2023-2024学年重庆重点学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆重点学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在函数中，自变量的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
3. 若在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
4. 进入月以来，某大型商场前三周的营业收入持续上涨，若月第周营业收入为亿元，月第周的营业收入为亿元，设平均每周的增长率为，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
5. 一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，，则的长度为( )
A. B. C. D.
8. 某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走米当墩墩领先容融米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离米与它们出发时间分钟的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 容融的速度为米分钟 B. 墩墩休息了分钟
C. 第分钟时，墩墩到达终点 D. 领先者到达终点时，两者相距米
9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在函数的图象上，，边在轴上，点为斜边的中点，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 对任意代数式，每个字母及其左边的符号不包括括号外的符号称为一个数，如：，其中称为“数”，为“数”，为“数”，为“数”，为“数”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数”和“数”进行“换位思考”，得到：；又如对“数”和“数”进行“换位思考”，得到：下列说法：
代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果；
代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到种结果，其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算： ______ ．
12. 现有三张正面分别标有数字，，的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，将卡片上的数字记为，放回洗匀后再随机抽取一张，将卡片上的数字记为，则满足为偶数的概率为______ ．
13. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为______ ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，连接，过点作轴于点，反比例函数的图象分别与、交于点、，连接，若为的中点，且四边形的面积为，则的值为______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ______ ．
16. 如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点为上一点，连接交于点，若，，，则的面积为______ ．
17. 若关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为______ ．
18. 对于一个各数位上的数字均不为且互不相等的三位自然数，将它各个数位上的数字分别乘以后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数的“魅力数”，并规定例如：时，其各个数位上数字分别乘以后的三个数的个位数分别是：、、，重新组合后的数为、、、、、，因为的值最小，所以是的“魅力数”，此时，则 ______ ，若、都是各数位上的数字均不为且互不相等的三位自然数，且，，其中、均为整数若能被整除，能被整除，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
如图，在中，，过点作交于点点是线段上一点，连接，请完成下面的作图和填空．
用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右边作，射线交的延长线于点，连接，保留作图痕迹，不写作法，不下结论
求证：四边形是菱形．
证明：，，
______ ，
．
在和中，，( )______
≌，
．
，
______ ，
四边形是平行四边形．
______ ，
四边形是菱形．
21. 本小题分
为提高学生面对突发事故的应急救护能力，某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了名学生的分数进行整理分析，已知分数均为整数，且分为，，，，五个等级，分别是：
：，：，：，：，：．
并给出了部分信息：
【一】七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的；
八年级等级中最低的个分数分别为：，，，，，，，，，．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：
【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
七年级
八年级
直接写出，的值，并补全条形统计图；
根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由说明一条理由即可；
若分数不低于分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有人，八年级有人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
22. 本小题分
如图，在中，，点为的中点，于点，连接，已知．
若，求的长度；
若，求．
23. 本小题分
如图，在正方形中，对角线，相交于点，，动点以每秒个单位的速度，从点出发，沿折线方向运动，当点到达点时停止运动，设运动时间为，动点是射线上一点，且，记的面积为，的面积为．
请直接写出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质：______ ；
结合函数图象，估计当时的近似值近似值保留一位小数，误差不超过
24. 本小题分
长白山之巅的天池是松花江、图们江、鸭绿江三江之源，夏融池水湛蓝：所以每年的七月和八月都会吸引大量游客前往观看今年月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多，两游客接待中心平均每天每小时接待游客共人．
求月份这两个游客接待中心平均每天每小时分别接待游客各多少人；
因为月份用天较多，游客减少，北坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比月少人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待的人数比月少，在个小时内，这两个接待中心共接待名游客，求的值．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线：与直线交于点，已知，．
求直线的解析式；
