【全程复习方略】2014-2015学年高中数学理（人教广东版）教师配套课件选修4-4第二节参数方程（共79张PPT）

课件79张PPT。第二节 参 数 方 程1.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x,y都是某个变数t的函数__________并且对于t的每一个允许
值，由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这
个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫
做参变数，简称参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)
＝0叫做普通方程. 2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)曲线的参数方程中的参数都有实际意义.( )
(2)参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的.( )
(3)圆的参数方程中的参数θ与椭圆的参数方程中的参数φ的几何意义相同.( )
(4)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不惟一.( )【解析】(1)错误.曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意义，可以具有几何意义，也可以没有明显的实际意义.
(2)错误.把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致.(3)错误.圆的参数方程中的参数θ表示半径的旋转角，而椭圆的参数方程中的参数φ表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，即离心角.
(4)正确.用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同.
答案: (1)× (2)× (3)× (4)√考向 1 直线的参数方程与应用
【典例1】直线 (t为参数)的倾斜角为______.
【思路点拨】将直线的参数方程化为普通方程，利用直线的斜率求倾斜角；也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定倾斜角.【规范解答】方法一:直线 (t为参数)的普通方程为
斜率
即 又α∈［0，π)，故直线的倾斜角为
方法二：直线 (t为参数)
即直线 (t为参数)，令t′=2t，得
故直线的倾斜角为
答案:【互动探究】本例中条件不变，M0(1，-2)，当参数t=1时对应
直线上的点为M,则|MM0|=______.
【解析】本例中，M0(1，-2)为直线上的点，当参数t=1时对应
直线上的点为 则|MM0|=2.
答案: 2【拓展提升】直线的参数方程的标准形式的应用
设过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
(t是参数)，若M1,M2是l上的两点，其对应参数
分别为t1,t2，则
(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α)，
(x0+t2cos α,y0+t2sin α).(2)|M1M2|=|t1-t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则 中点M到
定点M0的距离
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1+t2=0.【变式备选】直线l过点P(1，2)，其参数方程为
(t是参数)，直线l与直线 2x+y-2=0交于点Q，则|PQ|=______.
【解析】方法一:将直线l的参数方程化为普通方程为
y=3-x，与方程2x+y-2=0联立解得点Q的坐标为(-1,4)，
∴方法二:将直线l的参数方程化为标准形式
为
代入2x+y-2=0得
∴
答案: 考向 2 圆的参数方程与应用
【典例2】(1)已知曲线C的参数方程为 (θ为参
数)，则曲线C上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为_____.
(2)(2013·湛江模拟)设P(x, y) 是曲线
C： (θ为参数)上任意一点，则 的取值范围
是______.【思路点拨】(1)将曲线的参数方程化为普通方程，利用直线与曲线的位置关系解决.
(2)将参数方程代入转化为三角函数求取值范围，也可以利用曲线的普通方程以及判别式法解决.【规范解答】(1)曲线C的普通方程为(x－2)2+y2 =1，这是圆
心为(2，0)，半径为1的圆，圆心到直线3x-4y+4=0的距离是
故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线
3x-4y+4=0的距离的最大值为3.
答案: 3(2)方法一：由P(x, y) 是曲线C： (θ为参数)
上任意一点，则
即sin θ-kcos θ=-2k，得
所以
解得
所以 的取值范围是方法二:由曲线C： (θ为参数)得(x+2)2+y2=1,
令 即y=kx，代入圆的方程，得(x+2)2+(kx)2=1，即
(1+k2)x2+4x+3=0，
由题意，得Δ=42-3×4(1+k2)≥0，
即 解得
所以 的取值范围是
答案:【拓展提升】直线与圆的位置关系
(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的普通方程联立所求得的一元二次方程的根的判别式为Δ，则
(2)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d-r. 【提醒】判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法(即判别式法)两种，解题时要灵活选取不同的方法.【变式训练】(1)若P(2,-1)为曲线 (0≤θ＜2π)
的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为______.
【解析】曲线 (0≤θ＜2π)的普通方程为
(x-1)2+y2=25,表示圆心为C(1,0)，半径为5的圆，直线CP的斜
率 弦所在直线的斜率为1，所以弦所在直线的
普通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.
答案: x-y-3=0(2)若直线l: 与曲线C： (φ为参数，a
＞0)有两个公共点A,B，且|AB|=2，则实数a的值为______.
【解析】曲线C： (φ为参数，a＞0)的普通方程为(x-a)2+y2=2，表示圆心为(a,0)，半径为 的圆.
由|AB|=2，得圆心到直线的距离为1，即
得|a|=2，∵a＞0，∴a=2.
