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高中数学重难点突破
专题十三 圆锥曲线中的最值与范围问题
典例分析
几何法解决的最值模型
【例1-1】过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
【例1-1】答案 D 解析 由椭圆的对称性可知，P，Q两点关于原点对称，设F′为椭圆另一焦点，则四边形PFQF′为平行四边形，由椭圆定义可知：|PF|＋|PF′|＋|QF|＋|QF′|＝4a＝20，又|PF|＝|QF′|，|QF|＝|PF′|，∴|PF|＋|QF|＝10，又PQ为椭圆内的弦，∴|PQ|min＝2b＝8，∴△PFQ周长的最小值为：10＋8＝18．
【例1-2】已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
【例1-2】答案 (0，－1) 解析 设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2．当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
【例1-3】椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A． B． C． D．
【例1-3】答案 C 解析 如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′．因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝＝，又c＝＝＝1，所以此时△FMN的面积S＝×2×＝．故选C．
【例1-4】设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【例1-4】答案 C 解析 由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4，0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2．又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|
－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5．又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6．故选C．
【例1-5】已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A． B．3 C． D．2
【例1-5】答案 C 解析 抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝．
【例1-6】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
【例1-6】答案 解析 因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为．
【例1-7】已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．
【例1-7】答案 3 解析 如图，在Rt△QPF中，·＝||||cos∠PFQ＝||||＝||2＝||2－1．由抛物线的定义知：||＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴||min＝2，∴·的最小值为3．
二、代数法解决的最值模型
【例2-1】如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
【例2-1】答案 4 解析 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3．故椭圆方程为＋＝1．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤．因为F(－1，0)，A(2，0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2．即当x0＝－2时，·取得最大值4．
【例2-2】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A． B． C．2 D．
【例2-2】答案 B 解析 由平面几何知识可得|BD|＝|AC|＝，所以e1＝，e2＝，所以e1e2＝1．因为e1＋e2＝e1＋＝＋在x∈(0，1)上单调递减，所以e1＋e2＞＋＝．因为对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，所以t≤，即t的最大值为．
【例2-3】已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是( )
A．1 B． C． D．2
【例2-3】答案 B 解析 ∵∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，设∠F1PF2＝θ，∴cosθ＝＝，∴S2△PF1F2＝(×4a×2a×sinθ)2＝16a4(1－)＝－9(a2－)2≤，当且仅当a2＝时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是．故选B．
【例2-4】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
【例2-4】答案 解析 由题意，得△ABF2的周长为32，∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，∴＝32－4a，∴b＝(0
【例2-5】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A． B． C． D．1
【例2-5】答案 C 解析 如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，则y＝2px0，即x0＝．设M(x′，y′)，
由＝2，得化简可得
∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)，故直线OM的斜率的最大值为．
【例2-6】抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A． B． C． D．
【例2-6】答案 D 解析 由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝|AB|，得|AF|＋|BF|＝，|AB|，所以|AB|＝(|AF|＋|BF|)．所以cos∠AFB＝＝＝＝－≥×2－＝－，而0＜∠AFB＜π，所以∠AFB的最大值为．
【例2-7】已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
【例2-7】答案 解析 法一：设直线lAB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y2－my－t＝0，∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t，∵点A，B位于x轴两侧，∴y1y2＝－t<0，∴t>0．又·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝t2－t＝2，解得t＝2或t＝－1(舍去)．∴S△AFO＋S△BFO＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥，∴△AFO与△BFO面积之和的最小值为．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．∴S△AFO＋S△BFO＝|y1－y2|＝＝ ≥＝．
三、范围问题模型
1．用函数思想解决的模型
【例3-1】在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________．
【例3-1】答案 解析 设P(x，y)，则Q点(x，－y)，椭圆＋＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，∵·≤1，∴x2－2＋y2≤1，结合＋＝1，可得y2∈[1,2]．故与的夹角θ满足：cos θ＝＝＝＝－3＋∈．
【例3-2】已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
【例3-2】答案 (0，] 解析 由双曲线的定义及题意可得解得又|PF1|＋|PF2|≥2c，∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，整理得e＝≤＝1＋，∵1【例3-3】已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是( )
A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞)
【例3-3】答案 D 解析 由题意知，抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以kOS＝＝，直线OS的方程为y＝x，代入抛物线方程，解得x3＝，由条件知k2＞0．所以＝＝k2＋2＞2．选D．
2．用建立不等关系解决的的模型
【例4-1】已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________．
【例4-1】答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析 根据题意得到△C1AB的面积为r2sin θ，当角度为直角时面积最大，此时△C1AB为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离为d＝1，根据点到直线的距离公式得到＝1 1＋k2＝(1＋t)2 k2＝t2＋2t，直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线方程得到x2－2kx－2t＝0 ，只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k2＋8t＝4t2＋16t>0 ，解得t的取值范围为(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
【例4-2】过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例4-2】答案 D 解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cos θ，
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝．由≤θ<π得－1【例4-3】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．
【例4-3】答案 解析 设P(m，n)，则－＝1，即m2＝a2．又F1(－1,0)，F2(1,0)，则＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)，·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1＝n2＋a2－1≥a2－1，当且仅当n＝0时取等号，所以·的最小值为a2－1．由2≤≤4，得≤a≤，故－≤a2－1≤－，即·的最小值的取值范围是．
