7.1植树问题(两端都栽)（教案）-五年级上册数学人教版

《7.1植树问题(两端都栽)》教学设计
备教材内容
1．本课时教学的是教材106页的内容。
2．例1是关于在一条线段上植树并且两端都栽的问题。学生在画示意图、线段图的过程中发现规律，经历解决问题的过程。植树问题属于综合与实践这一知识领域。
3.例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要我树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。教材从具体到抽象，从特珠到一般，呈现分析、思考、解决问题的全过程。教材先呈现学生容易出错的方法“100÷5=20（棵）”，接着由“画图检验一下”引出解决问题常用的方法——从简单的情况入手解
决复杂的问题，渗透简单的化归思想。然后，呈现同学们用示意图分析问题的过程。通过画图先解决20m的植树情况，再选取其他长度试一试，从中发现它们共同的规律：裁树的棵数比间隔数多1。接下来应用所发现的规律解决例1提出的问题。
备教法学法
学生已经掌握了整数除法以及线段的特点，并且具有探究数学问题规律的经验与能力。教师在此基础上先让学生在解决问题的过程中发现规律，再找到解决问题的有效方法。引导学生通过画线段图建立植树问题的数学模型，掌握化繁为简的解决问题的方法，明确解决问题的策略，提高学生自主探究的能力和解决实际问题的能力。引导学生经历解决问题的全过程教学时，可结合情境图出示问题，学生可能得出错误的结论：100÷5=20（棵）。这时可以引导学生想：怎样检验这个结果是否正确？使学生经历整个分析、思考的全过程并且初步感受到：遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。重点培养学生建立数学模型的能力。教师要指导学生通过线段图建立植树问题的数学模型。教学时，可让学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察两端都栽树的示意图或线段图，把分割点数和裁树的棵数一一对应起来，发现并初步总结出栽树的棵数与间隔数之间的关系。之后让学生在30m、35m上加以验证，从而建立起一条线段两端都裁这类植树问题的数学模型。此外，还可适当拓展植树问题数学模型的逆向应用。教师可根据教学情况，适当拓展如
练习中的第4题，巩固学生对数学模型的理解和灵活运用。
备教学目标
1.能从简单问题人手，探究植树问题的规律，找出解决问题的有效方法，发展模型意识
2.通过观察、试验、推理等活动，理解植树问题的解题思路，掌握解题方法。
3.感受数学在日常生活中的广泛应用，培养应用意识。
备教学重难点
重点：理解植树问题中蕴含的规律，掌握解题方法。
难点：运用植树问题的解题思路解决生活中的实际问题。
备已学知识
根据段数和段长求总长度：总长度＝段长×段数。
例：
5×3＝15(cm)
备知识讲解
知识点　在一条线段上植树(两端都植树)问题的规律
问题导入　同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵(两端要栽)。一共要栽多少棵树？(教材106页例1)
过程讲解　
重点提示 植树问题通常是指沿一定的路线植树，这条路线的总长度被平均分成若干段(间隔)，由于植树的要求不同，路线被分成的段数(间隔数)和植树的棵数之间的关系就不同。
1．读题，理解题意
在小路的一边植树(两端要栽)，这样的问题属于在一条线段上两端都植树的问题。
2．提出解题设想
全长100m的小路，每隔5m栽一棵树，根据已有的经验，可以理解为有一个5m就栽一棵树，100m里面有多少个5m就栽多少棵树。如果实际情况也是这样，那么就可以用“总距离”除以“株距”等于“植树棵数”求得结果，即100÷5＝20(棵)。
3．借助线段图和实例验证解题设想是否成立
实例一　以20m为例进行验证。
(1)根据解题设想，总距离÷株距＝植树棵数，得出20m可以栽20÷5＝4(棵)树。
(2)画线段图检验。
有4个间隔，能栽5棵树。
