2.4.1圆的标准方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
第二章 直线与圆
朝阳区课程资源·高二下数学
2.4.1 圆的标准方程
1.掌握圆的标准方程，能根据条件求出圆的标准方程，提高运算能力，增强数形结合的意识；
2.经历圆的标准方程的推导过程，进一步探求用代数方法研究几何问题的基本思路，提高探索、推理能力、表达能力.
【学习目标】
我们知道在日常生活中，圆的应用十分广泛，如每条通车隧道的隧道口就是一个半圆形，而在驾驶汽车通过隧道时，我们常常会看到一个限高的标志，这个限高的数据是如何得到的？我们如何从数学的角度给出合理的解释？请大家看以下问题。
问题1：如图，已知隧道的截面是半径为5米的半圆，车辆只能在道路中间线的右侧行驶。一辆宽为3米、高为4.3米的货车能不能驶入这条隧道？
任务1：请大家将这一现实生活问题抽象出对应的数学问题；
任务2：请大家思考判断货车能否通过隧道的依据是什么？
问题1：如图，已知隧道的截面是半径为5米的半圆，车辆只能在道路中间线的右侧行驶。一辆宽为3米、高为4.3米的货车能不能驶入这条隧道？
问题1：如图，已知隧道的截面是半径为5米的半圆，车辆只能在道路中间线的右侧行驶。一辆宽为3米、高为4.3米的货车能不能驶入这条隧道？
A
A
A
C
C
C
问题2：我们知道，两点确定一条直线，一点和方向也能确定一条直线。什么样的条件确定一个圆呢？
圆心 半径
请问满足什么条件的点在这个圆上？你能写出其满足的关系式吗？
问题4：请判断图中的点是否在这个圆上？
追问1：图象是最直观，形象的，但是可能会存在误差，当我们放大图象，就会发现这个点根本不在圆上。那么我们应该寻找一种更精确方法来研究他们之间的关系，对此，你有什么好的想法吗？
直线 直线方程
类比求直线的点斜式方程的方法来求圆的方程
探究一：在平面直角坐标系中，一个点对应一个坐标
一条直线对应一个二元一次方程 （ 不全为零），
那么圆又对应怎样的方程？如何建立圆的方程？
问题1：请总结出求直线方程的过程的基本步骤
建系
设点
列式
化简
检验
问题2：你能说出求直线的点斜式方程的本质是在求什么吗？
问题3：类比求直线方程的步骤求圆的标准方程，我们需要怎么做？
探究二：请在笔记本上画出一个圆（圆心位置，半径自定），建立相应平面直角坐标系，并尝试求出圆的方程。
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心A ，半径为r
为圆上任意一点，则圆A就是以下点的集合
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心A ，半径为r
为圆上任意一点，则圆A就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心A ，半径为r
为圆上任意一点，则圆A就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为
两边平方，得
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心A ，半径为r
（1）
为圆上任意一点，则圆A就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点M的坐标满足的条件可以表示为
两边平方，得
如图，在平面直角坐标系中，圆A的圆心A ，半径为r
建系
设点
列式
化简
坐标化
检验
问题6：请仔细观察圆的标准方程，写出其在结构上的特征
半径
圆心纵坐标
圆心横坐标
1
例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.
例1求圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5,-7)，M2(-2,-1)是否在这个圆上.
解: 圆心为A(2,-3)，半径为5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25
把点M1(5,-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(5-2)2+(-7+3)2=25，等式成立，所以点M1在这个圆上.
把点M2(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，
得(-2-2)2+(-1+3)2≠25，等式不成立，所以点M2不在这个圆上.
思考
点M0(x0,y0)在圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么？在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件是什么？
C
C
C
M0
M0
M0
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
在圆内
在圆上
在圆外
例2 ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求 ABC的外接圆的标准方程.
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了．
【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2
把三个点的坐标代入上式，可得
故外接圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25
例2 ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求 ABC的外接圆的标准方程.
【几何法】: (AB与BC中垂线的交点即为圆心)
因为A(5,1)，B(7,-3)
所以AB的中点坐标为(6,-1)，且kAB=-2
所以AB中垂线的斜率为，
则AB中垂线方程为y+1=(x-6)，即x-2y-8=0,
同理可得，BC的中垂线方程为x+y+1=0
联立两个中垂线方程，得圆心坐标为M(2,-3)
所以半径r=|AM|=
故外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
A
B
C
例3 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
【代数法】: 设所求的方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2
把点A,B的坐标代入圆得方程，圆心C(a,b)代入直线l，得
故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25
例4 已知圆心为C的圆经过A(1,1)，B(2,-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
几何角度:如何确定圆心呢？
x
O
A(1,1)
B(2,-2)
y
圆心
在l上
在AB中垂线上
AB中点
AB斜率
【几何法】: (AB的中垂线与l的交点即为圆心)
因为A(1,1)，B(2,-2)
所以AB的中点坐标为(,-)，且kAB=-3
所以AB中垂线的斜率为，
则AB中垂线方程为y+=(x-)，即x-3y-3=0,
联立中垂线方程与直线l: x-y+1=0，得圆心坐标为M(-3,-2)
所以半径r=|AC|=
故外接圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25
x
O
A(1,1)
B(2,-2)
y
通过本节课，你学到了哪些知识？