24.1.2垂直于弦的直径 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
人教版数学九年级上册
第24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？
情境引入
探究 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
你能进行推理证明吗？
互动新授
分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，
A为⊙O上点C，D以外的任意一点.
过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，
垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，
∵OA=OA′
∴△OAA′是等腰三角形
∵AA′⊥CD
∴ AM=MA′
即CD是AA′的垂直平分线
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
互动新授
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
圆的对称性：
从前面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点.把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，AM与A′M重合， ， 分别与 ， 重合.
因此，AM=A′M， ，
即直径CD平分弦AA′，并且平分 ， .
互动新授
你能得出什么结论呢.
这样，我们就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB
∴AE=BE,AC=BC,AD=BD
(
(
(
(
互动新授
定理中的两个条件缺一不可:
①过圆心(直径)；
②垂直于弦.
进一步，我们还可以得到推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
∵CD是⊙O的直径，AE=BE
∴CD⊥AB,AC=BC,AD=BD
(
(
(
(
互动新授
典例精析
例2 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
⌒
⌒
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
⌒
⌒
典例精析
例3 ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
典例精析
典例精析
例3 ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
E
F
解：当弦AB和CD在圆心同侧时，过点0作OE⊥CD于点E,交AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴CE＝5cm，AF＝12cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OE-OF=12 5＝7cm.
典例精析
例3 ☉O的半径为13cm，AB、CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
E
F
解：当弦AB和CD在圆心异侧时，过点0作OE⊥CD于点E,作OF⊥AB于点F,连结OA,OC.
∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AF＝12cm，CE＝5cm，
∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝12cm，OF＝5cm，
∴EF＝OF＋OE＝17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
总结归纳
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
弓形中重要数量关系
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
1.判断下列图形，能否使用垂径定理？
×
√
×
√
√
√
小试牛刀
C
小试牛刀
C
2．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则高度CD的长为（　 ）
A．2m B．4m C．6m D．8m
B
课堂检测
3.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径.
解：由图可知，AE=BE= AB ∵OE=3cm，AB=8cm，
∴BC=4cm 在Rt△OEA中，OA= 4 +3 =5cm 即⊙O的半径是5cm．
1
2
课堂检测
1.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦， AM=BM，OM∶OC=3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm，
∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm，
∵OM：OC=3：5，
∴OM= OC=3cm，
连接OA，∵AB⊥CD，
∴M为AB的中点，即AM=BM= AB，
在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm，
根据勾股定理得：AM=
则AB=2AM=8cm．
拓展训练
2.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO的延长线垂直于BC于点E，BC=2.(1)求AB的长；(2)求⊙O的半径．
拓展训练
课堂小结
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
B
课后作业
2.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC 的中点，则∠DOC的度数是______度．
48°
课后作业
谢谢聆听