发现：实际能栽5棵树，解题设想不成立。此题中20÷5求得的4不是植树棵数，而是间隔数。
实例二　以25m为例进行验证。
(1)根据解题设想，总距离÷株距＝植树棵数，得出25m可以栽25÷5＝5(棵)树。
(2)画线段图检验。
有5个间隔，能栽6棵树。
发现：实际能栽6棵树，解题设想不成立。此题中25÷5求得的5不是植树棵数，而是间隔数。
重点提示 理清棵数与间隔数之间的关系是解题的关键。
从上面两个实例中得出：
一条线段的两端都植树时，棵数＝间隔数＋1。
4．解决问题
100÷5＝20 总距离÷株距＝间隔数
20＋1＝21(棵)棵数＝间隔数＋1
答：一共要栽21棵树。
5．根据规律探究30m和35m栽树的棵数
(1)根据规律计算。
①30÷5＝6　6＋1＝7(棵)
②35÷5＝7　7＋1＝8(棵)
(2)画线段图检验。
①
有6个间隔，能栽7棵树。
②
德育建议 组织学生分组对植树问题进行画图、操作等活动，通过观察、分析等方法，总结规律，建立解决植树问题的数学模型，培养探究学习的能力。
　
有7个间隔，能栽8棵树。
(3)得出结论。
计算结果与画线段图检验的结果一致，说明上面的规律完全正确。
归纳总结
在一条线段上植树(两端都植树)问题的规律：总距离÷株距＝间隔数，棵数＝间隔数＋1。
拓展提高　
1．植树问题包括在不封闭的路线上植树和在封闭的路线上植树。不封闭的路线是指一条线段，封闭的路线是指首尾相接的封闭图形的一周。
2．在不封闭的路线上两端都植树，如果已知棵数和总距离，那么可以求出株距，即株距＝总距离÷(棵数－1)，还可以推出总距离＝株距×(棵数－1)。
3．在现实生活中，类似“植树问题”的情况还有很多，如在公路两旁安装路灯，这样的问题中隐藏着总距离和间隔数之间的关系。
备易错易混
误区　学校有一条长600m的小路，学校准备在小路的两旁栽树。如果每隔4m栽一棵(两端要栽)，那么一共要栽多少棵树？
600÷4＋1＝151(棵)
答：一共要栽151棵树。
错解分析　此题错在只计算出了小路一旁栽树的棵数，而忽略了小路两旁都栽树这一条件。
错解改正　(600÷4＋1)×2＝302(棵)
答：一共要栽302棵树。
温馨提示
解决路边植树问题的关键是要弄清以下两点：(1)是否两旁都要植树；(2)根据两端植树的情况明确棵数与间隔数之间的关系。
备综合能力
规律运用　运用“植树问题”的规律解决生活中的实际问题
典型例题　有一幢16层的楼房，由于停电，电梯停止工作。李叔叔从1层走到3层需要42秒，照这样的速度，他从3层走到16层需要多长时间？(每层楼梯的台阶数相等。)
思路分析　此题为“上楼梯”问题，相当于植树问题中“两端都植树”的情况，即可以用“两端都植树”情况的规律来解答。如图：
1层和3层之间有2个间隔，先求出平均走每个间隔所需要的时间，再求出3层和16层之间有多少个间隔，最后用平均走每个间隔所需要的时间乘3层和16层之间的间隔数，即可求出需要的时间。
正确解答　3－1＝2
42÷2＝21(秒)
16－3＝13
21×13＝273(秒)
答：他从3层走到16层需要273秒。
规律总结
在“上楼梯”问题中，从1层开始走，楼层数－1＝楼梯段数(即间隔数)。
备教学资源
植树节的由来
3月12日是孙中山先生的逝世纪念日。孙中山先生生前十分重视林业建设。他任临时大总统不久，就设立了农林部，下设山林司，主管全国林业行政事务。1914年11月颁布了我国近代史上第一部《森林法》。
1979年2月，第五届全国人大常委会第六次会议根据国务院的提议，通过了将3月12日定为我国植树节的决议，这项决议的意义在于动员全国各族人民积极植树造林，加快绿化祖国和各项林业建设的步伐。
植树问题
一条公路千米长，
两旁栽上小白杨，
每隔五米栽一棵，
从头到尾依次栽，
多少杨树栽路旁？
思路分析　这是一道在一条线段上两端都栽的植树问题，棵数＝总距离÷株距＋1。
此题是在公路的两旁栽树，先求出在公路的一旁栽树的棵数，再乘2就可以了。
正确解答　1000÷5＋1＝201(棵)
201×2＝402(棵)
答：402棵杨树栽路旁。