初中数学人教版七下5.3.2命题、定理、证明 教案
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版七下5.3.2命题、定理、证明 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 98.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-12 22:39:22 | ||
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文档简介
5.3.2命题、定理、证明
一、教学内容分析
本节课主要学习命题的概念，命题的分类:真命题和假命题，定理和证明的概念.学生以往在数学学习中学过的结论都是命题，在这里学习命题的定义及命题的结构为学习推理证明奠定基础,分清命题的题设和结论是进行几何证明的起点，定理、证明都是几何学习中的基本概念，证明中的每一步推理都要有依据，不能想当然，这些根据可以是已知条件、也可以是学过的定义、基本事实、定理等.培养学生推理论证的能力，为以后的学习做铺垫.
二、教学目标
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
三、教学重难点
重点：理解命题，定理及证明的概念.
难点：会判断一个命题的真假，举出反例.
四、教学方法
启发法、演示法、讨论法、练习法.
五、教学过程
（一）新课导入
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）对顶角相等；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）同位角相等；
（4）两点之间线段最短；
（5）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.
设计意图：通过提出问题，观察思考，教师引导讲解，让学生了解命题的概念，知道命题是对事物作出判断的陈述句.
（二）新课讲授
1.命题的定义与结构
（1）命题的概念
通过对以上问题回答，进行总结命题的概念.
像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
注意：
只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题，哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2 cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
设计意图：师生共同总结命题概念，并强调定义中需要注意的问题.通过题目的练习，让学生加深对命题定义的理解，让学生理解只要对事情作出判断，无论对错都是命题.
（2）命题的构成
合作交流：教师展示一组命题，学生观察思考，回答问题.
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
发现：都是“如果……那么……”的形式
总结：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
例 命题：两数相乘，同号得正.改写为：
如果同号两数相乘，那么它们的积是正数.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更清楚.
命题的组成：
命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项退出的事项.
例 命题： 两直线平行，同位角相等.
两直线平行是题设（条件），同位角相等是结论.
设计意图：学生通过观察思考，了解命题的构成，能归纳出命题是由两部分组成的，培养学生观察分析总结问题的能力.
练一练
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；
2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.同平行于同一条直线的两直线平行；
5.两边分别平行的两个角相等.
解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2.如果两个角是内错角，那么这两个角相等；
3.如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
4.如果两条直线都同平行于一条直线，那么这两直线平行；
5.如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
设计意图：将命题改写成“如果”，“那么”的形式是为准确找出命题的题设和结论，是为进一步证明奠定基础，所以这一环节很重要.
2.真命题与假命题
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
发现：命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
总结定义：
正确的命题，就是说，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题，
错误的命题，就是说，题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题.
练一练
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示.
（1）同旁内角互补（ × ）
（2）一个角的补角大于这个角（ × ）
（3）相等的两个角是对顶角（ × ）
（4）两点可以确定一条直线（ √ ）
（5）两点之间线段最短（ √ ）
（6）同角的余角相等（ √ ）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（√ ）
设计意图：通过练习让学生理解只要是对事情做出判断的句子都是命题，这个判断可以是正确的，也可以说是错误的，所以命题分真命题和假命题，并能准确判断命题的真假.
3.证明与举反例
（1）公理的概念
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
直线公理：两点确定一条直线.
线段公理：两点间线段最短.
平行线公理：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.
平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.
（2）定理的概念
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
学过的定理：
1.补角的性质：同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：同角或等角的余角相等.
3.对顶角的性质：对顶角相等.
4.垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
（3）证明的概念
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
设计意图：让学生准确理解公理、定理、证明的概念，引导学生用准确的几何语言表述出证明过程，体会这种经过推理论证判断命题正确的过程就是证明.
（4）举反例
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
确定一个命题是假命题的方法：
只要举出一个例子（反例）：
它符合命题的题设，但不满足结论即可.
设计意图：让学生通过具体实例知道可以通过举反例的方式，来判定一个命题是假命题.
（三）课堂练习
1.下列语句中，不是命题的是( D )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2.下列命题中，是真命题的是( D )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
3.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
4.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
设计意图：紧扣本节知识点，帮助学生更好地掌握本节所学内容.
（四）课堂小结
学生自己总结反思，进行交流，让学生谈谈自己的收获.
1.命题的定义
判断一件事情的句子.
2.命题的组成
题设和结论.
3命题的分类
真命题和假命题，真命题有公理（不需证明）和定理（由推理证实）；假命题需要举一个反例说明.
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的重难点.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
5.3.2命题、定理、证明
1.命题定义、构成和分类
判断一件事情的语句，叫做命题. 命题由题设和结论两部分构成.
命题分为真命题和假命题.
