初中数学北师大版八上 7.5.1三角形内角和定理 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第七章 平行线的证明
7.5.1 三角形内角和定理
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°．
2. 会运用三角形内角和定理进行计算.
学习目标
同学们知道三角形的内角和等于多少吗 你们还记得这个结论的探索过程吗
思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
问题探究
剪拼
A
B
C
2
1
（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演示剪拼过程）
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
证法1：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法2：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想 同学们还有其他的方法吗？
思考 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
C
2
4
3
Q
1
C
2
4
3
D
1
试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
典例解析
归纳总结
三角形内角和等于180°.
三角形内角和定理
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
例1 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
典例解析
A
B
C
D
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=
在△ ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
×80°=40° （角平分线的定义）
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,
所以∠ABD＝60°.
又因为∠DBE＝90°，
所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.
因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
所以∠ACE＝90°－40°＝50°.
所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
课堂演练
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280 °
2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　 ．
100 °
4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
课堂小结