2023-2024学年北师大版数学八年级上册7.5 三角形内角和定理（课时1）同步练习 （含解析）

《5　三角形内角和定理》同步练习
（课时1　三角形内角和定理）
一、基础巩固
知识点1 三角形内角和定理
1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为 (　　)
A.85° B.75° C.65° D.60°
2.[2022河北衡水第九中学月考]如图,在△ABC中,∠A=60°,∠C=70°,BD平分∠ABC,DE∥BC,则∠BDE的度数是 (　　)
A.50° B.25° C.30° D.35°
3.[2022河北唐山路北区期中]如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°, ∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= (　　)
A.75° B.80° C.85° D.90°
4.[2022辽宁沈阳大东区期末]如图,把△ABC沿线段DE折叠,使点A落在线段BC上的点F处,BC∥DE,若∠A+∠B=106°,则∠FEC=　　　　°.
5.如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.
6.[2022河南安阳期中]如图,AD是△ABC的高,BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=76°,∠BED=64°,求∠BAC的度数.
知识点2 三角形内角和定理的应用
7.在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则 (　　)
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
8.在△ABC中,∠B-∠C=20°,∠A=80°,求∠B,∠C的度数,并说明△ABC按角分类属于什么三角形.
9.一个模板如图所示,设计要求BA和CD相交成30°角,DA和CB相交成20°角,怎样通过测量∠A,∠B,∠C,∠D的度数来检查模板是否合格
二、能力提升
1.[2022云南昆明东川区期中]具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 (　　)
A.∠A+∠B=∠C B.∠A=∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4
2.如图,将△ABC沿DE,HG,EF翻折,三个顶点均落在点O处,若∠1=131°,则∠2的度数为 (　　)
A.49° B.50° C.51° D.52°
3.如图,在△ABC中,∠A=80°,高BE和CH的交点为O,则∠BOC= (　　)
A.80° B.120° C.100° D.150°
4.[2022辽宁铁岭中考]如图,在△CEF中,∠E=80°,∠F=50°,AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度数是 (　　)
A.45° B.50° C.55° D.80°
5.[2022广东广州九十七中期中]一副透明的三角尺,如图叠放,直角三角尺的斜边AB,CE相交于点D,则∠BDC=　　 .
6.如图,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C'处,则∠1+∠2　　　2∠C.(填“>”“<”或“=”)
7.[2022山东枣庄薛城区期末]在一个三角形中,如果一个角的度数是另一个角的3倍,那么我们称这样的三角形为“灵动三角形”.例如:三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“灵动三角形”;三个内角分别为80°,75°,25°的三角形也是“灵动三角形”等等.
如图,∠MON=60°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以点A为端点作射线AD,交线段OB于点C.(规定0°<∠OAC<90°)
(1)∠ABO的大小为　　　　°,△AOB　　　　(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;
(2)若∠BAC=70°,则△AOC　　　　(填“是”或“不是”)“灵动三角形”;
(3)当△ABC为“灵动三角形”时,求∠OAC的度数.
参考答案
一、基础巩固
1.B　【解析】　如图,因为∠ECD=60°,∠BCA=45°,所以∠ACD= ∠ECD-∠BCA=60°-45°=15°,所以∠α=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°.故选B.
2.B　【解析】　在△ABC中,∠A=60°,∠C=70°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°.∵BD平分∠ABC, ∴∠DBC=25°.∵DE∥BC,∴∠BDE=∠DBC=25°.故选B.
3.A　【解析】　∵AD是BC边上的高,∠ABC=60°,∴∠BAD=30°.∵∠BAC=50°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=25°, ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=5°.在△ABC中,∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°,∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.故选A.
4.32　【解析】　由折叠的性质,知∠AED=∠FED,∵∠A+∠B=106°,∴∠C=180°-106°=74°,∵BC∥DE,∴∠AED= ∠C=74°,∴∠FEC=180°-∠AED-∠FED=32°.
5.【解析】　设∠A=x°,则∠C=∠ABC=2x°,
∴x+2x+2x=180,
解得x=36,∴∠C=72°.
在△BDC中,∠BDC=90°,
∴∠DBC=180°-90°-∠C=18°.
6.【解析】　∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=90°,
∴∠EBD=180°-90°-∠BED=26°.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABD=2∠EBD=52°,
∴∠BAC=180°-∠ABD-∠C=180°-52°-76°=52°.
