中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学重难点突破
专题十二 圆锥曲线的求值与求轨迹问题
知识归纳
一、椭圆秒杀小题常用结论
(1)椭圆定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．如图(1)
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
(2)点P(x0，y0)和椭圆＋＝1(a＞b＞0)的关系
P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1；P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
(3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB|＝，通径是最短的焦点弦．过焦点最长弦为长轴．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b．
图(5) 图(6) 图(7)
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中如图(6)：
①△PF1F2的周长为2(a＋c)．②S＝b2tan．
(5)如图(7)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大．
(6)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则P到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c．
(7)如图(8)设P，A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，
则kPA·kPB＝－＝e2－1．
图(8) 图(9)
(8)如图(9)设A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝－＝e2－1．
二、双曲线线秒杀小题常用结论
(1)双曲线定义：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．如图(10)
图(10) 图(11) 图(12)
(2)如图(11)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(3)如图(12)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a；
(4)如图(13)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，
则S△PF1F2＝b2，其中θ为∠F1PF2．
(5)如图(14)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系：
e＝＝．
图(13) 图(14) 图(15) 图(16)
(6)若P是双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a；
(7)如图(15)设P，A，B是双曲线－＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，
则kPA·kPB＝＝e2－1．
(8)如图(16)设A,B是双曲线－＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝＝e2－1．
三、抛物线秒杀小题常用结论
(1)抛物线定义：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．如图(17)
(2)设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·y0＝p．
(3)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，则有以下结论：
①x1x2＝，y1y2＝－p2；
②若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；如图(18)
③＋＝为定值；如图(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；如图(18)
⑤S△AOB＝(其中θ 为直线AB的倾斜角)；如图(18)
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)
图(17) 图(18) 图(19) 图(20)
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(20，21)
图(21) 图(22) 图(23)
⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(22)
⑨A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；
⑩已知M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，
则|MN|min＝
(4)如图(23)所示，AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；②两切线互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④点P的坐标为．
四、圆锥曲线的焦比定理
过圆锥曲线焦点F的弦AB，且AB的倾斜角为，若，即.
典例分析
一、椭圆模型
【例1-1】如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案 C 解析 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
【例1-2】已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案 B 解析 解法一 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝．在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1．故选B．
解法二 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B．由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为＋＝1．故选B．
【例1-3】设F1，F2分别是椭圆E：(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．
答案 解析 设B在x轴上的射影为B0，由题意得，，得B0坐标为，即B点横坐标为．设直线AB的斜率为k，又直线过点F1(－c，0)，∴直线AB的方程为y＝k(x＋c)．由得(k2＋b2)x2＋2ck2x＋k2c2－b2＝0，其两根为和c，由韦达定理得解之，得，∴b2＝1－．∴椭圆方程为．
【例1-4】已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．
答案 解析 椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144．又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝．
【例1-5】已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为( )
A．－9 B．－ C．－ D．－3
答案 A 解析 设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代
入9x2＋y2＝m2，得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝－，yM＝kxM＋b＝，故直线OM的斜率kOM＝＝－，所以kOM·k＝－9，即直线OM与直线l的斜率之积为－9．
【例1-6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
答案 B 解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立消去y整理得(b2＋a2k2)x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，由Δ＝(2ka3)2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°．
【例1-7】已知P为椭圆C：＋＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________．
答案 解析 法一：因为点P在椭圆上，所以有|PF1|＋|PF2|＝4，又因为|PF1|·|PF2|＝，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝，所以有sin∠F1PF2＝，所以△F1PF2的面积为S＝××＝×2×yp，解得yp＝，因为点P在椭圆上，所以xp＝．所以过该点的椭圆的切线方程为＋＝1，即为x＋y＝．所以原点O到直线的距离为d＝＝．
法二：设P(m，n)，则切线方程为＋＝1，即3mx＋4ny－12＝0．所以原点O到该切线的距离d＝．因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋＝1，所以有n2＝3－，所以d＝．因为|PF1||PF2|＝，所以有 ＝，即有 ＝4－m2＝，解得16－m2＝，所以d＝＝．
【例1-8】如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 由题意以及选项的值可知：是常数，取M为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N在x的正半轴上，如图：则A1(0，2)，A2是(0，－2)，M(－3，0)，由OM·ON＝OA，可得ON＝，则＝＝＝＝，故选C．
【例1-9】在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A． B． C．1 D．2
答案 C 解析 联立方程可得消去x，化简得(a2＋2b2)y2－8b2y＋b2(8－a2)＝0，由Δ＝0得2b2＋a2－8＝0．设F′为椭圆C的左焦点，连接F′E，易知F′E∥l，所以F′E⊥EF，又点F到直线l的距离d＝＝，所以|EF|＝，|F′E|＝2a－|EF|＝，在Rt△F′EF中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得2b2＝a2，代入2b2＋a2－8＝0得b2＝2，a＝2，所以|EF|＝|F′E|＝2，所以S△OEF＝S△F′EF＝1．
二、双曲线模型
【例2-1】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1
答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示.