如图，点为直线上一动点且位于点的左侧，、为轴上两个动点，点位于点上方，且，当时，求最小值；
如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，当过点时停止运动，已知动点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
26. 本小题分
在正方形中，、分别为边上的两点，连接、并延长交于点，连接，为上一点，连接、．
如图，若为的中点，且，，求线段的长；
如图，过点作，且，连接，刚好交的中点，当时，求证：；
如图，在的条件下，点为线段上一动点，连接，作于点，将沿翻折得到，点、分别为线段、上两点，且，，连接、交于点，连接，请直接写出面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：
，
，
，
在和之间．
故选：．
首先将化简得，然后根据得，进而可估算出的值即可得出答案．
此题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简，解答此题的关键是将化简得，并估算出．
4.【答案】
【解析】解：设平均每周的增长率为，
依题意得：，
故选：．
设平均每周的增长率为，利用月第周的营业收入月第周营业收入增长率，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
5.【答案】
【解析】解：由一次函数图象得，，所以，反比例函数图象应在一、三象限，故A正确；
B.由一次函数图象得，，所以，反比例函数图象应在二、四象限，故B错误；
C.由一次函数图象得，，所以，反比例函数图象应在一三象限，故C错误；
D.由一次函数图象得，，所以，反比例函数图象应在一三象限，故D错误．
故选：．
根据一次函数图象的性质，和反比例函数图象的性质逐一判断即可．
本题考查了一次函数图象的性质和反比例函数图象的性质，掌握函数关系式中、的取值与函数图象的位置关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：与是以点为位似中心的位似图形，
，
∽，
，
，
，即，
的面积为，
故选：．
根据位似变换的概念得到，得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，对角线、相交于点，
，，，且，
，
，且，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分交边于点，
，
，
，
，
点是的中点，点是的中点，
，
故选：．
由矩形的性质得，，由，且，求得，则，所以是等边三角形，而，则，所以，由勾股定理得，由平分交边于点，得，则，所以，则，由三角形的中位线定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由图象可得，
容融的速度为：米分钟，故选项A错误，不符合题意；
墩墩休息了：分钟，故选项B错误，不符合题意；
墩墩的速度为：米分钟，
分钟，
即第分钟时，墩墩到达终点，故选项C错误，不符合题意；
米，
即领先者到达终点时，两者相距米，故选项D正确，符合题意．
故选：．
根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的结果是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：为的斜边上的中线，
，，
又，
，
又，
∽，
，即．
又，
，
即．
反比例函数图象在第一象限，．
．
故选：．
先根据题意证明∽，根据相似比及面积公式得出的值即为的值，再由函数所在的象限确定的值．
本题考查反比例函数系数的几何意义．反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
10.【答案】
【解析】解：中括号前都是加号，所以无论怎么换位，结果不变，
化简后是种，故符合题意；
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
化简后可以得到种结果；故符合题意；
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
化简后可以得到种结果；故符合题意；
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
当、“换位思考”，结果为，
化简后可以得到种结果；故符合题意；
故选：．
根据题意，分别讨论每种“换为思考”的运算结果，再求解即可．
本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则，弄清定义，准确计算是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中满足为偶数的有种结果，
满足为偶数的概率为，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
14.【答案】
【解析】解：作轴于点，连接，
轴于点，
，
∽，
为的中点，
，
设，根据反比例函数值的几何意义，
，
，
，
，
解得．
，
反比例函数在第二象限，
．
故答案为：．
根据反比例函数值的几何意义，利用面积比等于相似比的平方，设，可得，求出值即可．
本题考查了反比例函数值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于．
15.【答案】
【解析】解：一次函数，
当时，；当时，；
点的坐标为，点的坐标，
点是线段的中点，
点的坐标为，
，
，
，
即，
解得，
故答案为：．
根据题意，可以先求出点和点的坐标，然后即可求得点的坐标，再根据勾股定理即可得到的长，再根据锐角三角函数即可求得的长．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
将沿向下翻折得到，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
过作于，
，
，
过作于，
，
，，
≌，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据折叠的性质得到，，根据菱形的性质得到，求得，过作于，得到，过作于，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组至少有个整数解，即，，，，
，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
分式方程解为非负数，
且，
解得：且，
的范围是且，
则整数解为，，，，，之和为．
故答案为：．
不等式组整理后，根据至少有个整数解，确定出的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可．
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：当时，
其各个数位上数字分别乘以后的三个数的个位数分别是：、、，
重新组合后的数为：，，，，，，
的值最小，
是的“魅力数”，
此时．
，，
，
能被整除，
也能被整除，
，为整数，
或．
，，
，
能被整除，
也能被整除，
，为整数，
．
或．
当时，
其各个数位上数字分别乘以后的三个数的个位数分别是：、、，
重新组合后的数为：，，，，，，
的值最小，
是“魅力数”，
此时．
当时，
其各个数位上数字分别乘以后的三个数的个位数分别是：、、，
重新组合后的数为：，，，，，，
的值最小，
是的“魅力数”，
此时．
综上，则的最大值为．
故答案为：；．
利用“魅力数”的定义求出的“魅力数”，再利用，计算即可；利用整数的整除的性质和数位上的数字的特征求得，值，求得值，利用“魅力数”的定义求出的“魅力数”，再利用，分别计算即可得出结论．