答案: 2 考向 3 圆锥曲线的参数方程与应用
【典例3】(1)若点P(x,y)是曲线x2+3y2=3上一点，则x+y的取
值范围是______.
(2)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的
参数方程分别为 (t为参数)和 (θ为参数)，
则曲线C1与C2的交点坐标为______.【思路点拨】(1)由椭圆的参数方程化为求三角函数的取值范围.
(2)将曲线的参数方程化为普通方程联立方程组解得交点坐标.【规范解答】(1)曲线x2+3y2=3即 由椭圆的参数方程
(θ为参数，θ∈R)，得
则x+y的取值范围是［-2，2］.
答案: ［-2，2］(2)曲线C1和C2的普通方程分别为y2=x(y≥0)和x2+y2=2，
联立方程组，解得x=1,y=1，
所以曲线C1与C2的交点坐标为(1,1).
答案: (1,1)【拓展提升】圆锥曲线的参数方程的特点
(1)椭圆、双曲线的参数方程与三角函数的关系密切，解题时要注意角的取值范围；抛物线的参数方程与一次函数和二次函数有关，解题时注意二次方程的性质及其应用.
(2)一般地说，如果题目中涉及圆锥曲线上的动点，应考虑用参数方程来表示点的坐标，可使解题目标明确，过程表达清晰，求解方便.【变式训练】(1)椭圆 (a＞b＞0)与x轴正方向交于点
A，O为原点，若椭圆上存在点P，使OP⊥AP，则椭圆离心率e的
取值范围是______.【解析】设椭圆 (a＞b＞0)上的点P的坐标为
(acos θ,bsin θ)，O(0,0)，A(a,0),
由OP⊥AP，得 即
(acos θ,bsin θ)·(acos θ-a,bsin θ)=0，
得a2cos2θ-a2cos θ+b2sin2θ=0，
整理，得
得 即 所以椭圆离心率的取值范围是
答案:(2)(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
(t为参数)与曲线C2： (θ为参数，a＞0)有
一个公共点在x轴上，则a=______.【解析】曲线C1： (t为参数)的普通方程为y=3-2x，与
x轴的交点为
曲线C2： (θ为参数)的普通方程为 其与x轴
交点为(-a,0),(a,0)，
由a＞0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知
答案: 考向 4 极坐标方程与参数方程的综合题
【典例4】(1)(2013·珠海模拟)直角坐标系xOy中，以原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲
线 (θ为参数)和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最
小值为______.
(2)已知极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重
合，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ，直线l的参数方程
为 (t为参数)，则曲线C上的点到直线l的最短距离
为_______.【思路点拨】(1)将曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程，利用曲线的位置关系以及几何性质求解.
(2)将曲线(含直线)的极坐标方程和参数方程化为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系以及几何性质求解.【规范解答】(1)曲线C1： (θ为参数)的普通方程
为(x-3)2+(y-4)2=1，
曲线C2：ρ=1的直角坐标方程为x2+y2=1，
两圆的圆心距为|C1C2|=
所以两圆外离，依题意，|AB|的最小值为
答案:3(2)将曲线C的极坐标方程ρ=2cos θ化为直角坐标方程，
得x2+y2-2x=0，
即(x-1)2+y2=1，这是圆心为C(1,0)，半径为1的圆.
将直线l的参数方程 (t为参数)化为普通方程，得
4x-3y+3=0，则圆心到直线的距离为
故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线l的最短距离为
答案: 【互动探究】本例(1)(2)中条件不变，则(1)|AB|的最大值
为_______.
(2)曲线C上的点到直线l的最远距离为______.
【解析】(1)由于两圆外离，点A，B分别在两个圆上，则
|AB|的最大值为|C1C2|+(R1+R2)=5+2=7.
答案: 7
(2)由于直线与圆相离，则圆上的点到直线l的最远距离为
答案:【拓展提升】圆与圆的位置关系以及应用
(1)两圆的位置关系以及意义(两圆半径分别为R,r，且R≥r,d为圆心距)(2)若圆C1与圆C2外离，圆心距为d,两圆的半径分别为R, r，动点A在圆C1上，动点B在圆C2上，则A,B之间距离的最小值为
d-R-r，最大值为d+R+r. 【变式备选】(1)(2012·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线
与曲线 (t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点
的直角坐标为______.【解析】射线 在直角坐标系下的直角坐标方程为y=x(x＞
0)，将参数方程 (t为参数)转化为直角坐标系下的普
通方程为y=(t-1)2=(x-1-1)2=(x-2)2，
表示一条抛物线，联立上面两个方程，消去y有x2-5x+4=0，设
A,B两点及其中点P的横坐标分别为xA,xB,x0，则由根与系数的
关系，得 又由于点P在直线y=x上，因此线段AB
的中点坐标为
答案:(2)(2013·湖南师大附中模拟)在极坐标系中，圆C1的方程为
以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立
平面直角坐标系，圆C2的参数方程为 (θ为参
数)，若圆C1与圆C2外切，则实数a=______.【解析】圆C1的方程 化为
即x2+y2-4x-4y=0，其圆心C1(2,2)，半径 ，
圆C2的参数方程化为普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2，其圆心
C2(-1,-1)，半径r2=|a|，因为两圆外切，所以
解得 .
