北师大版数学九年级上册 1.1.2 菱形的判定 教学设计

1.1.2 菱形的判定
一、学习目标
1.探索并掌握菱形的判定方法,积累经验,并能综合运用,形成解决问题的能力;
2.经历菱形的判定方法的探索过程,在活动中发展合情推理的意识和主动探究的习惯,初步掌握说理的基本方法,发展有条理表达的能力
3.通过设置问题情境,丰富学生的生活经验,激发学生学习数学和应用数学的兴趣和意识。
二、重点与难点
1.重点:菱形的判定方法
2难点:菱形的判定方法的综合运用
教学过程
课前准备
制作菱形：
(1)在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形。
(2)想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形。
新课引入
复习引入:
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形的特殊性质:(1)菱形是轴对称图形；(2)菱形的四条边相等;(3)菱形的对角线互相垂直。
今天我们就来研究一下如何判定一个四边形是菱形
探索新知
思考(1):除了运用菱形的定义,你还能找出判断一个平行四边形是菱形的其他方法吗
猜想1:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形
已知:如图1-1-5,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD互相垂直且交于点O
求证:四边形ABCD是菱形
证明:四边形ABCD是平行四边形,
OA=OC(平行四边形的对角线相互平分)
又∵AC⊥BD,
∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
得出结论：
判定定理1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
例题讲解
例2如图1-1-6,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F
求证:四边形AFCE是菱形
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC(平行四边形的对边平行),
∴∠1=∠2
∴EF垂直平分AC,AO=0C,∠AOE=∠COF=900
∴△AOE≌△COF(ASA),EO=F0O,
∴四边形AFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
又∵EF⊥AC
∴四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
议一议
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗
小刚做法:如图1-1-7,分别以A,C为圆心,以大于一半AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D,依次连接A,B,C,D,四边形ABCD看上去是菱形
你认为小刚的做法正确吗 你是怎样做的
学生:小刚的做法正确.还可以作AC的垂直平分线MN,交AC于点O,在MN上取OB=OD,依次连接A,B,C,D,四边形ABCD是菱形,如图1-1-8
思考(2):除了运用对角线,你还有其他判定菱形的方法吗
图1-1-8
猜想2:四边相等的四边形是菱形.
已知:如图1-1-9,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA
求证:四边形ABCD是菱形。
证明: ∵:AB=CD,BC=ADB
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)
得出结论：
判定定理2四边相等的四边形是菱形
思考:这里的条件能否再减少一些呢？能否有三条边相等的四边形就是菱形了呢 猜一猜,并试着画一画
学生:动手操作,得到有三条边相等的四边形不一定是菱形。
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗 动手试试
小颖做法:先将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了个菱形
你能说说小颖这样做的道理吗
学生:小颖这样做的道理,四边相等的四边形是菱形.
例3已知:如图1-1-10,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,OA=2,OB=1
求证:□ABCD是菱形
图1-1-10
证明:在△AOB中
∵AB=√5,OA=2,OB=1,
∴AB2=AO2+OB2
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角
∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
例4如图1-1-11,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD为10cm
求:(1)对角线AC的长度
(2)菱形ABCD的面积
解:(1): ∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,
∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),
∴DE=1/2BD=1/2×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分)
∴AE=√AD2-DE2=√132-532=12(cm)
∴AC=2AE=2×12=24(cm)(菱形的对角线互相平分)
(2)S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD
=2 S△ABD=2×1/2×BD×AE
=2×1/2×10×12=120
做一做
如图1-1-12，两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠部分 ABCD是菱形吗 为什么
解:重叠部分ABCD是菱形.理由如下：
过点A作AH⊥BC交BC于点H,过点C作CQ⊥AB交AB于点Q
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形
又∴SABCD=BC·AH=AB·CQ,且两张纸条等宽,
∴AH=CQ, ∴AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
通巩固练习
教材随堂练习
补充练习:
1.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( )
A.等腰梯形 B.正方形 C.矩形 D.菱形
2.下列说法中正确的是( )
A.有两边相等的平行四边形是菱形
B.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C.两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课要掌握:
菱形的判定方法:(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(2)四边相等的四边形是菱形
布置作业：