本题主要考查了因式分解的应用，有理数的混合运算，有理数的整除性，本题是阅读型题目，准确理解题目中概念与公式并熟练应用是解题的关键．
19.【答案】解：
；
整理，得：，
，
或，
解得，．
【解析】根据分式的混合运算法则可以解答本题；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．．
本题考查分式的混合运算，解一元二次方程配方法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20.【答案】
【解析】解：如图，
即为所求；
证明：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
故答案为：；；；．
根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
先根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据线段垂直平分线的性质得出，然后利用证明≌，从而可以证明，最后根据菱形判定证明即可．
本题考查了尺规作图，菱形的判定等知识，掌握基本作图方法，菱形的判定等知识是解题的关键．
21.【答案】解：由题干数据可知，
，
，
七年级等级的学生人数为：人，等级的学生人数为：人，
补全条形统计图如图：
答：，；
七年级年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
人．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是人．
【解析】根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、的值，根据七年级等级的学生人数占七年级抽取人数的求出七年级等级的学生人数，再求出等级的学生人数，即可补全条形统计图；
根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
分别求出该校七、八年级不低于分的人数，再相加即可求解．
本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：过作于，过作，
，，
，
点为的中点，
平分，平分，
于点，
∽，四边形为矩形，
，
；
，
，
，
，
，
；
，
，，
，
，
．
【解析】根据三角形的中位线的性质及勾股定理求解；
根据勾股定理及三角函数的意义求解．
本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的意义、勾股定理及三角形的中位线的性质是解题的关键．
23.【答案】当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小
【解析】解：四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
过点向作垂线交于点，
过点向作垂线交于点，
与是等腰直角三角形，当在运动时．如图，
动点以每秒个单位的速度，
，
，
，
当点在上运动时．如图，
，
，
，
，
，点到的距离为，
，
．
图象如图，
函数是分段函数，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，
故答案为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小．
结合函数图象，
当时，函数交于一点，
即．
由题可知点分两部分从到和从到，分别过点向作垂线，过点向作垂线，分别表示出，进而作答．
是分段函数，根据分段函数的性质作答．
结合图象，两个函数相等时，求出即可．
本题考查正方形的综合题，解题的关键作辅助线，熟练掌握正方形对角线和等腰直角三角形等相关性质．
24.【答案】解：设月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，
根据题意得：，
解得：．
答：月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：的值为．
【解析】设月份北坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，西坡游客接待中心平均每天每小时接待游客人，根据“今年月份，北坡游客接待中心平均每天每小时接待人数比西坡游客接待中心平均每天每小时接待人数多，两游客接待中心平均每天每小时接待游客共人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据“在个小时内，这两个接待中心共接待名游客”，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25.【答案】解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
过点作轴交于点，
当时，，
，
设，
当时，，
，
，
解得，
，
作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，
，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
轴，，
，
，
最小值为；
存在点，使得以、、、四个点为顶点的四边形为菱形，理由如下：
设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，
，，，
直线沿直线方向平移，
平移后直线的解析式为，
当经过原点时，，
解得，
，，
设，，
当为菱形对角线时，，
，
解得，
点横坐标为；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标或；
当为菱形对角线时，，
，
解得或，
点横坐标为或；
综上所述：点横坐标为或或或或．
【解析】根据题意求出、点坐标，再用待定系数法求直线的解析式即可；
过点作轴交于点，则，能求出，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，与交于点，连接，则，求出，得到，则最小值为；
设沿轴正方向平移个单位长度，则沿轴负方向平移个单位长度，平移后直线的解析式为，当经过原点时，，可得，，，设，，分三种情况讨论：当为菱形对角线时，；当为菱形对角线时，；当为菱形对角线时，；利用对角线互相平分和两点间距离公式列出方程组，求出的值即可求解．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．
26.【答案】解：四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
，
，舍去，
；
证明：如图，
作于，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
解：如图，
作，交于，作于，作于，
∽，∽，，
，∽，
，，
，
，
，
当最大时，最大，的面积最大，
，
在以为直径的圆上运动，
当时，，
，
．
【解析】设，则，在中，由勾股定理得，，从而，求得的值，进一步得出结果；
作于，可证得≌，从而，，进而可证得是等腰直角三角形，可证得≌，从而，，进而证得是等腰直角三角形，进一步得出结论；
作，交于，作于，作于，可证得∽，∽，，从而，∽，进而得出，，从而得出当最大时，最大，的面积最大，根据，从而得出在以为直径的圆上运动，进一步得出结果．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形．
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