江西省宜春市宜丰县中2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（含解析）

宜丰县中2023-2024学年高一上学期开学考试数学试卷
时间120分钟
一、单选题
1．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
2．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是【 】
A．A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2
C． D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，反比例函数与的图像上分别有一点A，B，且轴，轴于D，轴于C，若矩形ABCD的面积为8，则（ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．6
5．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，直角坐标系中，点，点，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点的对应点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．如图，的面积为10，，，，点在上，则的值是( )
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若S△ADE＝S四边形DBCE，则＝ ．
10．若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为 .
11．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则的面积为 ．
第9题图 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高1m），而且落在离网4m位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度h为 m．
13．如图，点A，D是反比例函数上的点，过D作轴，连接交于点B，若，且的面积为5，则k的值为 ．
14．如图，点在反比例函数的图象上，点B在坐标轴上，若是以为腰的等腰三角形，则的面积为 ．
三、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，在y轴的右侧画出；
(2)在（1）的条件下，写出点A、B、C的对应点、、的坐标．
16．如图，等边三角形的边长为5，点P为上的一点，点D为上的一点，连接、，．若，求的长．
17．如图，函数的图象与双曲线相交于点和点B．
（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，AB，求当周长的值最小时点P的坐标．
18．青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，这里有最齐全的樱花品种.小丽和小华在阳光明媚的周末去青龙寺赏樱花，他们看到一棵正在盛开的樱花树，想用所学知识测量这棵樱花树的高度.方法如下：如图，小华在某一时刻测得站立在E处小丽的影长，在同一时刻测量樱花树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小华在樱花树和墙面之间平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点M，镜子不动，小华看着镜面上的标记来回走动，走到点N时，恰好在镜面标记点处看到樱花树顶端A，这时测得小华的眼睛距地面的距离，，.已知点G、B、N均在直线上，，，，，小丽的身高，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出樱花树的高（结果精确到0.1m）.
19．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．
(1)求图中点A的坐标；
(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
20．如图，等腰，，分别以，为边长在同侧作等边和等边，与相交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)已知，求线段的长．
21．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
22．（本题12分）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．
参考答案：
1．B【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．故选B．
2．C【详解】求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断：A、联立y=x+1和，把y=x+1代入得：，解得：x1=﹣2，x2=1．代入y=x+1得：y1=﹣1，y2=2，
∴B（﹣2，﹣1），A（1，2）．∴A、B关于原点不对称，故本说法错误．B、由图象知，当0＜x＜1时，一次函数y1=x+1的图象在反比例函数的图象下方，即y1＜y2，故本说法错误．
C、∵，∴，故本说法正确．
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本说法错误．故选C．
3．D【详解】解：A．∵AB2=BD BC，∴ ，∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，故A不符合题意；B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，故B不符合题意；C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠C=∠BAD，∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，故C不符合题意；
D．∵AD BC=AB AC，∴，∵∠B≠∠BAD，∴不能判定△ABC与△ABD相似，故选：D．
4．C【详解】解：根据题意，矩形ABCD的面积为a+6=8，∴a=2，故选：C．
5．B【详解】解：连接BD，与AC相交于O，∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF=DB，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，∴，即G为AO的中点，∴AG=GO，又OA=OC，∴AG：GC=1：3．故选B．
6．D【详解】如图所示：由图可得：，
由勾股定理得，∴．故选：D．
7．A【详解】点，以为位似中心，按比例尺把缩小
点的对应点的坐标为或即或,故选：A．
8．C【详解】解：作交于， ，的面积为10，，
，，，，，，，
，，，故选：C．
9．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，又∵S△ADE=S四边形DBCE，∴S△ADE：S△ABC=1：2，∴AD：AB=1： ，∴AD：DB=1：（），∴，故答案为：．
10．-2【详解】试题解析：∵y=（m+1）x3-m2是反比例函数，∴3-m2=-1．解得：m=±2．∵函数图象在第二、四象限，∴m+1＜0，解得：m＜-1．∴m=-2．考点：反比例函数的定义．
11．9【详解】四边形ABCD是正方形，
，即
在和中，
，即 解得
又，即 ，即 解得
则的面积为 故答案为：9．
12．2【详解】由题意简化图片如下：其中DE=4m，BD=4m，CD=1m，AB=h ∵CD⊥BE，AB⊥BE
∴CD//AB ∴ ∵DE=DB
∴ ∴ 故答案为：2；
13．20【详解】解：过点A作轴于点E，∵轴，轴，∴，
∵，∴，则，∵点A是反比例函数上的点，
∴设，∴，则，将代入得：，
解得：，∴，∵的面积为5，∴，即，
解得：．故答案为：20．
14．12或10或【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴．
当A为顶点时：由三角形的面积公式和反比例函数的图象与性质可知，均为；
当O为顶点时：，当B在y轴上时，，
当B在x轴上时，；故答案为12或10或．
15．(1)见详解(2)，，
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：根据题意，可得与 的位似比为，
，，，，，
16．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵，∴，在中，，
∴，∴，∴．∵等边三角形的边长为5，，
∴，，∴，∴．
17．（1），B(6，3)；（2）P (0，5) ．
【详解】（1）将A(3，m)代入中，得：．
即A点坐标为A(3，6)．
又∵点A在双曲线上，
∴，解得：．
即双曲线的解析式为．
联立，
解得：．
即B点坐标为(6，3)．
（2）由（1）可知A(3，6)，B (6，3)，
∴AB的长为定值．
即当PA+PB最小时，的周长最小．
如图，作点A关于y轴的对称点，连接．
∴，
∴，
根据两点之间线段最短可知当点、P、B共线时最小．
由轴对称的性质可知点的坐标为(-3，6)．
设经过点的直线解析式为，
∴，解得：，
∴经过点的直线解析式为，
令x=0，得：y=5．
∴P点坐标为(0，5)．
18．樱花树的高约为.
【详解】如图，过点D作于点P
由题意可得，
∵，，
∴
∴
∴
∴
，
∴
∴，即
∴
故樱花树的高约为.
19．(1)20
(2)能，理由见解析
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：
，解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
，即对应的指标值为20；
（2）解：设当时，的解析式为，将、代入得：
，解得，
的解析式为，
当时，，解得，
由（1）得反比例函数的解析式为，
当时，，解得，
时，注意力指标都不低于36，
而，
张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
20．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【详解】（1）证明： 和都是等边三角形，
，，，
，
，
在与中，
，
()，
．
（2）证明：是等边三角形，
，，
在腰中：，
在与中，
，
()，
，
即：，
由（1）得：，
，
，
又，
，
，
即，
又，
．
（3）解：如图，延长交于，
，，
，，
为等腰直角三角形，，
，，
，，
，
，
又，
．
21．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
(2)．
(3)或．
【详解】（1）(1)在反比例函数的图象上
又在的图象上，
，
把A、B两点代入一次函数解析式得
解得：，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．
（2）
将一次函数与x轴的交点命名为C，
则C，
∴
∵
∴
（3）从图象上可知，当或时满足题意．
22【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，作轴于点，
对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，
∵，
∴点，
∴，
答案第1页，共2页