由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2．又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan 60°＝．又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1，故选D
【例2-2】已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D．
【例2-3】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 A 解析 如图，设MN的中点为P．∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3．故选A．
【例2-4】过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B 解析 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)．若1－4k2＝0，则k＝±，当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．综上所述，满足题意的直线l共有2条．
【例2-5】已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
答案 A 解析 由双曲线方程可得渐近线为：y＝±x，A(a,0)，F(c,0)，则点A到渐近线距离d1＝＝，点F到渐近线距离d2＝＝＝b，∴d1∶d2＝∶b＝a∶c＝1∶，即c＝a，则＝＝＝1，∴双曲线渐近线方程为y＝±x．故选A．
【例2-6】已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A．θ∈ B．θ＝ C．θ∈ D．θ＝
答案 B 解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设
B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，∴x－y＝a2．∵A(a,0)，∴＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，∴·＝(x0－a)·(－x0－a)＋y＝a2－x＋y＝0，∴⊥，即θ＝．故选B．
【例2-7】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±2x
答案 A 解析 由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由于P，M关于原点对称，F1，F2关于原点对称，∴线段PM，F1F2互相平分，四边形PF1MF2为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，∴c＝a，∴b＝＝a．∴＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选A．
【例2-8】如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．
答案 解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由e＝＝2知，c＝2a，又c2＝a2
＋b2，故b＝a，所以A(0，a)，C(0，－a)，B(－a，0)，F(－2a，0)，则＝(a，a)，＝(－2a，a)，结合题图可知，cos∠BDF＝cos＜，＞＝＝＝．
抛物线模型
【例3-1】已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
答案 C 解析 由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立消
去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x．
【例3-2】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C 解析 因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点F．设M(x，y)，由抛物线的
性质可得|MF|＝x＋＝5，所以x＝5－．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为，又由已知可得圆的半径也为，故可知该圆与y轴相切于点(0，2)，故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，所以M．将点M的坐标代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C．
【例3-3】设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A． B． C．或 D．或
答案 C 解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．
【例3-4】在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于( )
A．2 B． C．2 D．3
答案 A 解析 由抛物线C：y2＝4x，得焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥QF，所以四边形QMRF为平行四边形，|FR|＝|QM|，又由PQ垂直l于点Q，可知|PQ|＝|PF|，因为∠NFR＝60°，所以△PQF为等边三角形，所以FM⊥PQ，所以|FR|＝2，故选A．
【例3-5】过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
答案 4 解析 [一般解法] 设AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4．
[应用结论]法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′(图略)，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，易知∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4．
法二：设直线AB的倾斜角为α，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4．
法三：∵|AF|＝6，|BF|＝3，＝＋＝，∴p＝4．
【例3-6】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．
答案 C 解析 [一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
【例3-7】已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案 2 解析 法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
【例3-8】过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 解法1 设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(＋1，0)，F(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF与△OAB的面积之比为．故选C．
解法2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则＝＝．
【例3-9】已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 解法1 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1
＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2．由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4．由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，∴－4＝5，∴k2＝，k＝．
解法2 设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，因为k＞0，所以点B的坐标为(1，2)，所以k＝＝．故选D．
【例3-10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F ，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，则△AOB的面积为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
答案 C 解析 设直线l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由可以得到y2－8ty－16＝0，所以AB的中点M(4t2＋2,4t)，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10,0)，故t≠0．所以AB的中垂线的方程为y＝－(x－4t2－2)＋4t＝－·x＋8t＋，令y＝0可得x＝8t2＋2，解方程10＝8t2＋2得t＝±1．此时AB＝ |y1－y2|＝8 ＝16，O到AB的距离为d＝＝，所以SΔOAB＝×16×＝8．故选C．