【例4-4】如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8] C．[6，7] D．[5，6]
【例4-4】答案 B 解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B．
【例4-5】已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
【例4-5】答案 (0，4) 解析 解法一：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于＝4，所以|OM|的取值范围为(0，4)．
解法二：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝(|PF1|－|PF2|)，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝．|2|PF1|－10|＝|PF1－5|，又|PF1|∈(1，5)∪(5，9)，∴|OM|∈(0，4)，故|OM|的取值范围是(0，4)．
同步练习
1．已知圆M：(x－2)2＋y2＝1经过椭圆C：＋＝1(m>3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( )
A．2－5 B．2－4 C．4－11 D．4－10
1．答案 A 解析 易知圆M与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m－3＝1或m－3＝9，则m＝4或m＝12．当m＝12时，圆M与椭圆C无交点，舍去．所以m＝4．联立得x2－16x＋24＝0．又x≤2，所以x＝8－2．故点P到直线AB距离的最大值为3－(8－2)＝2－5．
2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|
＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
2．答案 C 解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|
＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12．
3．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1
3．答案 D 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，即当|PQ|＋|PF2|最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当F2，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即F2到直线l的距离d＝1，故所求最值为2a＋1＝2＋1．故选D．
4．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13 C．16 D．19
4．答案 B 解析 由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．故选B．
5．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．答案 A 解析 由题意知，抛物线的准线l的方程为x＝－1，过点P作PE⊥l于点E，由抛物线的定义，得|PE|＝|PF|，易知当P，E，M三点在同一条直线上时，|PF|＋|PM|取得最小值，即(|PF|＋|PM|)min＝5－(－1)＝6，故选A．
6．已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x＝－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
6．答案 C 解析 如图，由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，连接PF，FQ，则d＝|PF|，将圆C的方程化为(x＋1)2＋(y－4)2＝4，圆心为C(－1，4)，半径为2，则|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，又|PQ|＋|PF|≥|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取得等号)．所以当F，Q，C三点共线时取得最小值，且为|CF|－|CQ|＝－2＝3，故选C．
7．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
A．23 B．42 C．12 D．52
7．答案 A 解析 由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px(p＞0)，因为抛物线C1过点(2，4)，所以16＝2p×2，解得p＝4，所以抛物线C1的方程为y2＝8x．圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0整理得(x－2)2＋y2＝1，可知圆心C2(2，0)恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．①当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，所以P(2，4)，Q(2，－4)，于是|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×4＋5＝25．②当直线l的斜率存在时，易知斜率不为0，可设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，则Δ＞0，且x1x2＝4，即x2＝．所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋2＋4(x2＋2)＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23，当且仅当x1＝，即x1＝4时等号成立．因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23．故选A．
8．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A． B． C． D．
8．答案 D 解析 设|AF|＝m，|BF|＝n，∵|AF|＋|BF|＝|AB|，∴|AB|≥2，∴mn≤|AB|2，在△AFB中，由余弦定理得cos∠AFB＝＝＝≥－，∴∠AFB的最大值为．
9．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
9．答案 A 解析 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°
＝，即≥，解得0＜m≤1.当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9．故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)．
10．如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) B．(8，10) C．(6，10) D．(8，12)
10．答案 B 解析 由题意可得，抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y＝－1的距离，又PN∥y轴，故|PN|＋|NM|等于点P到准线y＝－1的距离，由，得y＝3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y＝－1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，选B．
11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e的取值范围为，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，
O是坐标原点，且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是( )
A．[， ] B．[， ] C．[， ] D．[， ]
11．答案 C 解析 联立消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由OM⊥ON，得x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，化简得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，∴－＋1＝0，化简得b2＝，∵e＝＝，∴e2＝1－，∵e∈，∴e2∈，∴1－∈，∴≤≤，∴≤≤，∴≤a2≤，∴≤a≤，∴≤2a≤，即椭圆的长轴长的取值范围为[， ]，故选C
12．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大
值为________，最小值为________．
12．答案 6＋ 6－ 解析 如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．
13．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
13．答案 －1 解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1．
14．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________．
14．答案 解析 如图所示：
圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM的面积最小，则MF最小，即M距离准线最近，故
满足条件时，M与原点重合，此时MF＝1，BF＝BM＝，此时四边形AFBM面积S＝2S△BMF＝2×××＝，故答案为．
15．已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1) (λ∈R)(O是坐标原点)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
15．答案 15 解析 因为＝(λ－1)，所以＝λ，即O，A，P三点共线，因为·＝72，所以·＝λ||2＝72，设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的投影长度为|||cos θ|＝|λ||x|＝eq \f(72|x|,||2)＝＝≤＝15，当且仅当|x|＝时取等号，故所求最大值为15．
16．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，
则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________．
