初中数学北师大版八上 7.5.2三角形内角和定理 教学设计

7.5.2 三角形内角和定理
一、教学目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．
2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明.
二、教学重难点
重点:运用三角形内角和定理的推论解决有关求角的问题.
难点:添加辅助线.
三、教法与学法
教法:通过问题情境的探究讨论,启发、引导学生如何通过添加辅助线来证明三角形的内角和定理,并应用定理去解决某些应该求角的问题.
学法:观察、讨论、交流、归纳、应用,通过课堂讨论和练习掌握新知识.
四、教学过程
（一）情境导入
想一想：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
（二）问题探究
定义：如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角.
问题1：如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角.
画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角.每一个三角形都有6个外角．
问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题4 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
验证结论：
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）.
∠2=∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
三角形内角和定理的推论（一）：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD=∠A+∠B.
如图1，试比较∠2 、∠1的大小.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
如图2，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形内角和定理的推论（二）：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
说明:在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或者定理的推论.推论可以当做定理使用.
（三）典例解析
例1：已知:如图,在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C.
求证:AD∥BC.
解析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
教材图7-18
证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C(已知),
∴∠C=∠EAC(等式性质).
∵AD平分么EAC(已知),
∴∠DAC=∠EAC(角平分线定义).
∴DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
想一想：你还有其他的证明方法吗
例2：已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.求证:∠BPC>∠A.
教材图7-19
解析：要证明∠BPC>∠A,我们要应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”.因此,要试着找外角.
证明：
教材图7-20
如图,延长BP,交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义),
∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个与和不相邻的内角).
∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义),
∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个与和不相邻的内角)
∴∠BPC>∠A(不等式的性质)
小结:当无法直接从已知条件得到结论时,要寻找中间的过渡条件,有时还要添加辅助线
想一想：你还有其他的证明方法吗 与同伴交流.
(1)方法1:延长CP交AB于点E;
(2)方法2:连接AP并延长.
设计意图：学生经历从三角形内角和定理推导出三角形的外角定理的过程,体会定理的推导,帮助学生应用认知结构的正迁移.
（四）课堂演练
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（3）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（4）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
4.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　 　）
A．24° B．59° C．60° D．69°
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
（五）课堂小结
通过学习本课,你有哪些收获 你学到了哪些数学方法
1.三角形外角的性质:
(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
2.探究这些性质用了化归的数学思想.
3.了解运用辅助线解决几何问题的常见解题思路.
（六）布置作业
教材习题7.7.
五、板书设计
7.5.2　三角形的外角
1.复习三角形内角和定理
2.探究三角形外角的性质1
3.探究三角形外角的性质2
六、教学反思
三角形的内角和定理与外角性质是研究三角形的角的关系、求解与三角形有关的角的大小的重要依据. 刚刚接触几何证明的学生难以达到高的要求,教师以介绍证明思路为主,让学生了解还有一种解决问题的方法是,可以通过添加辅助线来解决问题.学生刚刚学习几何证明容易条理不清晰,因此可以通过动手操作,与同伴交流来学习.
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