海南省定安县2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（PDF版含答案）

2022级高二第一期学期开学考
数学
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1. 集合 A {1,2,3,4}, B {3,4,5,6} ,则 A B （ ）
A.{1,2,3,45,6} B.{3,4} C.{1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5,6}
2 i
2. 复数 在复平面所对应的点所在的象限为（ ）
1 3i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 在正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF （ ）
A.0 B.BE C.AD D.CF
4. 已知向量 a (2,4),b ( 1,1)，则 2a b （ ）
A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)
5. 已知向量 a,b满足 a 1，b 3, a 2b 3，则 a b （ ）
A. 2 B. 1 C.1 D.2
6. 在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c， a 8 3,b 6, A 600 ,则 sin B
（ ）
A. 2 B. 6 C. 2 D. 3
3 3 2 8
7.某市为了解高中教师对新冠肺炎防控知识的掌握情况，调研组采用分层抽样的
方法，从甲、乙、丙三所高中共抽取 60 名教师进行调查。已知三所学校分别有
180名，270名，90名教师，则从乙校中应抽取的人数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
8.从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的
两倍的概率是（ B ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
6 3 9 2
二、多项选择题（每题均有多个选项正确，每题 5 分，没有选全对 2 分，选错 0
分，共计 20分）
9.已知 ， ， 是三个不重合的平面， l是直线，给出的下列命题中，正确的命
题有（ ）
A.若 l上两点到 的距离相等，则 l // B.若 l ，l // ，则
- 1 -
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C.若 // ，l ，且 l // ，则 l // D.若 // ， // ，则 //
2
10.下列关于复数 z 的四个命题，其中真命题为（ ）
1 i
A. z 2 B. z 2 2i C. 的共轭复数为 1 i D. z的虚部为 1
11.口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状大小完全相同的小球，从中任取 2 球，
事件 A=取出的两球同色，B=取出的 2 球中至少有一个黄球，C=取出的 2 球中至
少有一个白球，D=取出两个球不同色。下列判断中正确的是（ ）
A.事件 A 与 D 为对立事件 B.事件 B 与 C是互斥事件
C.事件 C 与 E为对立事件 D.事件 P(C E) 1
12.下列统计量中，能度量样本 x1, x2 , x3...xn的离散程度的是（ ）
A.样本 x1, x2 , x3...xn的标准差 B.样本 x1, x2 , x3...xn的中位数
C.样本 x1, x2 , x3...xn的极差 D.样本 x1, x2 , x3...xn的平均数
三、填空题（每小题 5分，共 20 分）
13.已知向量 a (1,3),b (3,4)，若 a b b，则 。
14.在 ABC 中 ， 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c ， 若 ABC 的 面 积 为
3(a2 b2 c2 )
，则 A= 。
4
15. i 9 2i是虚数单位，复数 = 。
2 i
16.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC 2，AA1 1 ,则 AC1 与平面
A1B1C1D1所成角的正弦值为 。
四、解答题（第 17题 10分，第 18，19，20，21，22题 12 分，共计 70分）
17.在① (sin B sinC)2 sin 2 A sin BsinC b sin B C ;② a sin B ;
2
③ a sin B b cos(A )这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答。
6
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问题： ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若 2a b c， ，求
角 A和 B。
18.某中学举行电脑知识竞赛，先将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘
制成如图所示的频率分布直方图。
（1）求参赛学生成绩的众数、中位数；
（2）高一参赛学生的平均成绩；
（3）按分层抽样的方法从 70,80 ， 80,90 ， 90,100 中抽取 6名学生，再从这 6人中，
抽取 2人，则求这两人都是在 70,80 的概率。
19.在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，点 E在线段 PC 上，
PC⊥平面 BDE．
（1）证明：BD⊥平面 PAC；
（2）若 PA=AB=2，AD=3，求几何体 E﹣BCD 的体积。
20.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲，乙，丙三人 100 米
2 3 1
跑（互不影响）的成绩在 13 秒内（称为合格）的概率分别为 ，，，若对这三
5 4 3
名短跑运动员的 100米跑的成绩进行一次检测，求：
（1）三人都合格的概率；
（2）三人都不合格的概率；
（3）出现几人合格的概率最大。
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21.如图所示，已知四边形 ABCD 为梯形， AB //CD,CD 2AB，M 为线段 PC 上
一点。
（1）设平面 PAB 平面PDC l，证明： AB // l；
（2）在棱 PC 上是否存在点 M，使得 PA //平面MBD？若存在，请确定点 M的位
置；若不存在，请说明理由。
22.第 19 届亚运会于 2023 年 9 月在杭州举行，志愿者的服务工作对亚运会的举办十分重要。
某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作。现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，
并分成五组：第一组 45,55 ，第二组 55，65 ，第三组 65，75 ，第四组 75，85 ，第五组
85，95 ，绘制成如图所示的频率分布直方图。已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一
组和第五组频率相等。
（1）求 a,b的值；
（2）根据组委会的要求，本次志愿者选拔录取率为 19%，请估算被录取至少需要多少分？
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答案解析
一、单项选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
B A D D C D C B
二、多项选择题：
9 10 11 12
BCD BD AD AC
三、填空题：
3 2
13. ； 14. ； 15.4 i 1； 16. ；
5 3 3
四、解答题：
17.
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18.解： 50,60 的频率为0.03 10 0.3； 60,70 的频率为0.04 10 0.4；
70,80 的频率为0.015 10 0.15； 80,90 的频率为0.01 10 0.1；
90，100 的频率为0.005 10 0.05；
（1）由题图可知众数为 65，因为第一个小矩形的面积为 0.3，所以设中位数为
60 x，则0.3 x 0.04 0.5，解得 x 5，所以中位数为 60+5=65.
（2）依题意，平均成绩为55 0.3 65 0.4 75 0.15 85 0.1 95 0.05 67。
所以平均成绩为 67.
（3）按分层抽样的方法从 70,80 ， 80,90 ， 90,100 中抽取 6 名学生，则分别抽取了
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3 人，2 人，1 人。设这 6 人分别为 A,B,C,D,E,F。再从其中抽取 2 人，这一共有
AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,总共 15 种情况。两人都在 70,80 有
CD 一种情况，则求这两人都是在 70,80 1的概率为 。
15
19.（1）∵ PA 平面ABCD，∴ PA BD，∵ PC 平面BDE，∴ PC BD。
又 PC PA P，∴BD⊥平面 PAC。故得证。
（2）如图，设 AC与BD的交点为 O，连接 OE。
∵ PC 平面BDE，∴ PC OE。由（1）可知，BD⊥平面 PAC，∴BD⊥AC。
由题可知，四边形 ABCD 为正方形。由 AD=2，得 AC=BD= 2 2，OC= 2。
在 Rt ABC中，PC PA 2 AC2 3。易知 Rt PAC ∽ Rt OEC，
OE CE OC OE CE 2 2
所以 ,即 ,∴OE ,CE 4 .
PA AC PC 1 2 2 3 3 3
V 1 S BD 1 1 1 2 4 8∴ E BCD CED OE CE BD 2 2 .3 3 2 6 3 3 27
8
综上所述，几何体 E﹣BCD 的体积是 。
27
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