16．答案 解析 由题意得，直线l的斜率不为0，所以令直线l：x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，可设P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.可知＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，又＝≤，故≤3．三角形周长与三角形内切圆的半径的积等于三角形面积的二倍，则内切圆半径r＝eq \f(2,8)≤，其面积最大值为．
17．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
17．答案 3 解析 不妨设A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)．则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝eq \f(y,4)＋y1．又y1y2＝－p2＝－4．∴|AC|＋|BD|＝eq \f(y,4)－(y2<0)．设g(x)＝－，在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增．∴当x＝－2，即y2＝－2时，|AC|＋|BD|的最小值为3．
18．已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
18．答案 8 解析 法一 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得消去x得y2－2ty－1＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1．所以|AB|＝|y1－y2|＝＝＝2t2＋2，同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．
法二 由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－．由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋．由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋．同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1
时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．
19．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是 ．
19．答案 (2，＋∞) 解析 设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程消去x得y2＝2p(2y＋t) y2－4py－2pt
＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16p2＋8pt>0 t>－2p，y1＋y2＝4p，y1y2＝－2pt>0 t<0，即－2p2，即k1＋k2的取值范围是(2，＋∞)
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高中数学重难点突破
专题十三 圆锥曲线中的最值与范围问题
典例分析
几何法解决的最值模型
【例1-1】过椭圆＋＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
【例1-2】已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
【例1-3】椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A． B． C． D．
【例1-4】设P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【例1-5】已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A． B．3 C． D．2
【例1-6】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
【例1-7】已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．
二、代数法解决的最值模型
【例2-1】如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
【例2-2】在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A． B． C．2 D．
【例2-3】已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是( )
A．1 B． C． D．2
【例2-4】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
【例2-5】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A． B． C． D．1
【例2-6】抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A． B． C． D．
【例2-7】已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
三、范围问题模型
1．用函数思想解决的模型
【例3-1】在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有·≤1，则与的夹角余弦值的范围为________．
【例3-2】已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
【例3-3】已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的取值范围是( )
A．(0，2) B．[2，＋∞) C．(0，2] D．(2，＋∞)
2．用建立不等关系解决的的模型
【例4-1】已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x2＋(y＋1)2＝2相交于A，B两点，且△C1AB的面积取得最大值，又直线l与抛物线C2：x2＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是______________．
【例4-2】过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例4-3】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则·的最小值的取值范围是________．
【例4-4】如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8] C．[6，7] D．[5，6]
【例4-5】已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
同步练习
1．已知圆M：(x－2)2＋y2＝1经过椭圆C：＋＝1(m>3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( )
A．2－5 B．2－4 C．4－11 D．4－10
2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|
＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
3．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1
4．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13 C．16 D．19
5．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
6．已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直线x＝－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
7．如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆C2分别交于点P，Q和M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为( )
A．23 B．42 C．12 D．52
8．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A，B是抛物线上的两个动点，|AF|＋|BF|＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A． B． C． D．
9．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞)
10．如图，抛物线E：x2＝4y与M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )
A．(6，12) B．(8，10) C．(6，10) D．(8，12)
11．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e的取值范围为，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，O是坐标原点，且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是( )
A．[， ] B．[， ] C．[， ] D．[， ]
12．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
13．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
14．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝作切线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________．
15．已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1) (λ∈R)(O是坐标原点)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．
16．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________．
17．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
18．已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
19．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是 ．
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