【例3-11】已知点P(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点( )
A． B．(1，0) C．(2，0) D．(－2，0)
答案 B 解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x＝ty＋m(t≠0)，与抛物线
方程联立，消元得y2－2ty－2m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x轴是∠APB的角平分线，所以AP，BP的斜率互为相反数，所以＋＝0，所以2ty1y2＋(m＋1)(y1＋y2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t(－2m)＋2tm＋2t＝0，2t(m－1)＝0，因为t≠0，所以m＝1，所以过定点(1，0)，故选B．
【例3-12】在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
答案 B 解析 设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A
处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2，又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，代入得－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为y－2＝tx，因此直线AB恒过点(0，2)．
【例3-13】如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令＝λ1，＝λ2，则当α＝时，λ1＋λ2的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
答案 B 解析 由题意知焦点的坐标为F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当α＝时，直线AB的方程
为y＝x－，与抛物线方程联立得3x2－10x＋3＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，解得x1＝3，x2＝，由题图可知，λ1＝＝＝＝3，∵α＝，∴λ2＝＝2，∴λ1＋λ2＝5．故选B．
【例3-14】如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B 解析 由题意得，焦点F(0,1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，得
消去x，得y2－6y＋1＝0，所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝，则lAM：y－yA＝(x－xA)，即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)，即y＝xBx－，联立lAM与lBM的方程得解得M．设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，得消去y，得x2－4kx－4＝0，所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，所以yM＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选B．
四、含两种曲线模型
【例4-1】(2019·浙江)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案 解析 法一：依题意，设点P(m，n)(n>0)，由题意知F(－2，0)，所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，①．又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，②．联立①②，消去n，得4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝．
法二：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2．因为M为PF的中点，所以|MF|＝1．在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝．
【例4-2】如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．
答案 1＋ 解析 法一：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，所以A，将点A的坐标代入双曲线得－＝1，化简得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2＞0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋．
法二：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4．连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝．在△AF1F2中，由余弦定理得，cos∠F2F1A＝＝，所以c2－3＝2b，又在双曲线中，c2＝1＋b2，所以b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋．
【例4-3】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x
答案 B 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率kl＝－，直线l的方程为y＝－，整理可得ax＋by－a2＝0．焦点(c，0)到直线l的距离d＝＝，则弦长为2＝2＝c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，分解因式得＝0．又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，所以＝ ＝＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．
方法二 圆心到直线l的距离为＝，∴＝，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴c＝2a，b＝a，∴渐近线方程为y＝±x．
【例4-4】已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若＝3，则以AB为直径的圆的标准方程为( )
A．2＋(y－2)2＝ B．(x－2)2＋(y－2)2＝
C．(x－5)2＋(y－2)2＝64 D．(x－2)2＋(y－2)2＝64
答案 A 解析 如图，作出抛物线的准线l：x＝－，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵＝3，∴设|AF|＝3m，|BF|＝m，∵点A、B在抛物线上，∴|AC|＝3m，|BD|＝m．因此，在Rt△ABE中，|AB|＝4m，|AE|＝2m，∴cos∠BAE＝，∴∠BAE＝60°，∴直线AB的倾斜角为60°，即直线AB的斜率k＝tan 60°＝，∴直线AB的方程为y＝(x－)，代入抛物线方程得3x2－10x＋9＝0．∴xA＋xB＝，xA·xB＝3．∴yA＋yB＝(xA－)＋(xB－)＝4，|AB|＝xA＋xB＋p＝，∴AB中点的坐标为，即．则以AB为直径的圆的标准方程为2＋(y－2)2＝．故选A．
【例4-5】已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，则△AF1F2的面积是( )
A． B．2 C． D．4
答案 C 解析 画出图形如图所示，AD⊥F1D，根据抛物线的定义可知|AF2|＝|AD|＝，故cos∠F1AD＝，也即cos∠AF1F2＝，在△AF1F2中，由余弦定理得＝，解得|F1F2|＝2或|F1F2|＝3，由于∠AF2F1为钝角，故|AD|>|F1F2|，所以|F1F2|＝3舍去，故|F1F2|＝2．而sin∠AF1F2＝＝，所以S△AF1F2＝××2×＝．故选C．
【例4-6】在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x 解析 法一 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4× yA＋yB＝p，由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x．
法二 (点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p．易知直线AB的斜率kAB＝＝eq \f(\f(x,2p)－\f(x,2p),x2－x1)＝．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))得kAB＝＝＝·，则·＝，所以＝ ＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．
五、动点的轨迹方程
求动点轨迹方程的六大方法
1．待定系数法；2．直译法；3．定义法；4．代入法；5．参数法；6．交轨法.
