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高中数学重难点突破
专题十五 圆锥曲线客观题解题策略
典例分析
题型一、圆锥曲线的标准方程
例1-1、已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若
|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
例1-2、已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
例1-3、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
题型二、椭圆与双曲线的离心率的值与范围
1、求离心率的值
例2-1、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
例2-2、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．
例2-3、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C． D．
例2-4、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
例2-5、设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
例2-6、已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q．若|AQ|＝，则双曲线E的离心率是( )
A．2 B．
C． D．
例2-7、已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
例2-8、设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
例2-9、已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A．－1 B．－1
C． D．
求离心率的范围
例3-1、已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
例3-2、已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B．
C． D．
例3-3、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________．
例3-4、已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，此双曲线的离心率e的最大值为________．
例3-5、已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[，＋] B．[2，＋1]
C．[2，＋] D．[，＋1]
例3-6、已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
例3-7、已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，2)
C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
题型三、圆锥曲线中的最值与范围问题
例4-1、已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
例4-2、已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A． B．3
C． D．2
例4-3、已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
例4-4、已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．
例4-5、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A． B．
C．2 D．
例4-6、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
例4-7、抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A． B．
C． D．
例4-8、已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
例4-9、如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8]
C．[6，7] D．[5，6]
例4-10、已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
题型四、圆锥曲线中的距离与面积问题
例5-1、如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C． D．
例5-2、已知P为椭圆C：＋＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________．
例5-3、如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝( )
A． B．
C． D．
例5-4、已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
例5-5、过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A． B．
C． D．
例5-6、已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（ ）
A． B．
C． D．
例5-7、已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．
题型五、圆锥曲线综合问题
例6-1、已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
例6-2、如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．
例6-3、在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
例6-4、已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（ ）
A． B．或
C．或 D．
例6-5、已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
例6-6、已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M Q，则的最大值为（ ）
A．48 B．49
C．50 D．42
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高中数学重难点突破
专题十五 圆锥曲线客观题解题策略
典例分析
题型一、圆锥曲线的标准方程
例1-1、已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若
|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
答案 B 解析 解法一 由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m．由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝．在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3．又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1．故选B．
解法二 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a．∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a．又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B．由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2．∴椭圆C的方程为＋＝1．故选B．
例1-2、已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，选D．
例1-3、设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C 解析 因为抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，所以焦点F．设M(x，y)，由抛物线的
性质可得|MF|＝x＋＝5，所以x＝5－．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为，又由已知可得圆的半径也为，故可知该圆与y轴相切于点(0，2)，故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，所以M．将点M的坐标代入抛物线方程，得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C．
题型二、椭圆与双曲线的离心率的值与范围
1、求离心率的值
例2-1、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案 2 解析 秒杀 由＝，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为．∴e＝＝2．
通法一：由＝，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为．∵点B在直线y＝－x上，∴＝，∴离心率e＝＝2．
通法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．又∵＝，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2．
例2-2、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．
答案 解析 秒杀 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝．由题可知，，即，所以e＝．
通法 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．
由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝．作DE⊥x轴于E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝×＝，|F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝|DF2|cos∠BF2O＝×＝，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋＝，∴点D的坐标为．又点D在椭圆上，∴＋＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝＝．
例2-3、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 秒杀 由已知△F1PF2是直角三角形，∠F2PF1＝90°，sin∠PF1F2＝，∠PF2F1＝，∴e＝＝＝eq \f(1,|－|)．即＝2，所以e＝＝．故选C．
通法 如图，直线PF2的方程为y＝－(x－c)，设直线PF2与直线y＝x的交点为N，易知N．又线段PF2的中点为N，所以P．因为点P在双曲线C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝．故选C．
例2-4、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.
