-A(店
AB
)(>0)，40=45，则6+16c的最小值是
AC
A.32
B.64
C.100
D.120
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.CPI是居民消费价格即消费价格指数，是反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变
动的宏观经济指标.下图是国家统计局发布的2022年5月至2023年5月全国居民消费价格涨跌幅
统计图，其中同比是与上年同期对比（如今年5月与上年5月），侧重数据长期趋势，环比是与上月对
比（如今年5月与4月），侧重数据短期变化，则下列说过正确的是
(%)
全国居民消费价格涨跌幅
4.0
3.5
◆一同比■一环比
3.0
2.7
2.8
2.5
2.5
2.5
2.1
2.1
2.1
2.0
1.8
1.6
1.5
1.0
1.0
0.7
0.5
0.10.2
0.8
0.0
0.5
0.3
◆
0.1
-0.5
0.0
-0.1
0.0
-0.2
-0.2
-0.5-0.3
-0.1-0.2
-1.0
2022年6月7月
8月9月10月11月12月2023年2月3月4月5月
5月
1月
A.2022年5月至2023年5月同比涨幅极差为2.7%
B.2023年1月至5月同比涨幅的75%分位数为1.0%
C.从环比看，CPI由2023年2月至4月开始持续上涨
D.随机从2023年1月至5月的同比数据选择两个研究，则选取4月和5月的概率为
10已知函数x)=sm(or+9)(o>0,0中B,C两点纵坐标相等，则
A.R(x)=sin(x)
7
3
B.f(x)=sin(2x+6
C代x)的图象向右平移π个单位长度可得一个奇函数的图象
6
D.f(x)的图象向左平移”个单位长度可得一个偶函数的图象
12
11.直四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD,AD=4BC,ADBC,AC,BD的交点为P,点Q在SD上且DQ=
4QS,三棱锥S-ABC和三棱锥Q-ACD的体积分别为V,V2,则
A.PQ//SB
B.CQ平面SAB
C.V>V2
n=
高二数学试卷第2页（共4页）】