【例5-1】设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
答案 D 解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2．
【例5-2】设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案 A 解析 设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由＝＋，得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，则解得由|AB|＝5，得＋＝25，化简得＋＝1．
【例5-3】已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1
答案 D 解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝＝4，故所求的轨迹方程为＋＝1．
【例5-4】在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．
答案 －＝1(x＞) 解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|．∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，∴轨迹方程为－＝1(x＞)．
同步练习
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1
1．答案 C 解析 由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，解得a＝，
则M，N(，0)．设点A(x0，y0)(x0≠±)，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得·＝－，即y＝－(x－3)，①．又＋＝1，所以y＝b2，②．由①②解得b2＝2．所以C的方程为＋＝1．
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
2．答案 D 解析 由题意知直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②整理得＝－·，即k＝－×＝，∴＝．又a2－b2＝c2＝9，∴a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为＋＝1．
3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．答案 A 解析 因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|
＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1|·|AF2|＝2b2，所以S△F1AF2＝|AF1||AF2|＝b2＝2．又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A点在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A(c，c)，则S＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1，故选A．
4．设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
4．答案 C 解析 ∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F1F2|＝2c＝2＝10，∴易知△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF1F2的重心为点G，∴S△PF1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C
5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
A． B．3 C．2 D．4
5．答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x．设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝．则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3．故选B．
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
6．答案 C 解析 因为双曲线的离心率为2，所以＝2，c＝2a，b＝a，不妨令A(2a,3a)，B(2a，－3a)，双曲线其中一条渐近线方程为y＝x，所以d1＝＝，d2＝＝；依题意得：＋＝6，解得：a＝，b＝3，所以双曲线方程为：－＝1．
7．双曲线－＝1(a，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1
7．答案 B 解析 ∵∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，∴|PF1|＝|PQ|，P，F2，Q三点共线，而|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PQ|－|PF2|＝2a，即|F2Q|＝2＝2a，解得a＝1．又e＝＝，∴c＝，∴b2＝c2－a2＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1．故选B．
8．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
8．答案 D 解析 不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a．又因为所以∠PF1F2为最小内角，故∠PF1F2＝．由余弦定理，可得＝，即(a－c)2＝0，所以c＝a，则b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．
9．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝( )
A．2 B．2 C．3 D．4
9．答案 D 解析 法一：由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，由消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，因为P(4,2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ＞0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝×＝4，故选D．
法二：由已知可得点P的位置如法一中图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，因为P(4,2)为AB的中点，所以k＝＝1，所以AB的方程为y＝x－2，由消去y得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以|AB|＝×＝4，故选D．
10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l2上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x
10．答案 B 解析 不妨取F(c，0)，l1：bx－ay＝0，设其对称点F′(m，n)在l2：bx＋ay＝0，由对称性可得，解得，点F′(m，n)在l2：bx＋ay＝0，
则·bc＋＝0，整理可得＝3，∴＝，双曲线的渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
11．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
11．答案 C 解析 法一：如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3．∴p＝＝＝，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C．
法二：由法一可知∠CBD＝60°，则由|AF|＝＝3，可知p＝3＝，∴2p＝3，∴抛物线的标准方程为y2＝3x.