例2-5、设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝．故选B．
例2-6、已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q．若|AQ|＝，则双曲线E的离心率是( )
A．2 B． C． D．
答案 C 解析 如图，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M．依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝2，即a＝．因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线E的离心率是e＝＝＝，故选C．
例2-7、已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a，0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝．
解法二：如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．
由PF⊥x轴得P(－c，)．设E(0，m)，又PF∥OE，得＝，则|MF|＝，①．又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝，②．由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝，故选A．
例2-8、设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，根据正弦定理＝＝2R，∴R＝c，∵R＝4r，∴r＝c，由余弦定理，2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，可得|PF1||PF2|＝，则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得·c＝·，∴e＝＝．
例2-9、已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A．－1 B．－1 C． D．
答案 B 解析 法一：由抛物线方程知A(0，－1)，过点P作PB垂直准线于点B，如图．由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，则|PA|＝m|PF|＝m|PB|，即m＝＝．若m最大，则sin∠PAB最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y得x2＝4kx－4，即x2－4kx＋4＝0，令Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，可得P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2＋2，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝－1，故选B．
法二：过点P作PB垂直准线于点B．设P(x，y)．因为A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，所以A(0，－1)，F(0，1)，则m＝＝＝＝.当y＝0时，m＝1；当y>0时，m＝＝≤＝，当且仅当y＝1时取等号．当m取得最大值时，P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2＋2，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝－1，故选B．
求离心率的范围
例3-1、已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，可得2c＝2，短半轴的长：，椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，可得×2×>，可得m2－4m＋3<0，解得m∈(1，3)，则椭圆C的离心率为：e＝∈．
例3-2、已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 方法1 不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为．
方法2 A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2，所以椭圆C的离心率的最大值为＝．故选A．
例3-3、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________．
答案 2 解析 因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且＝3，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2．
例3-4、已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案 解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a．又|PF1|＝6|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a．当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－e2，即e2＝－cos∠F1PF2．∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈．当P，F1，F2三点共线时，∵|PF1|＝6|PF2|，∴e＝＝，综上，e的最大值为．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．
例3-5、已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[，＋] B．[2，＋1] C．[2，＋] D．[，＋1]
答案 D 解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，
由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2②，
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，∴r1r2＝2·c2·sin 2β，∴c2－a2＝c2·sin 2β，∴e2＝，又∵β∈，∴sin 2β∈，∴e2＝∈[2，(＋1)2]．又e>1，∴e∈[，＋1]．
例3-6、已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 设P(x，y)，则＋＝1(a>b>0)，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－
y)，＝(c－x，－y)．所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2．因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2．所以b2－c2≤c2≤b2，所以2c2≤a2≤3c2，所以≤≤．故选B．
例3-7、已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，2) C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 D 解析 由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±，因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，所以>，所以1＋>4，所以e>2．
题型三、圆锥曲线中的最值与范围问题
例4-1、已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案 (0，－1) 解析 设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2．当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
例4-2、已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A． B．3 C． D．2
答案 C 解析 抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝．
例4-3、已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
答案 解析 因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为．
例4-4、已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．
答案 3 解析 如图，在Rt△QPF中，·＝||||cos∠PFQ＝||||＝||2＝||2－1．由抛物线的定义知：||＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴||min＝2，∴·的最小值为3．
例4-5、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0，1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，则t的最大值为( )
A． B． C．2 D．
答案 B 解析 由平面几何知识可得|BD|＝|AC|＝，所以e1＝，e2＝，所以e1e2＝1．因为e1＋e2＝e1＋＝＋在x∈(0，1)上单调递减，所以e1＋e2＞＋＝．因为对任意x∈(0，1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，所以t≤，即t的最大值为．
例4-6、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
答案 解析 由题意，得△ABF2的周长为32，∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，∴＝32－4a，∴b＝(0
例4-7、抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，又x1＋x2＋4＝|AB|，得|AF|＋|BF|＝，|AB|，所以|AB|＝(|AF|＋|BF|)．所以cos∠AFB＝＝＝＝－≥×2－＝－，而0＜∠AFB＜π，所以∠AFB的最大值为．
例4-8、已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
答案 解析 法一：设直线lAB：x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y2－my－t＝0，∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t，∵点A，B位于x轴两侧，∴y1y2＝－t<0，∴t>0．又·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝t2－t＝2，解得t＝2或t＝－1(舍去)．∴S△AFO＋S△BFO＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝≥，∴△AFO与△BFO面积之和的最小值为．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．∴S△AFO＋S△BFO＝|y1－y2|＝＝ ≥＝．
例4-9、如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3，0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )
A．[4，5] B．[7，8] C．[6，7] D．[5，6]
