人教版数学八年级上册 14.2.2 用完全平方公式分解因式 教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 14.2.2 用完全平方公式分解因式 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 107.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-12 17:52:38 | ||
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文档简介
课题：用完全平方公式分解因式
1．掌握完全平方式的概念及因式分解的完全平方公式的特点．
2．运用完全平方公式进行因式分解．
重点：掌握因式分解中完全平方公式的特点，并会用完全平方公式法进行因式分解．
难点：灵活运用完全平方公式进行因式分解．
一、情景导入，感受新知
引导学生由整式乘法中的完全平方公式推导出因式分解中的完全平方公式，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2，用文字表述为：
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
问题判断下列各式是不是完全平方式．
(1)a2－4a＋4； (2)x2＋4x＋4y2；
(3)4a2＋2ab＋b2; (4)a2－ab＋b2；
(5)x2－6x－9; (6)a2＋a＋0.25.
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P117“思考”及思考后的第一段话，完成下面的内容：
想一想：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？
它们是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．
归纳：我们把形如a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．
【合作探究】
判断下列多项式是不是完全平方式？为什么？
①a2－4a＋4；②1＋4a2；③4b2＋4b－1；④a2＋ab＋b2.
解：①是完全平方式；②③④不是完全平方式，因为它们不符合两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍的形式．
(二)阅读教材P117“思考”后的第二段话～P118例5、例6(2)，完成下列内容：
填空：(a＋2)2＝a2＋4a＋4；(a－2)2＝a2－4a＋4；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
【合作探究】
观察上面的式子，可以得到：把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换位置，就得到了因式分解的完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2和a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
即：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
公式的特点是什么？运用它进行因式分解的前提是什么？
归纳：1.完全平方公式分解因式的特征：(1)左边是三项式，其中前后两项是两个数的平方，且它们的符号相同，中间是这两个数的积的2倍或积的2倍的相反数；(2)右边是两个数的和(或差)的平方．
2．运用完全平方公式分解因式的前提条件是三项式，并且是符合完全平方式的特点的式子．
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：分解因式：
(1)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16；
解：原式＝(m2－4m＋4)2
＝(m－2)4；
(2)(x2－1)－6(x2－1)＋9.
解：原式＝(x2－1－3)2
＝(x＋2)2(x－2)2.
例2：把下列各式分解因式．
(1)－a2＋b2；
(2)a2(x－y)＋49b2(y－x)；
(3)(5m2－2n2)2－(2m2－5n2)2；
(4)16(x－y)4－72(x－y)2＋81.
【分析】(1)(2)题先提公因式再运用公式；(3)题用公式后还可以再提公因式，再用公式分解．
解：(1)－a2＋b2＝－(a2－4b2)＝－(a＋2b)(a－2b)．
(2)a2(x－y)＋49b2(y－x)＝a2(x－y)－49b2(x－y)＝(x－y)(a2－49b2)＝(x－y)(a＋7b)(a－7b)．
(3)(5m2－2n2)2－(2m2－5n2)2＝[(5m2－2n2)＋(2m2－5n2)][(5m2－2n2)－(2m2－5n2)]＝(7m2－7n2)(3m2＋3n2)＝21(m2－n2)(m2＋n2)＝21(m－n)(m＋n)(m2＋n2)．
(4)16(x－y)4－72(x－y)2＋81＝[4(x－y)2－9]2＝{[2(x－y)＋3][2(x－y)－3]}2＝(2x－2y＋3)2(2x－2y－3)2.
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
四、课堂小结，回顾新知
由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±ab＋b2(a±b)2.
在运用公式因式分解时，要注意：
1．每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
2．在有一些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；
3．当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解．
五、检测反馈、落实新知
1．分解因式2x2－4x＋2的最终结果是( C )
A．2x(x－2) B．2(x2－2x＋1)
C．2(x－1)2 D．(2x－2)2
2．分解因式：(1)x3－2x2y＋xy2＝x(x－y)2；
(2)(呼和浩特中考)6xy2－9x2y－y3＝－y(3x－y)2．
3．分解因式：
(1)16x2－8x＋1；
解：原式＝(4x－1)2；
(2)－x2＋10xy－25y2.
解：原式＝－(x2－10xy＋25y2)
＝－(x－5y)2.
4．已知a－b＝1，ab＝3，求a3b－2a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2，
当a－b＝1，ab＝3时，
原式＝3×12＝3.
5．用简便方法计算：
852＋842－168×85.
解：原式＝852－2×85×84＋842
＝(85－84)2
＝12
＝1.
