初中数学人教版八下16.3.2二次根式的混合运算 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八下16.3.2二次根式的混合运算 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 184.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-12 22:19:48 | ||
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文档简介
16.3.2二次根式的混合运算
教学内容分析
在加、减、乘、除混合运算的基础上，本节课进一步学习二次根式的混合运算. 二次根式的混合运算是本章内容的综合运用，也是本章教学要求是否达到的“试金石”. 二次根式和整式在性质、运算性质上是一致的，实数的运算律、整式的乘法公式对二次根式的运算仍然适用.体会数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性和数式通性.
教学目标
1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
教学重难点
【重点】.掌握二次根式的混合运算的运算法则．
【难点】会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）复习导入
多媒体出示问题：
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么？
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么？
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母a，b，c，m都用二次根式代替（每个同学任选一组），然后对比归纳，你们发现了什么？
意图：设置问题，让学生回忆整式乘除法法则，并思考整式与二次根式运算间的联系，从而引出本节课题.
效果：通过问题复习，引发了学生的思考，引出了课题.
新课讲授
二次根式的混合运算及应用
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
；（2）；（3）
归纳：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
变式题 计算：
；
归纳：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
意图：由于二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，直接让学生进行题目训练，体会二次根式的混合运算顺序和方法.
效果：通过例题和变式题，学生们基本理解了二次根式混合运算和整式一样.
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽，高的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积，其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为.
练一练 计算：
；（2）
意图：设置实际问题，让学生体会二次根式混合运算如何解决实际问题. 同时在解题时，让学生体会分配律在二次根式混合运算中的应用，进一步理解二次根式混合运算和整式乘法法则的一致性.
效果：通过例题和练习学生进一步体会了二次根式混合运算和整式乘法法则的一致性.
利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些？
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗？
例3 计算：
；（2）；
（3）；（4）
归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
练一练 计算：
（1）；（2）
意图：本环节主要是设置问题，让学生回忆乘法公式，并结合题目体会乘法公式在二次根式运算中的运用.
效果：学生通过题目明白了乘法公式在二次根式的运算中一样适用.
求代数式的值
例3 已知，试求的值.
解：
把代入上式得
原式=
变式题 已知，求.
解：∵
∴
∴
归纳：用整体代入法求代数式的值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求等的值，然后将所求代数式适当变形成含等的式子，再代入求值.
意图：本环节为二次根式混合运算的拓展提升部分，重在让学生理解二次根式在解代入求值的题目时，可以根据题目特征，采用整体代入的方法，从而使题目的解答方便.
效果：学生基本理解了用整体代入的方法求代数式的值.
拓展探究 在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
例4 计算：
（1）；（2）
归纳 分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
变式题 已知，求
归纳 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.
意图：此部分为用分母有理化来化简二次根式的补充和拓展，从单个二次根式到两个二次根式，教师引导学生可以利用乘法公式中的平方差公式来将其分母有理化，从而达到化简二次根式的目的.
效果：学生基本掌握了利用平方差公式来进行分母有理化，从而化简二次根式的方法.
课堂练习
1.下列计算正确的是（B）
A. B.
C. D.
2.计算：
3.设，则（填“>”“<”或“=”）.
4.计算：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
解：（1）5；（2）4；（3）6；（4）；（5）.
5.（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
解：（1）-1；（2）4.
意图：检测学生对二次根式的加减乘除混合运算法则，乘法公式在二次根式中运用的掌握情况.
效果：巩固了学生对二次根式的混合运算和乘法公式的运用.
（四）课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
二次根式混合运算法则
先乘除，再加减，有括号的要算括号内的（与整式运算一样）
利用乘法公式进行二次根式的运算
一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
求代数式的值
整体代入法
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
（五）作业布置
完成配套练习
板书设计
16.3.2二次根式的混合运算
1.二次根式混合运算法则
先乘除，再加减，有括号的要算括号内的（与整式运算一样）
2.利用乘法公式进行二次根式的运算
一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
3.求代数式的值
整体代入法
课后反思
本节课是本章之前所学知识的总结，是对本章所学的二次根式加减乘除进行综合后的混合运算，所以本节课以学生自主练习为主，让学生在计算过程中体会二次根式和整式一致性的算理，及时总结方法，提高学生的计算能力.整节课中，教师只是在适当的时候对学生加以引导，用问题来引发学生思考，从而帮助学生找到解决问题的方法，比如运用平方差公式来进行分母有理化，从而达到化简二次根式的目的.本节课的不足之处是，计算题目量比较大，需要合理安排课堂时间，才能达到预期的效果.
