初中数学人教版八上 15.3分式方程 第2课时 教案

15.3分式方程
【教学目标】
1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.
2.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生运用方程思想解决问题的能力和思维水平.
3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用价值.
【教学重难点】
重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析.
难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结.
【教学方法】
启发讲授、合作探究、讲练相结合.
【教学过程】
新课导入：
复习：
1.解分式方程的基本思路是什么？答：分式方程去分母转化成整式方程.
2.解分式方程有哪几个步骤？答：一化二解三检验
3.验根有哪几种方法？
答：有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
思考：我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价.
应用题的解题步骤：审、找、设、列、解、检、答.
新课讲授：
（一）工程问题
例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
解法1：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是，
根据题意得，
解得 x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
解法2：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得，，解得 x=1.
经检验：原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
注意：
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2.通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
课堂练习：
抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得+=1 ，解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴ x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
（二）路程问题
例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10 km/h，请问面包车，小轿车的速度分别为多少千米/小时？
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，
依题意得，
解得x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且x=90，x+10=100，符合题意.
答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时.
变式：小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少千米/小时？
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得， ，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.
答：小轿车提速为30千米/小时.
变式2：两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在S公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少千米/小时？
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得，，
解得x＝.
，
注意：
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
归纳概括：
列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:审清题意，并设未知数；
2.找:找相等关系；
3.列:列出方程；
4.解:解这个分式方程；
5.验:验验根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）；
6.写:写答案.
课堂练习：
小轿车平均提速v km/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km,提速前小轿车车的平均速度为多少千米/小时？
解：设小轿车提速为x千米/小时， 依题意得，
，
，
检验：由s，v都是正数，得时，x(x+v)≠0，∴原分式方程的解为：.
答：小轿车的速度为千米/小时.
课堂练习：
一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.
解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
解得，x=±18.
x=－18（不合题意，舍去），
检验得：x=18.
答：船在静水中的速度为18千米/小时.
（三）利润问题
例3： 嘉嘉果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？
(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解：(1)设第一次购买的单价为x元，
则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得，，
解得x＝6.
经检验，x＝6是原方程的解．
答：第一次水果的进价为每千克6元．
(2)第一次购买水果1200÷6＝200(千克)．
第二次购买水果200＋20＝220(千克)．
第一次赚钱为200×(8－6)＝400(元)，
第二次赚钱为100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)．
所以两次共赚钱400－12＝388(元)．
某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：
同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋60)元，根据题意，列方程得
=
解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的根，当x＝100时，x＋60＝160.
答：排球的单价为100元，篮球的单价为160元．
课堂小结：
通过体验理解解分式方程的步骤和注意事项，
能运用利用分式方程解应用题.
布置作业：
1.完成本节课配套习题.
【板书设计】
分式方程解应用题
【课后反思】
在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与学习全过程，培养分析应用题的能力．
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