六、课后作业：巩固新知
(见学生用书)
1．掌握完全平方式的概念及因式分解的完全平方公式的特点．
2．运用完全平方公式进行因式分解．
重点：掌握因式分解中完全平方公式的特点，并会用完全平方公式法进行因式分解．
难点：灵活运用完全平方公式进行因式分解．
一、情景导入，感受新知
引导学生由整式乘法中的完全平方公式推导出因式分解中的完全平方公式，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2，用文字表述为：
两个数的平方和，加上(或减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
问题判断下列各式是不是完全平方式．
(1)a2－4a＋4； (2)x2＋4x＋4y2；
(3)4a2＋2ab＋b2; (4)a2－ab＋b2；
(5)x2－6x－9; (6)a2＋a＋0.25.
二、自学互研，生成新知
【自主探究】
(一)阅读教材P117“思考”及思考后的第一段话，完成下面的内容：
想一想：多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？
它们是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍．
归纳：我们把形如a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式．
【合作探究】
判断下列多项式是不是完全平方式？为什么？
①a2－4a＋4；②1＋4a2；③4b2＋4b－1；④a2＋ab＋b2.
解：①是完全平方式；②③④不是完全平方式，因为它们不符合两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍的形式．
(二)阅读教材P117“思考”后的第二段话～P118例5、例6(2)，完成下列内容：
填空：(a＋2)2＝a2＋4a＋4；(a－2)2＝a2－4a＋4；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
【合作探究】
观察上面的式子，可以得到：把整式乘法的完全平方公式的等号两边互换位置，就得到了因式分解的完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2和a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
即：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
公式的特点是什么？运用它进行因式分解的前提是什么？
归纳：1.完全平方公式分解因式的特征：(1)左边是三项式，其中前后两项是两个数的平方，且它们的符号相同，中间是这两个数的积的2倍或积的2倍的相反数；(2)右边是两个数的和(或差)的平方．
2．运用完全平方公式分解因式的前提条件是三项式，并且是符合完全平方式的特点的式子．
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
三、典例剖析，运用新知
【合作探究】
例1：分解因式：
(1)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16；
解：原式＝(m2－4m＋4)2
＝(m－2)4；
(2)(x2－1)－6(x2－1)＋9.
解：原式＝(x2－1－3)2
＝(x＋2)2(x－2)2.
例2：把下列各式分解因式．
(1)－a2＋b2；
(2)a2(x－y)＋49b2(y－x)；
(3)(5m2－2n2)2－(2m2－5n2)2；
(4)16(x－y)4－72(x－y)2＋81.
【分析】(1)(2)题先提公因式再运用公式；(3)题用公式后还可以再提公因式，再用公式分解．
解：(1)－a2＋b2＝－(a2－4b2)＝－(a＋2b)(a－2b)．
(2)a2(x－y)＋49b2(y－x)＝a2(x－y)－49b2(x－y)＝(x－y)(a2－49b2)＝(x－y)(a＋7b)(a－7b)．
(3)(5m2－2n2)2－(2m2－5n2)2＝[(5m2－2n2)＋(2m2－5n2)][(5m2－2n2)－(2m2－5n2)]＝(7m2－7n2)(3m2＋3n2)＝21(m2－n2)(m2＋n2)＝21(m－n)(m＋n)(m2＋n2)．
(4)16(x－y)4－72(x－y)2＋81＝[4(x－y)2－9]2＝{[2(x－y)＋3][2(x－y)－3]}2＝(2x－2y＋3)2(2x－2y－3)2.
①明了学情：学生自主学习，教师巡视全班．
②差异指导：对于自学中遇到的问题适时点拨．
③生生互助：先自学，对于困惑，同桌、小组交流．
四、课堂小结，回顾新知
由于多项式的因式分解与整式乘法正好相反，因此把整式乘法公式反过来写，就得到多项式因式分解的公式，主要的有以下三个：
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±ab＋b2(a±b)2.
在运用公式因式分解时，要注意：
1．每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
2．在有一些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；
3．当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解．
五、检测反馈、落实新知
1．分解因式2x2－4x＋2的最终结果是( C )
A．2x(x－2) B．2(x2－2x＋1)
C．2(x－1)2 D．(2x－2)2
2．分解因式：(1)x3－2x2y＋xy2＝x(x－y)2；
(2)(呼和浩特中考)6xy2－9x2y－y3＝－y(3x－y)2．
3．分解因式：
(1)16x2－8x＋1；
解：原式＝(4x－1)2；
(2)－x2＋10xy－25y2.
解：原式＝－(x2－10xy＋25y2)
＝－(x－5y)2.
4．已知a－b＝1，ab＝3，求a3b－2a2b2＋ab3的值．
解：原式＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2，
当a－b＝1，ab＝3时，
原式＝3×12＝3.
5．用简便方法计算：
852＋842－168×85.
解：原式＝852－2×85×84＋842
＝(85－84)2
＝12
＝1.
六、课后作业：巩固新知
(见学生用书)