13.3.1等腰三角形（第1课时） 课件（27张PPT）

(共27张PPT)
第13.3.1等腰三角形
（第1课时）
人教版数学八年级上册
1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.
2.探索并掌握等腰三角形的性质，并用以解决实际问题.
学习目标
A
B
C
1.有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
2.相等的两条边叫做腰.
3.另一条边叫做底边.
5.底边与腰的夹角叫做底角.
4.两腰所夹的角叫做顶角.
腰
腰
底边
顶角
底角
等腰三角形的概念
复习引入
　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并
剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
合作探究
C
B
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,填入表中:
重合的角
重合的线段
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠BDA与∠CDA
(B)
A
B
D
翻折
BD与CD
AB与AC
AD与AD
1
2
合作探究
∵∠BDA+∠CDA=1800∴∠BDA=∠CDA=900∴AD是BC边上的高线
重合（相等）的线段 重合（相等）的角
　
A
C
B
D
AB=AC
BD=CD
∠B =∠C.
∠BAD=∠CAD
∠BDA =∠CDA
等腰三角形除了两腰相等以外,你还有何发现 小组讨论想想看.
锐眼发现
AD是BC边上的中线
AD是∠BAC的角平分线
两底角相等
AD=AD
合作探究
　
发现
2.折痕AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线，也是底边BC上的中线还是底边BC上的高.
A
B
C
D
猜想
1.等腰三角形的两个底角相等.
2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合.
如何论证你们的猜想呢？
证明一个命题有哪些步骤呢？
1.等腰△ABC的两个底角∠B＝∠C.
合作探究
已知：在△ABC中，AB=AC,求证：∠B= C.
分析：1.如何证明两个角相等？
2.如何构造两个全等的三角形？
1.等腰三角形的两个底角相等.
猜想
A
B
C
D
合作探究
Δ
Δ
Δ
Δ
解法一：已知如图ΔABC 中，AB =AC，求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
合作探究
Δ
Δ
Δ
Δ
A
B
C
D
解法二：已知如图ΔABC 中，AB =AC，求证：∠B =∠C.
合作探究
Δ
Δ
Δ
Δ
A
B
C
D
解法三：已知如图ΔABC 中，AB =AC，求证：∠B =∠C.
合作探究
D
如图，作△ABC的中线AD
D
┌
如图，作△ABC
的高AD
D
如图，作顶角
的平分线AD.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
等腰三角形常见辅助线
总结归纳
性质1：等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
符号语言：
在△ABC中
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
A
B
C
总结归纳
练习1.等腰三角形一个底角为80°,求它的顶角是_____.　　
20 °
变式1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________.
变式2.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_________.
30 °，30 °
70°,40°或55°,55°
小试牛刀
A
B
D
C
猜想
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合.
从猜想1的论证中，你有什么启发呢？
合作探究
③作∠A的角平分线AD
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD 中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD ∴△ABD≌△ACD (SAS)
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90
∴AD是BC边上的中线，也是底边BC上的高
①作BC上的中线AD
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC=90°
∴AD是∠BAC的平分线，也是BC边上的高
②作AD⊥BC，垂足为D
∴ ∠ABD=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
∴△ABD≌△ACD (HL)
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
∴AD是BC边上的中线，
也是∠BAC的平分线
证明：等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合.
A
B
D
C
合作探究
符号语言:
（1）∵ 在△ABC中，AB = AC ，∠BAD = ∠CAD
∴ ⊥ ， = ；
（2）∵在△ABC中， AB = AC，BD = CD
∴ ⊥ ，∴∠ = ∠ ；
（3）∵ 在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,
∴∠ =∠ ， = .
性质2 ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（可简记为“三线合一”）
BAD CAD
BAD CAD
AD BC
AD BC
BD CD
BD CD
归纳：知一推二
总结归纳
A
B
D
C
小试牛刀
1.等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )
A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80° D.20°、80°
2.等腰三角形中，AB长是BC长2倍，三角形的周长是40，则AB的长为( )
A.20 B.16 C.20或16 D.18
B
B
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
1.图中有哪几个等腰三角形？
A
B
C
D
△ABC △ABD △BDC
2.有哪些相等的角？
∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD
典例精析
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
x
x
2x
2x
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
在 ABC中，
有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°，ABC=∠C=72°
典例精析
1.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E.求证：AE⊥BC.
证明：在△BAD与△CAD中
AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△BAD≌△CAD(SSS)
∴∠BAE=∠CAE
∵AB=AC
∴AE⊥BC
C
D
A
B
E
拓展训练
1.轴对称图形.
2.两个底角相等，简称“等边对等角”.
3.顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合 一”.
5.学习的数学思想及方法:分类讨论和一题多解.
课堂小结
等腰三角形：
4.解决等腰三角形问题时常用的辅助线.
1.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
解：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴∠B=∠C，AD⊥BC.
∵∠B=90°-∠BAD=55°,
∴∠C=55°.
C
课后作业
解：∵AB=AC=CD，
∴∠B=∠C，∠1=∠2．
∵BD=AD，
∴∠B=∠3．
∵∠1=∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
2.如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各内角的度数．
1
3
2
A
B
C
D
课后作业
谢谢聆听