初中数学北师大版八上 7.5.1三角形内角和定理 教学设计

7.5.1 三角形内角和定理
一、教学目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°．
2.会运用三角形内角和定理进行计算.
二、教学重难点
重点:运用三角形内角和定理解决有关求角的问题.
难点:添加辅助线.
三、教法与学法
教法:通过问题情境的探究讨论,启发、引导学生如何通过添加辅助线来证明三角形的内角和定理,并应用定理去解决某些应该求角的问题.
学法:观察、讨论、交流、归纳、应用,通过课堂讨论和练习掌握新知识.
四、教学过程
（一）问题探究
同学们知道三角形的内角和等于多少吗 你们还记得这个结论的探索过程吗
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢 用拼接的方法，你知道怎样操作吗？（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程）
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你还有什么方法可以达到同样的效果
教材图7-12
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
【设计意图】问题的引入意在引起学生的注意,了解解决问题的途径,激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生学以致用,设法寻求方案,解决问题.
如果我们把上面的问题转化为数学的语言,则有：
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
教材图7-13
证法1：分析：前面我们探究三角形的内角和,实际上就是设法把三个角移动到一起;如何能够移动到一起呢 延长BC到D,过点C作射线CE∥BA(教材图7-14),这样就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
教材图7-14
延长BC到D,过点C作射线CE∥BA,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠B(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
说明:这里的CD,CE是我们添加的,可以帮助完成证明的称为辅助线.辅助线通常画成虚线.
证法2：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°, (两直线平行，同旁内角相补)
∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
【设计意图】新课的导入是为了通过作辅助线,证明定理,从而培养学生的思考能力、分析能力,以及培养学生应用数学的能力.让学生了解证明的过程与方法.
（二）归纳总结
三角形内角和定理:三角形的内角和是180°.
作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结：为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
（三）典例解析
例1：如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°
在△ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
例2：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3：如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向,
所以∠ABD＝60°.
又因为∠DBE＝90°，
所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.
因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
所以∠ACE＝90°－40°＝50°.
所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
（四）课堂演练
1.求出下列各图中的x值．
2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　 ．
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
（五）课堂小结
通过学习本课,你有哪些收获 你学到了哪些数学方法
1.本课主要学习如何添加辅助线证明三角形内角和定理.
2.添加辅助线的目的是通过构造平行线把不同位置的角移动到共顶点的位置.
3.利用三角形内角和定理解决了求角度的问题.
（六）布置作业
教材习题7.6.
四、板书设计
7.5.1　三角形的内角和
1.复习三角形内角和定理
2.证明三角形内角和定理
五、教学反思
三角形的内角和定理是研究三角形的角的关系、求解与三角形有关的角的大小的重要依据,也是平行线的性质定理和判定定理的重要应用.学生学习的难点是证明三角形的内角和定理,学生往往无从下手.教师以介绍证明思路,培养学生的推理证明能力为主,让学生了解可以通过添加辅助线解决问题,知道一个问题有多种解决的办法.
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