初中数学人教版八上15.3分式方程 第1课时 教案

15.3分式方程 第1课时
【教学目标】
1.理解分式方程的概念，会判断分式方程，会解分式方程，并验根．
2.经历“分式方程→整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识.
3.培养学生自主探索的意识，提高学生的观察能力和分析能力.
【教学重难点】
重点：掌握分式方程的概念及解法．
难点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
【教学方法】
启发讲授、合作探究、讲练相结合.
【教学过程】
新课导入：
创设情境
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时，根据题意可列方程 .
答案：
新课讲授：
（一）分式方程定义
思考：这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
归纳定义：
此方程的分母中含有未知数x，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
；；；；；；.
（二）分式方程的解法
如何把它转化为整式方程呢？
怎样去分母？这样做的依据是什么？
分析：
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得，x=6.
检验：将x=6代入原分式方程中，左边==右边，因此x=6是原分式方程的解.
下面我们再讨论一个分式方程的解法：
在方程两边乘最简公分母 (x-5)(x+5)，
得，x+5=10，解得，x=5.
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，因此x=5不是分式方程的解，实际上，这个分式方程无解.
思考：
前面的分式方程中，为什么有的去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而有的去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）.
：当x=6时，(30+x)(30-x)≠0，这就是说，去分母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
：当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则这个解不是原方程的解.
归纳结论：
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解分式方程的步骤：
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
练习: 指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.
；②.
解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；
②最简公分母x2-1，去分母得2(x+1)=4.
例1：解方程 1=
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
1.要把方程化为整式方程，方程两边可以同乘以（ D ）
3y-6 B. 3y
3 (3y-6) D. 3y (y-2)
2. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ A ）
A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
3. 解方程：
解：去分母，得
得，.
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：.
（二）求分式方程的参数值
例2：关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是______________．
分析：方程的解是正数满足的条件是：分母不为0；方程的解大于0.
答案：a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
课堂练习：
若分式方程的解不大于2，试确定k的取值．
解：
两边同时乘，得：
去括号得：
解得：
由题意可得：，，，
∴且，即且
解得且且
分析：分式方程产生增根，则增根一定是使原分式方程的最简公分母为0的值，即x=3.
解：原分式方程化整式方程为：x=-a+6，当x=3时会产生增根，即6-a=3，解得a=3.
所以，当a=3时，此分式方程会产生增根.
课堂练习：
已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值.
解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx，
整理，得x2+（k-2）x-4=0.
因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
当x=0时，代入方程得-4=0，
所以x=0不是方程的增根；
当x=1时，代入方程，得k=5，
所以k=5时方程有增根为x=1.
例4：若关于x的分式方程+=无解，求m的值．
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得，(m－1)x＝－10.
当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，
解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
课堂练习：
1.当a为何值时，关于x的方程无解？
解：由原方程得：2（x+2）-ax=3（x-2），
整理得：（a+1）x=10，
（i）当a+1=0，即a=-1时，原方程无解；
（ii）当a+1≠0，原方程有增根x=±2，
当x=2时，2（a+1）=10，即a=4；
当x=-2时，-2（a+1）=10，即a=-6，
即当a=-1，4或-6时原方程无解．
2. 若关于x的分式方程无解，则m的值为 ( )
A．－1，5 B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
课堂小结：
掌握分式方程的概念，
理解解分式方程的步骤和注意事项，
能计算分式方程中的参数值.
布置作业：
完成本节课配套习题.
【板书设计】
分式方程
【课后反思】
对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式．
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