12．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
12．答案 C 解析 由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4．故选C．
13．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为( )
A． B． C． D．
13．答案 C 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝3，所以y1＝－3y2，设直线l的方程为x
＝my＋1，由消去x得y2－4my－4＝0，∴y1y2＝－4，∴∴y1＋y2＝4m＝，∴m＝，∴x1＋x2＝，AB的中点坐标为，过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y－＝－，令y＝0，可得x＝，所以S△ABG＝××＝．
14．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B． C．5 D．6
14．答案 B 解析 [一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1，①．因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②．由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝．
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2．则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝．又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝．
法二 因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝．
15．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B． C． D．
15．答案 D 解析 [一般解法] 由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0．与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，故|yA－yB|＝＝6．因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝．联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝．根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝．
[应用结论] 由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝＝12．原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝．
16．在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为( )
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外) B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外) D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
16．答案 B 解析 设C(x，y)(y≠0)，则由＋＋＝0，即G为△ABC的重心，得G．又||＝||＝||，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，又∥，则有M．所以x2＋＝4＋，化简得＋＝1，y≠0．所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．
17．已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝8x2 C．y＝4x2－ D．y＝4x2＋
17．答案 C 解析 设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－．
18．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1
18．答案 D 解析 ∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆．∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴M的轨迹方程为＋＝1．
19．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
19．答案 A 解析 如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B．
因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2a，|F1B|＝2b．又点M在双曲线上，所以|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2a＝2a．整理，得b＝a．所以＝．所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选A．
20．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|＝( )
A． B．1 C．2 D．3
20．答案 B 如图，圆心M到直线x＝的距离d＝，①．圆M的半径r＝|MA|，∴|MA|2＝d2＋2 d2＝|MA|2，②．∵＝2，∴|MA|＝，③．由①②③可得x0＝p，或x0＝，∵(2)2＝2px0(p>0)，∴p＝2或4．∴或∴|AF|＝|MA|＝1．故选B．
21．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±2y＝0
21．答案 x±y＝0 设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，双曲线C2：－＝1，依题意c1＝c2＝c，且＝，∴＝，则a＝3m，①，由圆锥曲线定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，且|PF1|－|PF2|＝2m，∴|PF1|＝4m，|PF2|＝2m．在△F1PF2中，由余弦定理，得：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos＝12m2，∴c2＝3m2，则n2＝c2－m2＝2m2，因此双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．
22．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且·＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么||·||＝( )
A．21 B．14 C．7 D．0
22．答案 B 解析 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∵直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，∴＝，①．又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②．又a2＋b2＝c2.③．∴由①②③得a＝3．设点P为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得＝6④．又·＝0，∴⊥，∴在Rt△PF1F2中||2＋||2＝82⑤．联立④⑤，解得||·||＝14．
23．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，且被圆x2＋(y－a)2＝1截得的弦长
为，则a＝( )
A． B． C． D．
23．答案 B 解析 可以设切点为(x0，x＋1)，由y′＝2x，∴切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x＋1，∵已知双曲线的渐近线为y＝±x，∴x0＝±1，＝2，一条渐近线方程为y＝2x，圆心(0，a)到直线y＝2x的距离是＝ a＝．故选B．
24．抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若
C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于( )
A． B． C． D．
24．答案 D 经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝x.抛物线C1的焦点为F，双曲线C2的右焦点为F2(2，0)．因为y＝x2，所以y′＝x．所以抛物线C1在点M处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p．因为F，F2(2，0)，M三点共线，所以＝，解得p＝，故选D．
25．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
25．答案 x2－＝1(x<0) 解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2．
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|．因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2<6＝|C1C2|．所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8．故动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．
26．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭
圆C的方程为________________．
26．答案 ＋＝1 解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知c＝1，即a2－b2＝1①，设点F(1，0)关于直线y＝x的对称点为(m，n)，可得＝－2②．又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线y＝x上，所以有＝×③，联立②③，解得即对称点为，代入椭圆方程可得＋＝1④，联立①④，解得a2＝，b2＝，所以椭圆方程为＋＝1．
27．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________．
27．答案 2 解析 方法一特殊化，设MN⊥x轴，则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2．
方法二 由题意知F(－1，0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝，则|MN|＝＝．直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则解得x2＝，y2＝，则|OP|2＝x＋y＝，又|PQ|＝2|OP|，所以|PQ|2＝4|OP|2＝，所以＝2．综上，＝2．
28．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O
为坐标原点)时，|PF|＝________.
28．答案 解析 法一：令l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝．设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，所以|PF|＝|PA|＝y0＋1＝．
法二：如图所示，∠AFO＝30°，∴∠PAF＝30°，又|PA|＝|PF|，∴△APF为顶角∠APF＝120°的等腰三角形，而|AF|＝＝，∴|PF|＝＝．
29．如图，椭圆C：＋＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．
29．答案 6 解析 由已知|PM|·|PN|＝(R－|OP|)(R＋|OP|)＝R2－|OP|2＝a2＋4－|OP|2，|OP|2＝||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2||||cos∠F1PF2)＝(||2＋||2)－(||2＋||2－2||||cos∠F1PF2)＝[(2a)2－2|PF1||PF2|]－×(2c)2＝a2－2，所以|PM|·|PN|＝(a2＋4)－(a2－2)＝6．
30．已知双曲线－＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，
若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝________.