2.公理、定理、证明的定义
3.举反例
课后反思
本节课的主要内容是对命题、定理、证明概念的认识，而认识命题和定理，能够正确的区分命题的题设和结论是进行几何逻辑推理的前提，是这节课的关键所在.本节课的学习是推理证明的基础、更是培养学生有条理的思考和表达的重要内容.概念性的内容较多，给学生思考练习时间不太充分.
a
b
c
1
2
）
）
1
2
A
O
C
B
M
P
A
B
G
H
Q
D
C
N
1
一、教学内容分析
本节课主要学习命题的概念，命题的分类:真命题和假命题，定理和证明的概念.学生以往在数学学习中学过的结论都是命题，在这里学习命题的定义及命题的结构为学习推理证明奠定基础,分清命题的题设和结论是进行几何证明的起点，定理、证明都是几何学习中的基本概念，证明中的每一步推理都要有依据，不能想当然，这些根据可以是已知条件、也可以是学过的定义、基本事实、定理等.培养学生推理论证的能力，为以后的学习做铺垫.
二、教学目标
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
三、教学重难点
重点：理解命题，定理及证明的概念.
难点：会判断一个命题的真假，举出反例.
四、教学方法
启发法、演示法、讨论法、练习法.
五、教学过程
（一）新课导入
下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）对顶角相等；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）同位角相等；
（4）两点之间线段最短；
（5）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
发现：这些语句都是对一件事情作出了判断.
设计意图：通过提出问题，观察思考，教师引导讲解，让学生了解命题的概念，知道命题是对事物作出判断的陈述句.
（二）新课讲授
1.命题的定义与结构
（1）命题的概念
通过对以上问题回答，进行总结命题的概念.
像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
注意：
只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题，哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2 cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
设计意图：师生共同总结命题概念，并强调定义中需要注意的问题.通过题目的练习，让学生加深对命题定义的理解，让学生理解只要对事情作出判断，无论对错都是命题.
（2）命题的构成
合作交流：教师展示一组命题，学生观察思考，回答问题.
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
发现：都是“如果……那么……”的形式
总结：命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
例 命题：两数相乘，同号得正.改写为：
如果同号两数相乘，那么它们的积是正数.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更清楚.
命题的组成：
命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项退出的事项.
例 命题： 两直线平行，同位角相等.
两直线平行是题设（条件），同位角相等是结论.
设计意图：学生通过观察思考，了解命题的构成，能归纳出命题是由两部分组成的，培养学生观察分析总结问题的能力.
练一练
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；
2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.同平行于同一条直线的两直线平行；
5.两边分别平行的两个角相等.
解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
2.如果两个角是内错角，那么这两个角相等；
3.如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
4.如果两条直线都同平行于一条直线，那么这两直线平行；
5.如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等.
设计意图：将命题改写成“如果”，“那么”的形式是为准确找出命题的题设和结论，是为进一步证明奠定基础，所以这一环节很重要.
2.真命题与假命题
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
发现：命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
总结定义：
正确的命题，就是说，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题，
错误的命题，就是说，题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题.
练一练
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“× 表示.
（1）同旁内角互补（ × ）
（2）一个角的补角大于这个角（ × ）
（3）相等的两个角是对顶角（ × ）
（4）两点可以确定一条直线（ √ ）
（5）两点之间线段最短（ √ ）
（6）同角的余角相等（ √ ）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（√ ）
设计意图：通过练习让学生理解只要是对事情做出判断的句子都是命题，这个判断可以是正确的，也可以说是错误的，所以命题分真命题和假命题，并能准确判断命题的真假.
3.证明与举反例
（1）公理的概念
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
直线公理：两点确定一条直线.
线段公理：两点间线段最短.
平行线公理：经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.
平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.
平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.
（2）定理的概念
有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
学过的定理：
1.补角的性质：同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：同角或等角的余角相等.
3.对顶角的性质：对顶角相等.
4.垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短.
（3）证明的概念
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a ⊥b（已知）
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
设计意图：让学生准确理解公理、定理、证明的概念，引导学生用准确的几何语言表述出证明过程，体会这种经过推理论证判断命题正确的过程就是证明.
（4）举反例
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
确定一个命题是假命题的方法：
只要举出一个例子（反例）：
它符合命题的题设，但不满足结论即可.
设计意图：让学生通过具体实例知道可以通过举反例的方式，来判定一个命题是假命题.
（三）课堂练习
1.下列语句中，不是命题的是( D )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
2.下列命题中，是真命题的是( D )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
3.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
4.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，
求证：PG∥HQ.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)．
又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)，
∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)，
∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)，
∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
设计意图：紧扣本节知识点，帮助学生更好地掌握本节所学内容.
（四）课堂小结
学生自己总结反思，进行交流，让学生谈谈自己的收获.
1.命题的定义
判断一件事情的句子.
2.命题的组成
题设和结论.
3命题的分类
真命题和假命题，真命题有公理（不需证明）和定理（由推理证实）；假命题需要举一个反例说明.
设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的重难点.
（五）作业布置
完成配套作业
六、板书设计
5.3.2命题、定理、证明
1.命题定义、构成和分类
判断一件事情的语句，叫做命题. 命题由题设和结论两部分构成.
命题分为真命题和假命题.
2.公理、定理、证明的定义
3.举反例
课后反思
本节课的主要内容是对命题、定理、证明概念的认识，而认识命题和定理，能够正确的区分命题的题设和结论是进行几何逻辑推理的前提，是这节课的关键所在.本节课的学习是推理证明的基础、更是培养学生有条理的思考和表达的重要内容.概念性的内容较多，给学生思考练习时间不太充分.
a
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c
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