答案:
1.(2013·广州模拟)化参数方程 (t为参数，t∈
［0，2π))为普通方程为______.
【解析】将参数方程 (t为参数)两式相加，得
x+y=cos2t+sin2t=1，由于t∈［0，2π)，所以0≤x=cos2t≤1，
所以普通方程为x+y=1(0≤x≤1).
答案: x+y=1(0≤x≤1)2.曲线 (t为参数)的普通方程为______.
【解析】由参数方程
得
当t＞0时，
当t＜0时，
所以曲线的普通方程为x2-y2=4.
答案: x2-y2=43.(2012·北京高考)直线 (t为参数)与曲线
(α为参数)的交点个数为______.
【解析】方法一:由直线 (t为参数)与曲线
(α为参数)的参数方程得(2+t)2+(-1-t)2=9，整理，得
t2+3t-2=0，方程有两个不相等的实数根，所以直线与曲线的
交点个数有2个.方法二:将直线 (t为参数)与曲线 (α为参
数)的参数方程分别化为直角坐标方程，得x+y-1=0，
x2+y2=9.原点(圆心)到直线的距离为 所以直线与
圆相交，交点个数为2.
答案: 24.曲线 (θ为参数)的焦点坐标为_______.
【解析】曲线 (θ为参数)的普通方程为
这是焦点在纵轴上的椭圆，c2=a2-b2=92，
∴焦点坐标为(0,±9).
答案: (0,±9)5.参数方程 (θ为参数)表示的曲线上的点到原点的最大距离为______.
【解析】参数方程 (θ为参数)表示的曲线是圆心
为C(3，-4)，半径为1的圆，故圆上的点到原点O的最大距离为
|OC|+1=6.
答案:66.直线3x-4y-1=0被曲线 (θ为参数)所截得的弦
长为______.
【解析】曲线 的普通方程为x2+(y-1)2=4，圆心
(0,1)到直线3x-4y-1=0的距离为
所以直线被曲线所截得的弦长为
答案: 7.已知p为正的常数，曲线 (t为参数)上的两点M,N对应
的参数分别为t1和t2，且t1+t2=0，那么|MN|=______.
【解析】曲线 (t为参数)的普通方程为y2=2px，这是开
口向右的抛物线.
显然线段MN垂直于抛物线的对称轴,即x轴，
∴|MN|=2p|t1-t2|=2p|2t1|=4p|t1|.
答案: 4p|t1|8.椭圆 上的一点P与点Q(1,0)之间距离的最小值
为______.
【解析】设P(3cosθ,2sinθ)，由Q(1,0)，得
|PQ|=
=
当 时，
答案: 9.直线l的参数方程为 (t为参数),则直线l的斜率
为______.
【解析】由 可得直线l的斜率为
答案:10.点P(1，0)与曲线 (其中参数t∈R)上的点的最短距离
为______.
【解析】设Q(t2,2t)为曲线上任意一点，点P(1，0)，则
答案: 111.直线 (t为参数)与圆 (φ为参数)
相切，则此直线的倾斜角α=______.
【解析】将直线 (t为参数)与圆 (φ为参数)分别化为普通方程，得
由于直线与圆相切，则圆心到直线的距离d=r，
即 ∴
又α∈［0，π)，∴
答案: 12.参数方程 (t为参数)的普通方程为_______.
【解析】
答案: 13.已知两曲线的参数方程分别为
和 则它们的交点坐标为______.
【解析】两曲线的普通方程分别为
联立两曲线的普通方程，得x2+4x-5=0，解得x=1或x=-5(舍),
所以 所以它们的交点坐标为
答案:14.抛物线y2=x上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值为______.
【解析】方法一：设y=t, 则抛物线y2=x的参数方程为
点(t2，t)到直线x-y+1=0的距离为
当且仅当t= 时，
所以抛物线y2=x上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值为方法二:设与直线x-y+1=0平行的直线簇为x-y+c=0,将抛物线方
程y2=x代入，得y2-y+c=0,令Δ=1-4c=0，解得 故直线
与抛物线相切，由平行线间的距离公式，得
所以抛物线y2=x上的点到直线x-y+1=0的距离
的最小值为
答案:15.(2013·肇庆模拟)若曲线 (θ为参数)与直线y=a
有两个公共点，则实数a的取值范围是______.