30．答案 4 解析 如图所示．∵双曲线－＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，∴a2＝9，2b＝8，∴a＝3，b＝4，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，∴F(5，0)．∵⊙F与双曲线的渐近线相切，∴⊙F的半径r＝＝4，∴|MF|＝4，∵|AF|＝a＋c＝5＋3＝8，∴|AM|＝＝4，∵S四边形AMFN＝2×|AM|·|MF|＝|AF|·|MN|，∴2×4×4＝8·|MN|，解得|MN|＝4．
31．已知双曲线－＝1，过双曲线的上焦点F1作圆O：x2＋y2＝25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则△MOT的外接圆的周长为________．
31．答案 π 解析 如图，∵F1M为圆的切线，∴OM⊥F1M，在直角三角形OMF1中，|OM|＝5.设双曲线的下焦点为F2，连接NF2，∴OT为△F1F2N的中位线，∴2|OT|＝|NF2|.设|OT|＝x，则|NF2|＝2x，又|NF1|－|NF2|＝10，∴|NF1|＝|NF2|＋10＝2x＋10，∴|TF1|＝x＋5．由勾股定理得|F1M|2＝|OF1|2－|OM|2＝132－52＝144，|F1M|＝12，∴|MT|＝|x－7|，在直角三角形OMT中，|OT|2－|MT|2＝|OM|2，即x2－(x－7)2＝52，∴x＝．又△OMT是直角三角形，故其外接圆的直径为|OT|＝，∴△MOT的外接圆的周长为π．
32．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|
＝2，|DE|＝2，则p等于________．
32．答案 解析 如图，|AB|＝2，|AM|＝，|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，∴xA＝＝，∵|OD|＝|OA|，∴＝，∴＋10＝＋6，解得：p＝.(负值舍去)
33．已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x－6y＋3p
＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝________．
33．答案 可得直线2x－6y＋3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F，由
得x2－px－p2＝0， xP＝－p，xS＝p yP＝p，yS＝p，|RS|＝|SF|－＝yS＋－＝p，|PQ|＝|PF|－＝yP＋－＝p．∴则＝．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
高中数学重难点突破
专题十二 圆锥曲线的求值与求轨迹问题
知识归纳
一、椭圆秒杀小题常用结论
(1)椭圆定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．如图(1)
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
(2)点P(x0，y0)和椭圆＋＝1(a＞b＞0)的关系
P(x0，y0)在椭圆内 ＋<1；P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1；P(x0，y0)在椭圆外 ＋>1．
(3)如图(5)，椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为|AB|＝，通径是最短的焦点弦．过焦点最长弦为长轴．过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b．
图(5) 图(6) 图(7)
(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中如图(6)：
①△PF1F2的周长为2(a＋c)．②S＝b2tan．
(5)如图(7)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，当椭圆上点P在短轴端点时与两焦点连线的夹角最大．
(6)P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则P到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c．
(7)如图(8)设P，A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，
则kPA·kPB＝－＝e2－1．
图(8) 图(9)
(8)如图(9)设A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝－＝e2－1．
二、双曲线线秒杀小题常用结论
(1)双曲线定义：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)．如图(10)
图(10) 图(11) 图(12)
(2)如图(11)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
(3)如图(12)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a；
(4)如图(13)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，
则S△PF1F2＝b2，其中θ为∠F1PF2．
(5)如图(14)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系：
e＝＝．
图(13) 图(14) 图(15) 图(16)
(6)若P是双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a；
(7)如图(15)设P，A，B是双曲线－＝1(a＞b＞0)上不同的三点，其中A，B关于原点对称，
则kPA·kPB＝＝e2－1．
(8)如图(16)设A,B是双曲线－＝1(a＞b＞0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·kOP＝＝e2－1．
三、抛物线秒杀小题常用结论
(1)抛物线定义：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．如图(17)
(2)设A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，P为弦AB的中点，则kAB·y0＝p．
(3)以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，则有以下结论：
①x1x2＝，y1y2＝－p2；
②若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝；如图(18)
③＋＝为定值；如图(18)
④|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；如图(18)
⑤S△AOB＝(其中θ 为直线AB的倾斜角)；如图(18)
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；如图(19)
图(17) 图(18) 图(19) 图(20)
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；如图(20，21)
图(21) 图(22) 图(23)
⑧以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；如图(22)
⑨A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；
⑩已知M(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，
则|MN|min＝
(4)如图(23)所示，AB是抛物线x2＝2py(p>0)的过焦点的一条弦(焦点弦)，分别过A，B作抛物线的切线，交于点P，连接PF，则有以下结论：
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l：y＝－；②两切线互相垂直，即PA⊥PB；
③PF⊥AB；④点P的坐标为．
四、圆锥曲线的焦比定理
过圆锥曲线焦点F的弦AB，且AB的倾斜角为，若，即.
