初中数学人教版八下16.2.2二次根式的除法与最简二次根式 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八下16.2.2二次根式的除法与最简二次根式 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 217.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-12 22:18:17 | ||
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文档简介
16.2.2二次根式的除法与最简二次根式
教学内容分析
通过对二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有了比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础．本节内容主要是在做二次根式的除法运算时分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行；二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估算运算结果，明确运算方向.
教学目标
1.了解二次根式的除法法则；
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算;
3.能将二次根式化为最简二次根式.
教学重难点
【重点】二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式．
【难点】二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）情境导入
多媒体出示图片和问题：站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为.
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？
解：
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
意图：在一系列的情景中设置问题，引发学生思考，引出二次根式除法的课题.
效果：激发了学生学习的兴趣，引发了学生对二次根式除法的思考，引出了课题.
新课讲授
二次根式的除法法则
计算下列各式：
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？
议一议 在前面发现的规律中，a，b的取值范围有没有限制呢？
归纳总结 二次根式的除法法则：
文字叙述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
意图：学生通过类比探究二次根式乘法法则的方法，自主探究得出二次根式的除法法则后，在此教师引导学生明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误.
效果：学生通过类比探究归纳出了二次根式的除法法则.
例1 计算：（1）（2）
归纳：类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
意图：让学生初步利用二次根式除法法则进行简单的运算，并及时归纳方法，让学生学会学习.
效果：学生基本掌握了二次根式除法法则的运用.
商的算术平方根的性质
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质：
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例2 化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
解：（1）
对于（2）还有其他解法：
归纳：在化简二次根式时，可以先运用商的算术平方根的性质，也可以先运用积的平方根的性质，只要运算简便即可.
意图：学生类比上节课积的算术平方根性质，自主学习得到商的算术平方根的性质，并在题目中加以运用，充分发挥了学生的自主学习能力.
效果：学生基本掌握了商的算术平方根的性质的运用.
最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子的分母的根号吗？是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
下面让我们一起来做做看吧：
归纳概念：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
例3 计算：（1）；（2）；（3）.
归纳 分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.
总结 满足如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
意图：此环节类比分数的基本性质，引导学生将分母有理化，进而化简二次根式，得到最简二次根式，循序渐进，让学生体会数学的逻辑性、严谨性和简洁性.
效果：学生通过类比的学习方法，基本理解了最简二次根式的概念和二次根式化简方法.
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
；（2）；（3）；（4）；（5）.
解：只有（3）是最简二次根式；
（4）
（5）
意图：设置针对性的练习，让学生在计算中体会分母有理化的运用，二次根式的化简，加深对最简二次根式的理解.
效果：学生通过题目的计算基本掌握了将二次根式化简为最简二次根式的方法.
课堂练习
化简的结果是（ B ）
A.9 B.3 C. D.
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
A. B. C. D.
3.化简：（1）
（2）
（3）
4.高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解：由题意得
意图：检测学生对二次根式的除法法则、商的算术平方根的性质运用，和对最简二次根式的掌握情况.
效果：巩固了学生对二次根式除法法则、商的算术平方根的性质、分母有理化的运用.
课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
二次根式的除法法则：
商的算术平方根的性质：
分母有理化→最简二次根式：
一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
16.2.2二次根式的除法与最简二次根式
1.二次根式的除法法则：
2.商的算术平方根的性质：
3.分母有理化→最简二次根式：
一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
课后反思
本节课类比二次根式的乘法法则的探究过程，充分发挥学生在学习中的主体性地位，让学生经历计算、观察、总结、归纳、练习运用的数学研究过程，体会数学中的算理，培养学生的数感，提高学生的计算能力.最简二次根式是二次根式中的重要内容，对学生后续的计算有重要的意义，因此在本节课中有意让学生类比分数的基本性质，自己探究出分母有理化是二次根式化简的一般方法，并总结最简二次根式的特点.在课后的练习题目中还需要针对此知识点进行拓展练习.
