2023-2024学年高中数学苏教版（2019）必修第一册 3-2-1基本不等式的证明 课件（20张）

(共20张PPT)
3.2.1基本不等式的证明
学习目标
1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；
2.理解基本不等式的几何意义，能运用基本不等式进行简单证明
情景引入
问题1.你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗
A
B
C
D
E
a
b
O
如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.
②如何用a, b表示CD CD=______
①如何用a, b表示OD OD=______
③OD与CD的大小关系怎样 OD_____CD
≥
数学建构
则
算术平均数
几何平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
符号语言
文字语言
数学建构
如果 ,
称为基本不等式.
当且仅当 时,取等号.
则
如何证明这个基本不等式？
合作探究
证法2：
分析法——执果索因
证法3：
综合法——由因导果
证法1：
比较法（作差法）
数学应用
例1．已知ab>0，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。
证明：因为ab>0，所以 ，根据均值不等式得
即
当且仅当 时，即a2=b2时式中等号成立，
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.
数学应用
变. 已知:a,b,c均为正数, 求证:
证明:
所以,原不等式成立
当且仅当a=b=c时,取等号.
数学应用
变、命题：“若ab>0，则 .” 是真命题，下列说法正确的是( )
C
数学应用
数学应用
数学应用
解: ∵00.
∴y=x(1-x)
≤ [ ]2
x+(1-x)
2
1
4
= .
当且仅当 时, 取“=”号.
x=(1-x),
即 x=
1
2
∴当 x = 时, 函数 y=x(1-x) 的最大值是 .
1
2
1
4
例3. 若 0数学应用
配凑系数
分析: x+(1-2x) 不是 常数.
2
=1为
解: ∵00.
1
2
∴y=x(1-2x)= 2x (1-2x)
1
2
≤ [ ]2
2x+(1-2x)
2
1
2
1
8
= .
当且仅当 时, 取“=”号.
2x=(1-2x),
即 x=
1
4
∴当 x = 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 .
1
4
1
8
变. 若 01
2
数学建构
（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么
a+b有最____值______(当且仅当_____时取“=”）.
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
利用基本不等式求最值问题：
小
大
a=b
a=b
一正二定三相等
“积定和最小”
“和定积最大”
典型例题
典型例题
“1”的常值代换
课堂小结
课堂达标
1.函数
的值域是___________
2.若
（用不等号连接）
___
3.已知
，函数
的最大值是
_____
4.若
，则函数
的最小值是
_____
5.若
是正实数，则
的最小值是
_____
课堂达标
7、已知
，且
解：（1）由
得
又
，则
，得
当且仅当
时，等号成立。
求（1）
的最小值；（2）
的最小值。
xy
课堂达标
7、已知
，且
求（1）
的最小值；（2）
的最小值。
xy
（2）由
，得
则
当且仅当
取到等号。
谢谢