7.D　【解析】　如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C-∠B, ∴2∠C=180°, ∴∠C=90°.故选D.
8.【解析】　设∠C的度数为x,则∠B=x+20°.
根据三角形内角和定理,得x+(x+20°)+80°=180°,
解得x=40°,
所以∠C=40°,∠B=40°+20°=60°,
又因为∠A=80°,所以△ABC的三个角都是锐角,
所以△ABC按角分类属于锐角三角形.
9.【解析】　如图,延长BA,CD相交于点E,延长DA,CB相交于点F.
设计要求BA和CD相交成30°角,即∠BEC=30°,只要量得∠ABC+∠C=150°,就可判定BA与CD相交成30°角.
同理,只要量得∠C+∠CDA=160°,就可判定DA与CB相交成20°角.
二、能力提升
1.C　【解析】　在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,A项,∵∠A+∠B=∠C,∴∠C+∠C=180°,即2∠C=180°,∴∠C=90°, ∴△ABC是直角三角形;B项,由∠A=∠B=∠C,可设∠A=x,则 ∠B=2x,∠C=3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴∠C= 90°,∴△ABC是直角三角形;C项,由∠A=2∠B=3∠C,可设∠A=6x,则 ∠B=3x,∠C=2x,∴6x+3x+2x=180°,解得x=()°, ∴∠A=()°,∴△ABC不是直角三角形;D项,由∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4,可设∠A=x,则 ∠B=3x,∠C=4x,∴x+3x+ 4x=180°,解得x=22.5°,∴∠C=90°,∴△ABC 是直角三角形.故选C.
2.A　【解析】　由折叠的性质,得∠HOG=∠B,∠DOE=∠A,∠EOF=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠HOG+∠DOE+ ∠EOF=180°.∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF=360°,∴∠1+∠2=180°.∵∠1=131°,∴∠2=180°-131°=49°.故选A.
3.C　【解析】　∵BE和CH为△ABC的高,∴∠BHC=∠AEB=90°.∵∠A=80°,∴在△ABE中,∠ABE=180°-∠AEB-∠A=180°-90°-80°=10°,∴在△BHO中,∠BOH=180°-∠BHO-∠HBO=180°-90°-10°=80°,∴∠BOC=180°-∠BOH=180°-80°=100°.故选C.
4.B　【解析】　如图,连接AC并延长,交EF于点M.∵AB∥CF,∴∠3=∠1.∵AD∥CE, ∴∠2=∠4,∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE.∵∠FCE=180°-∠E-∠F=180°-80°-50°=50°,∴∠BAD=∠FCE=50°.故选B.
5.75°　【解析】　∵∠CEA=60°,∠BAE=45°,∴∠ADE=180°-∠CEA-∠BAE=75°,∴∠BDC=∠ADE=75°.
6.=　【解析】　由折叠的性质知,∠C'EF=∠FEC,∠C'FE=∠EFC,∴∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,∴∠1+ ∠2=360°-2(∠CEF+∠CFE)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C.
7.【解析】　(1)30　是
∵AB⊥OM,∴∠BAO=90°,
∵∠MON=60°,∴∠ABO=180°-90°-60°=30°,
∴∠BAO=3∠ABO,∴△AOB是“灵动三角形”.
(2)是
∵∠OAB=90°,∠BAC=70°,∴∠OAC=90°-70°=20°,
又∵∠AOC=60°,∴∠AOC=3∠OAC,∴△AOC是“灵动三角形”.
(3)∵AB⊥OM,∴∠BAO=90°,
又∵∠AOB=60°,∴∠ABC=180°-90°-60°=30°.
当△ABC为“灵动三角形”时,分三种情况讨论:
①当∠ACB=3∠ABC时,∠ACB=3×30°=90°,
∴∠CAB=180°-90°-30°=60°,∴∠OAC=90°-60°=30°.
②当∠ABC=3∠CAB时,∠CAB=×30°=10°,
∴∠OAC=90°-10°=80°.
③当∠ACB=3∠CAB时,∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°,
∴3∠CAB+∠CAB+30°=180°,
解得∠CAB=37.5°,∴∠OAC=90°-37.5°=52.5°.
综上所述,∠OAC的度数为30°或52.5°或80°.