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教学内容分析
通过对二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有了比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础．本节内容主要是在做二次根式的除法运算时分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行；二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估算运算结果，明确运算方向.
教学目标
1.了解二次根式的除法法则；
2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算;
3.能将二次根式化为最简二次根式.
教学重难点
【重点】二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式．
【难点】二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）情境导入
多媒体出示图片和问题：站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为.
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平线的距离d1是多少？
解：
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
意图：在一系列的情景中设置问题，引发学生思考，引出二次根式除法的课题.
效果：激发了学生学习的兴趣，引发了学生对二次根式除法的思考，引出了课题.
新课讲授
二次根式的除法法则
计算下列各式：
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式的结果吗？
议一议 在前面发现的规律中，a，b的取值范围有没有限制呢？
归纳总结 二次根式的除法法则：
文字叙述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
意图：学生通过类比探究二次根式乘法法则的方法，自主探究得出二次根式的除法法则后，在此教师引导学生明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误.
效果：学生通过类比探究归纳出了二次根式的除法法则.
例1 计算：（1）（2）
归纳：类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
意图：让学生初步利用二次根式除法法则进行简单的运算，并及时归纳方法，让学生学会学习.
效果：学生基本掌握了二次根式除法法则的运用.
商的算术平方根的性质
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质：
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例2 化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
解：（1）
对于（2）还有其他解法：
归纳：在化简二次根式时，可以先运用商的算术平方根的性质，也可以先运用积的平方根的性质，只要运算简便即可.
意图：学生类比上节课积的算术平方根性质，自主学习得到商的算术平方根的性质，并在题目中加以运用，充分发挥了学生的自主学习能力.
效果：学生基本掌握了商的算术平方根的性质的运用.
最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子的分母的根号吗？是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？
下面让我们一起来做做看吧：
归纳概念：把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.
例3 计算：（1）；（2）；（3）.
归纳 分母形如的式子，分子、分母同乘以可使分母不含根号.
总结 满足如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
意图：此环节类比分数的基本性质，引导学生将分母有理化，进而化简二次根式，得到最简二次根式，循序渐进，让学生体会数学的逻辑性、严谨性和简洁性.
效果：学生通过类比的学习方法，基本理解了最简二次根式的概念和二次根式化简方法.
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
；（2）；（3）；（4）；（5）.
解：只有（3）是最简二次根式；
（4）
（5）
意图：设置针对性的练习，让学生在计算中体会分母有理化的运用，二次根式的化简，加深对最简二次根式的理解.
效果：学生通过题目的计算基本掌握了将二次根式化简为最简二次根式的方法.
课堂练习
化简的结果是（ B ）
A.9 B.3 C. D.
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
A. B. C. D.
3.化简：（1）
（2）
（3）
4.高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解：由题意得
意图：检测学生对二次根式的除法法则、商的算术平方根的性质运用，和对最简二次根式的掌握情况.
效果：巩固了学生对二次根式除法法则、商的算术平方根的性质、分母有理化的运用.
课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
二次根式的除法法则：
商的算术平方根的性质：
分母有理化→最简二次根式：
一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
作业布置
完成配套练习
板书设计
16.2.2二次根式的除法与最简二次根式
1.二次根式的除法法则：
2.商的算术平方根的性质：
3.分母有理化→最简二次根式：
一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
课后反思
本节课类比二次根式的乘法法则的探究过程，充分发挥学生在学习中的主体性地位，让学生经历计算、观察、总结、归纳、练习运用的数学研究过程，体会数学中的算理，培养学生的数感，提高学生的计算能力.最简二次根式是二次根式中的重要内容，对学生后续的计算有重要的意义，因此在本节课中有意让学生类比分数的基本性质，自己探究出分母有理化是二次根式化简的一般方法，并总结最简二次根式的特点.在课后的练习题目中还需要针对此知识点进行拓展练习.
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