典例分析
一、椭圆模型
【例1-1】如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【例1-2】已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【例1-3】设F1，F2分别是椭圆E：(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．
【例1-4】已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．
【例1-5】已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为( )
A．－9 B．－ C．－ D．－3
【例1-6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
【例1-7】已知P为椭圆C：＋＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________．
【例1-8】如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝( )
A． B． C． D．
【例1-9】在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y－2＝0与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相切，且椭圆C的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为( )
A． B． C．1 D．2
二、双曲线模型
【例2-1】已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1
【例2-2】已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
【例2-3】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【例2-4】过点P(2，1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例2-5】已知双曲线C：－＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【例2-6】已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则( )
A．θ∈ B．θ＝ C．θ∈ D．θ＝
【例2-7】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF2交双曲线C右支于点N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±2x
【例2-8】如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．
抛物线模型
【例3-1】已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x
【例3-2】设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
【例3-3】设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A． B． C．或 D．或
【例3-4】在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若∠NFR＝60°，则|FR|等于( )
A．2 B． C．2 D．3
【例3-5】过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________．
【例3-6】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．
【例3-7】(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
【例3-8】过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A． B． C． D．
【例3-9】已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
A． B． C． D．
【例3-10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F ，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(10，0)，则△AOB的面积为( )
A．4 B．4 C．8 D．8
【例3-11】已知点P(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2＝2x交于不同的两点A，B，若x轴是∠APB的角平分线，则直线l一定过点( )
A． B．(1，0) C．(2，0) D．(－2，0)
【例3-12】在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为( )
A．(0，1) B．(0，2) C．(2，0) D．(1，0)
【例3-13】如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令＝λ1，＝λ2，则当α＝时，λ1＋λ2的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【例3-14】如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4．以上结论正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
四、含两种曲线模型
【例4-1】(2019·浙江)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
【例4-2】如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．
【例4-3】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x
【例4-4】已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若＝3，则以AB为直径的圆的标准方程为( )
A．2＋(y－2)2＝ B．(x－2)2＋(y－2)2＝
C．(x－5)2＋(y－2)2＝64 D．(x－2)2＋(y－2)2＝64
【例4-5】已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，则△AF1F2的面积是( )
A． B．2 C． D．4
【例4-6】在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
五、动点的轨迹方程
求动点轨迹方程的六大方法
1．待定系数法；2．直译法；3．定义法；4．代入法；5．参数法；6．交轨法.
【例5-1】设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
【例5-2】设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【例5-3】已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1
【例5-4】在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．
同步练习
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
4．设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为( )
A．24 B．12 C．8 D．6
5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
A． B．3 C．2 D．4
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
7．双曲线－＝1(a，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的角平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1
8．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
9．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝( )
A．2 B．2 C．3 D．4
10．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，F为其一个焦点，若F关于l1的对称点在l2上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x
11．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
12．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
13．已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，＝3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为( )
A． B． C． D．
14．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B． C．5 D．6
15．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B． C． D．
16．在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为( )
A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外) B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外) D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
17．已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝8x2 C．y＝4x2－ D．y＝4x2＋
18．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1
19．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
20．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2)是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线x＝截得的弦长为|MA|，若＝2，则|AF|＝( )
A． B．1 C．2 D．3
21．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±2y＝0
22．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且·＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么||·||＝( )
A．21 B．14 C．7 D．0
23．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，且被圆x2＋(y－a)2＝1截得的弦长为，则a＝( )
A． B． C． D．
24．抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若
C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于( )
A． B． C． D．
25．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
26．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线y＝x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为________________．
27．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________．
28．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
29．如图，椭圆C：＋＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．
30．已知双曲线－＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝________.
31．已知双曲线－＝1，过双曲线的上焦点F1作圆O：x2＋y2＝25的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为NF1的中点，则△MOT的外接圆的周长为________．
32．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，则p等于________．
33．已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x－6y＋3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