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教学内容分析
在加、减、乘、除混合运算的基础上，本节课进一步学习二次根式的混合运算. 二次根式的混合运算是本章内容的综合运用，也是本章教学要求是否达到的“试金石”. 二次根式和整式在性质、运算性质上是一致的，实数的运算律、整式的乘法公式对二次根式的运算仍然适用.体会数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性和数式通性.
教学目标
1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；
2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
教学重难点
【重点】.掌握二次根式的混合运算的运算法则．
【难点】会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）复习导入
多媒体出示问题：
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么？
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么？
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母a，b，c，m都用二次根式代替（每个同学任选一组），然后对比归纳，你们发现了什么？
意图：设置问题，让学生回忆整式乘除法法则，并思考整式与二次根式运算间的联系，从而引出本节课题.
效果：通过问题复习，引发了学生的思考，引出了课题.
新课讲授
二次根式的混合运算及应用
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
；（2）；（3）
归纳：二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
变式题 计算：
；
归纳：有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
意图：由于二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，直接让学生进行题目训练，体会二次根式的混合运算顺序和方法.
效果：通过例题和变式题，学生们基本理解了二次根式混合运算和整式一样.
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽，高的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积，其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为.
练一练 计算：
；（2）
意图：设置实际问题，让学生体会二次根式混合运算如何解决实际问题. 同时在解题时，让学生体会分配律在二次根式混合运算中的应用，进一步理解二次根式混合运算和整式乘法法则的一致性.
效果：通过例题和练习学生进一步体会了二次根式混合运算和整式乘法法则的一致性.
利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些？
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗？
例3 计算：
；（2）；
（3）；（4）
归纳：进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
练一练 计算：
（1）；（2）
意图：本环节主要是设置问题，让学生回忆乘法公式，并结合题目体会乘法公式在二次根式运算中的运用.
效果：学生通过题目明白了乘法公式在二次根式的运算中一样适用.
求代数式的值
例3 已知，试求的值.
解：
把代入上式得
原式=
变式题 已知，求.
解：∵
∴
∴
归纳：用整体代入法求代数式的值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求等的值，然后将所求代数式适当变形成含等的式子，再代入求值.
意图：本环节为二次根式混合运算的拓展提升部分，重在让学生理解二次根式在解代入求值的题目时，可以根据题目特征，采用整体代入的方法，从而使题目的解答方便.
效果：学生基本理解了用整体代入的方法求代数式的值.
拓展探究 在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:
思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
例4 计算：
（1）；（2）
归纳 分母形如的式子，分子、分母同乘以的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.
变式题 已知，求
归纳 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.
意图：此部分为用分母有理化来化简二次根式的补充和拓展，从单个二次根式到两个二次根式，教师引导学生可以利用乘法公式中的平方差公式来将其分母有理化，从而达到化简二次根式的目的.
效果：学生基本掌握了利用平方差公式来进行分母有理化，从而化简二次根式的方法.
课堂练习
1.下列计算正确的是（B）
A. B.
C. D.
2.计算：
3.设，则（填“>”“<”或“=”）.
4.计算：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）.
解：（1）5；（2）4；（3）6；（4）；（5）.
5.（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
解：（1）-1；（2）4.
意图：检测学生对二次根式的加减乘除混合运算法则，乘法公式在二次根式中运用的掌握情况.
效果：巩固了学生对二次根式的混合运算和乘法公式的运用.
（四）课堂小结
先让学生自己总结反思，然后同学之间进行交流，再找学生谈谈自己的收获.
二次根式混合运算法则
先乘除，再加减，有括号的要算括号内的（与整式运算一样）
利用乘法公式进行二次根式的运算
一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
求代数式的值
整体代入法
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
（五）作业布置
完成配套练习
板书设计
16.3.2二次根式的混合运算
1.二次根式混合运算法则
先乘除，再加减，有括号的要算括号内的（与整式运算一样）
2.利用乘法公式进行二次根式的运算
一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.
3.求代数式的值
整体代入法
课后反思
本节课是本章之前所学知识的总结，是对本章所学的二次根式加减乘除进行综合后的混合运算，所以本节课以学生自主练习为主，让学生在计算过程中体会二次根式和整式一致性的算理，及时总结方法，提高学生的计算能力.整节课中，教师只是在适当的时候对学生加以引导，用问题来引发学生思考，从而帮助学生找到解决问题的方法，比如运用平方差公式来进行分母有理化，从而达到化简二次根式的目的.本节课的不足之处是，计算题目量比较大，需要合理安排课堂时间，才能达到预期的效果.
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