答案 B 解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F(3，0)，圆(x－3)2＋y2＝16的圆心为E(3，0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得(x－3)2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7，8]，故选B．
例4-10、已知点P是椭圆＋＝1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若点M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．
答案 (0，4) 解析 解法一：由椭圆的对称性，只需研究动点P在第一象限内的情况，当点P趋近于椭圆的上顶点时，点M趋近于点O，此时|OM|趋近于0；当点P趋近于椭圆的右顶点时，点M趋近于点F1，此时|OM|趋近于＝4，所以|OM|的取值范围为(0，4)．
解法二：如图，延长PF2，F1M，交于点N，∵PM是∠F1PF2的角平分线，且F1M⊥MP，
∴|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，又O为F1F2的中点，∴|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝(|PF1|－|PF2|)，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|OM|＝．|2|PF1|－10|＝|PF1－5|，又|PF1|∈(1，5)∪(5，9)，∴|OM|∈(0，4)，故|OM|的取值范围是(0，4)．
题型四、圆锥曲线中的距离与面积问题
例5-1、如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C． D．
答案 C 解析 [一般解法] 如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝．故选C．
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝．
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝．
例5-2、已知P为椭圆C：＋＝1上的一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若|PF1|·|PF2|＝，则d＝________．
答案 解析 法一：因为点P在椭圆上，所以有|PF1|＋|PF2|＝4，又因为|PF1|·|PF2|＝，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝，所以有sin∠F1PF2＝，所以△F1PF2的面积为S＝××＝×2×yp，解得yp＝，因为点P在椭圆上，所以xp＝．所以过该点的椭圆的切线方程为＋＝1，即为x＋y＝．所以原点O到直线的距离为d＝＝．
法二：设P(m，n)，则切线方程为＋＝1，即3mx＋4ny－12＝0．所以原点O到该切线的距离d＝．因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋＝1，所以有n2＝3－，所以d＝．因为|PF1||PF2|＝，所以有 ＝，即有 ＝4－m2＝，解得16－m2＝，所以d＝＝．
例5-3、如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则＝( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 由题意以及选项的值可知：是常数，取M为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N在x的正半轴上，如图：则A1(0，2)，A2是(0，－2)，M(－3，0)，由OM·ON＝OA，可得ON＝，则＝＝＝＝，故选C．
例5-4、已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
答案 2 解析 法一：由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1．由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2．
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝．取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2．
例5-5、过点P(2，－1)作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则△PEF与△OAB的面积之比为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 解法1 设过P点的直线方程为y＝k(x－2)－1，代入x2＝4y可得x2－4kx＋8k＋4＝0，令Δ＝0，可得16k2－4(8k＋4)＝0，解得k＝1±．∴直线PA，PB的方程分别为y＝(1＋)(x－2)－1，y＝(1－)·(x－2)－1，分别令y＝0，可得E(＋1，0)，F(1－，0)，即|EF|＝2．∴S△PEF＝×2×1＝，易求得A(2＋2，3＋2)，B(2－2，3－2)，∴直线AB的方程为y＝x＋1，|AB|＝8，又原点O到直线AB的距离d＝，∴S△OAB＝×8×＝2．∴△PEF与△OAB的面积之比为．故选C．
解法2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点A，B处的切线方程为x1x＝2(y＋y1)，x2x＝2(y＋y2)，所以E，F，即E，F，因为这两条切线都过点P(2，－1)，则所以lAB：x＝－1＋y，即lAB过定点(0，1)，则＝＝．
例5-6、已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作，，垂足分别为，，且与轴交于点，
作，，垂足分别为，，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可
【详解】如图，作，，垂足分别为，，且与轴交于点，
作，，垂足分别为，.
设，则，，故.
因为，所以，
所以.因为，所以，
所以，则.
因为为的中点，且轴，
所以为的中点，即.
因为，
所以，所以，所以，
故.
故选：C
例5-7、已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．
【答案】
【分析】
根据题目中对周长中点的定义，可以列出图像中各线段之间的关系，将两式相加，相减，得到与双曲线定义，焦距相关的式子，结合三角形的面积公式，即可求解
【详解】
解：由题意作出图形，
设双曲线的焦距为,根据题意可得：
,①
,②
①②得：，即
所以，所以：
①②得：
所以,
所以, ,
所以当时, 的面积取最大值,
所以,
所以,
故答案为: .
题型五、圆锥曲线综合问题
例6-1、已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案 解析 法一：依题意，设点P(m，n)(n>0)，由题意知F(－2，0)，所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，所以2＋2＝4，①．又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，②．联立①②，消去n，得4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，n＝，所以kPF＝＝．
法二：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2．因为M为PF的中点，所以|MF|＝1．在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝．
例6-2、如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．
答案 1＋ 解析 法一：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝，sin∠F2F1A＝，所以A，将点A的坐标代入双曲线得－＝1，化简得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2＞0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋．
法二：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4．连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cos∠F2F1A＝．在△AF1F2中，由余弦定理得，cos∠F2F1A＝＝，所以c2－3＝2b，又在双曲线中，c2＝1＋b2，所以b2－2b－2＝0，解得b＝1±(负值舍去)，即b＝1＋．
例6-3、在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x 解析 法一 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋＋yB＋＝4× yA＋yB＝p，由可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝＝p，解得a＝b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±x．
法二 (点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p．易知直线AB的斜率kAB＝＝eq \f(\f(x,2p)－\f(x,2p),x2－x1)＝．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))得kAB＝＝＝·，则·＝，所以＝ ＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．
例6-4、已知抛物线的焦点到准线的距离为，点在抛物线上，点在圆上，直线分别与圆仅有1个交点，且与抛物线的另一个交点分别为，若直线的倾斜角为，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【详解】由抛物线的焦点到准线的距离为，可得，
所以抛物线的方程为，
又由，可得圆心坐标为，半径，
设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得方程为，即，即，
则圆心到直线的距离为，
整理得，可得，
联立方程组 ，可得，
即，所以，
所以，
因为直线的倾斜角为，所以
可得，
解得或.
故选：C.
例6-5、已知双曲线的左右焦点为，，过的直线交双曲线于M，N两点在第一象限），若与的内切圆半径之比为3：2，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设圆与的三边的切点分别为，如图，
令，，，
根据双曲线的定义可得，化简得，
由此可知，在中，轴于，同理轴于，
轴过圆心作的垂线，垂足为，易知直线的倾斜角与大小相等，不妨设圆的半径，设圆的半径，则，，所以根据勾股定理，，所以，；
故选：B
例6-6、已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M Q，则的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
【答案】A
【分析】
由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；
【详解】
由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，
直线方程为，令，解得：，；
以为直径的圆的圆心为，且．
连接，
在以为直径的圆上，，，
；
为双曲线上一点，且，，；
故选：A
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