【解析】曲线 (θ为参数)的普通方程为y=x2
(-1≤x≤1)，曲线与直线y=a有两个公共点，则实数a的取值
范围是0＜a≤1.
答案: 0＜a≤116.(2013·揭阳模拟)已知曲线C的参数方程为
(θ为参数)，则曲线C上的点到直线2x-y+2=0的距离的最大值
为_______.
【解析】将曲线C的参数方程 (θ为参数)化为直角
坐标方程，得(x-1)2+y2=1，这是圆心为(1,0)，半径为1的圆.
圆心到直线2x-y+2=0的距离为
故直线与圆相离，所以圆C上的点到直线的距离的最大值为
答案:17.在平面直角坐标系下，曲线 (t为参数)，曲线
C2: (θ为参数).若曲线C1,C2有公共点，则实数a
的取值范围是______.【解析】曲线 (t为参数)的普通方程为x+2y-2a
=0，曲线 (θ为参数)的普通方程为x2+(y-2)2
=4.
由于曲线C1,C2有公共点，则圆心(0,2)到直线的距离满足
d≤r，即
解得
所以实数a的取值范围是
答案:18.(2013·中山模拟)已知曲线C的极坐标方程是
ρ=2sin θ，直线l的参数方程是 (t为参数).设
直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，则|MN|的最大值
为_______.【解析】曲线C：ρ=2sin θ的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1，
直线l ： (t为参数)的普通方程是4x+3y-8=0.直线l与
x轴的交点M(2,0)，N是圆C上一动点，则M与圆心C(0,1)之间的
距离为 所以|MN|的最大值为
答案: 19.(2013·南昌模拟)已知抛物线C1的参数方程为
(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r>0)，若斜率为1的直
线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝______.
【解析】抛物线C1： (t为参数)的普通方程为y2＝8x ,
焦点坐标为F(2，0)，圆C2:ρ＝r(r>0)的直角坐标方程为
x2+y2=r2，斜率为1且经过抛物线C1的焦点F的直线方程为y=x-
2，直线与圆C2相切，则
答案:20.(2012·天津高考)已知抛物线的参数方程为
(t为参数),其中p>0，焦点为F，准线为l. 过抛物
线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标
是3，则p=______.【解析】消去参数t得抛物线的普通方程为y2=2px，准线方程为
因为M为抛物线上一点，所以有
|MF|=|ME|,又|MF|=|EF|,
所以三角形MEF为等边三角形，则|EF|=|MF|=2p=
解得p=2.
答案: 221.已知圆C的参数方程 (α为参数)，以原点为极
点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
ρsin θ=1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为______.
【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线l的方程为
y=1，圆C的方程为x2+(y-1)2=1.
解方程组
所求交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).
答案: (-1,1),(1,1)22.(2013·咸阳模拟)若直线l的极坐标方程为
圆C： (φ为参数)上的点到直线l的距离为d，则d的最
大值为______.
【解析】由 得直角坐标方程为x+y-6=0，
圆C： (φ为参数)的普通方程为x2+y2=1，圆心(0,0)
到直线l的距离为 所以直线与圆相离，所以
圆上的点到直线l的距离d的最大值为
答案:23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角
坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
直线l的参数方程是 (t为参数)，则直线l与曲线C
相交所成的弦的弦长为_______.【解析】曲线C：ρ=4cos θ的直角坐标方程为
(x-2)2+y2=4，
直线l： (t为参数)的普通方程为
x-y-1=0，圆心(2, 0)到直线的距离为
所以直线l被曲线C所截得的弦长为
答案: 24.参数方程 (m是参数)表示的曲线的普通方程
是______.【解析】由参数方程 得
又∵
?
∴
所以曲线的普通方程是x2+y2=1(y≠-1).
答案:x2+y2=1(y≠-1)25.已知直线l的参数方程为 (t为参数)，若以直角
坐标系xOy的O点为极点，x轴正半轴为极轴，选择相同的长度
单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 则直
线l的倾斜角为______，若直线l与曲线C相交于A,B两点，则
|AB|=______.【解析】直线l的参数方程化为 (t为参数)，根据直线的参数方程的意义，这是经过点
倾斜角为60°的直线.
所以直线l的直角坐标方程为曲线C： 的直角坐标方程为
所以圆心 到直线l的距离
所以
答案: 60°