仁寿第一中学校2023-2024学年高二上学期入学考试
数学 答案版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合，则A∩B=（ ）
A. {3} B. {0} C. 【0,2】 D. {0,3}
答案：B
【详解】因为集合，所以.故选：B.
2.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
答案：D
【详解】命题“，”的否定是，，
故选：D
3.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：B
【详解】由推不出，反之，由可以推出
所以“”是“”的必要不充分条件
故选：B
4.若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为 故选：A
5.数据5，6，7，7，8，8，9，10的第75百分位数是（ ）
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
答案：C
【详解】数据从小到大排列：5，6，7，7，8，8，9，10，共个数，，
该组数据的第75百分位数是第6项和第7项的平均数，即.故选：C.
6.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
答案：A
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.故选：A.
7.设，，，则（ ）
A B.
C. D.
答案：B
【详解】解：因为，，即，
又，所以；故选：B
8.将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，
此时图像关于轴对称，所以当时，，，
则.又，则的最小值是.故选：D.
第II卷（非选择题）
二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
9.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
答案：ABC
【详解】对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；
对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.
故选：ABC.
10.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C D.
答案：BC
【详解】由可得
对A，z的虚部为，故A错误；
对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D错误；
故选：BC
11.下列命题正确的是（ ）
A. 若向量、满足，则或
B. 若向量，的夹角为钝角，则
C. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4
D. 设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底
答案：BCD
【详解】对于A，当都不为零向量且满足时，，故A错误；
对于B，因为 ，当向量，的夹角为钝角时，，
故，故B正确；
对于C，，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为 ，故C正确；
对于D，由于，不共线，故，不共线，
故，可作为该平面的一个基底，D正确；
故选：BCD
12.设函数，下列判断正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数是奇函数
C. 函数f(x)在上的值域为
D. 若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得的图象关于y轴对称，则的最小值是
答案：BD
【详解】
对于A，，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B，为奇函数，故B正确；
对于C，，，，，即在上的值域为，故C错误；
对于D，函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到，其为偶函数，所以所得，求得，则的最小值是，故D正确；故选：BD
三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，则这个随机试验的样本空间中的样本点的个数为___________．
答案：10
【详解】解：从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种；
______．
答案：－12
【详解】因为为奇函数，所以，
故．故答案为：－12.
___________.
答案：45
【详解】原数据的方差为5，则线性变换后的数据的方差为.
故答案为：45.
______．
答案：
所以当时，在上单调递增，
又因为f(x)开口向下，对称轴为，
所以，故，且在上的最大值为，
当时，在上单调递增，
所以由幂函数的性质可知，且，
故，得，
由于以上条件要同时成立，故，即.故答案为：.
五、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,5题12分,第6题12分）
（2）求函数的定义域。
解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
定义域为
.
18.已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
解：（1）根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在的值域.
19.（本小题满分12分）首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
解：（1由得．
则及格率为：％．
（Ⅱ）得分在110以下的学生所在比例为，
得分在130以下的学生所占比例为,
所以第80百分位数位于内，
由，估计第80百分位数为120．
（Ⅲ）由图可得，众数估计值为100．
平均数估计值为．
20.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
【解析】（1）因为，由正弦定理．
因，所以．
又因为，所以．
（2）选条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
选条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，平面PAB，且，F为PC中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：如图，取边的中点，连接，，
则三角形中位线可知，且，
由题可知，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
故平面；
（2）解：过点作于点，
因为平面，平面，
所以，因，所以平面，
又，所以到平面的距离即为，
又，，
所以直线与平面所成角为，所以；
22.已知定义在R的函数是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）若关于m的不等式在有解，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以，解得，经检验满足题意；
（2），令，且
则
因为，所以，即
所以
所以函数在R上单调递增；
（3）
因为为奇函数，所以
因为为增函数，所以
分离参数可得：
原问题转化为在有解，即
因为在区间单调递增，单调递减，
当时，；当时，
所以当时，取得最小值－4，所以，
故实数t的取值范围是仁寿第一中学校2023-2024学年高二上学期入学考试 数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合，则A∩B=（ ）
A. {3} B. {0} C.[ 0,2] D. {0,3}
2.命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
5.数据5，6，7，7，8，8，9，10的第75百分位数是（ ）
A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9
6.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
7.设，，，则（ ）
A B. C. D.
8.将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
9.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件
10.设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限
C D.
11.下列命题正确的是（ ）
A. 若向量、满足，则或
B. 若向量，的夹角为钝角，则
C. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4
D. 设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底
12.设函数，下列判断正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数是奇函数
C. 函数f(x)在上的值域为
D. 若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度所得的图象关于y轴对称，则的最小值是
三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，则这个随机试验的样本空间中的样本点的个数为___________．
______．
___________.
______．
五、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,5题12分,第6题12分）
；
（2）求函数的定义域。
18.已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
19.（本小题满分12分）首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；
（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．
20.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.
21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，，平面PAB，且，F为PC中点．
（1）求证：平面PAB；
（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．
22.已知定义在R的函数是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）试判断的单调性，并用定义证明；
（3）若关于m的不等式在有解，求实数的取值范围.
