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高中数学重难点突破
专题十一 圆锥曲线的离心率
知识归纳
椭圆离心率的性质：
双曲线离心率的性质：
双曲线的离心率e，反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解.
典例分析
一、五组秒杀公式模型
第1组秒杀公式
(1)e椭圆＝＝；
(2)e双曲线＝＝＝＝ (其中α与k为渐近线的倾斜角与斜率)
【例1-1】双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为( )
A．2 B． C．2 D．2
答案 C 解析 秒杀 ∵渐近线的斜率为±．∴e＝＝2．
通法 由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即＝，所以双曲线的离心率为e＝＝＝＝2，故选．
【例1-2】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C．或 D．或2
答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为．∴e＝＝．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为．∴e＝＝2．故选D．
通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴＝tan 30°＝或＝tan 60°＝．由＝，得＝＝e2－1＝，∴e＝(舍负)；由＝，得＝＝e2－1＝3，∴e＝2(舍负)．故选D．
【例1-3】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 秒杀 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝．故选A．
【例1-4】(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
答案 2 解析 秒杀 由＝，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为．∴e＝＝2．
通法一：由＝，得A为F1B的中点．又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．如图所示，不妨设B为．∵点B在直线y＝－x上，∴＝，∴离心率e＝＝2．
通法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，－b)，F2(c，0)．又∵＝，∴A为F1B的中点．∴OA∥F2B，∴＝，∴c＝2a，∴离心率e＝＝2．
第2组秒杀公式
(1)e椭圆＝＝＝＝．
(2)e双曲线＝＝＝＝．
【例2-1】(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－ C． D．－1
答案 D 解析 秒杀 e＝＝＝＝＝－1．
通法 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1．
【例2-2】已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B． C． D．2
答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e＝＝＝＝＝＝．故选A．
通法 因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义，得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．故选A．
【例2-3】如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2 B．4 C．2 D．2
答案 A 解析 秒杀 连接AF2，椭圆C1的离心率e1＝＝＝－1．双曲线C2的离心率e2＝＝＝＋1．∴e＋e1＝2．
通法 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴A，代入椭圆方程＋＝1，结合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0
【例2-4】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，
若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 秒杀 由已知△F1PF2是直角三角形，∠F2PF1＝90°，sin∠PF1F2＝，∠PF2F1＝，∴e＝＝＝eq \f(1,|－|)．即＝2，所以e＝＝．故选C．
通法 如图，直线PF2的方程为y＝－(x－c)，设直线PF2与直线y＝x的交点为N，易知N．又线段PF2的中点为N，所以P．因为点P在双曲线C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝．故选C．
【例2-5】椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．－1
答案 D 解析 秒杀 设F1是椭圆C的右焦点，连接AF1，AF．由已知△F1AF是直角三角形，∠FAF1＝90°，∠AF1F＝60°，∠AFF1＝30°，e＝＝－1．故选D．
通法 设F(－c，0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则解得m＝，n＝c，代入椭圆方程可得＋＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1．故选D．
第3组秒杀公式
(1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－＝e2－1．
(2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例3-1】(2015·全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B．2 C． D．
答案 D 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴1＝e2－1．∴e＝．故选D．
通法 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为．∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝．故选D．
【例3-2】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为－，则C的离心率是( )
A． B． C． D．
答案 C 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴－＝e2－1．∴e＝．故选C．
通法 设P(x1，y1)，Q(－x1，－y1)，A(a，0)．所以kAP·kAQ＝·＝eq \f(y,x－a2)，又因为eq \f(x,a2)＋eq \f(y,b2)＝1 y＝eq \f(b2（a2－x）,a2)，所以kAP·kAQ＝－，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝＝，故选C．
【例3-3】已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4 C． D．10
答案 A 解析 秒杀 ∵k1·k2＝e2－1．∴3＝e2－1．∴e＝2．故选A．
通法 设A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|≠|x1|)，则B(－x1，－y1)，则kPA·kPB＝·＝．因为点P，A在双曲线C上，所以b2x－a2y＝a2b2，b2x－a2y＝a2b2，两式相减可得＝，故＝3，于是b2＝3a2．又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝＝2．故选A．
【例3-4】设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2＜，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 秒杀 k1·k2＝e2－1．∴e2－1＜，解得1＜e＜．故选B．
通法 设M(x0，y0)，A1(0，－a)，A2(0，a)，则kM A1＝，kM A2＝，所以kM A1·kM A2＝＞2 (*)．又点M(x0，y0)在双曲线－＝1上，所以y＝a2，代入(*)式化简得＞2，所以＜，所以＝e2－1＜，解得1＜e＜．故选B．
第4组秒杀公式
(1)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－＝e2－1．
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例4-1】过点M(1，1)作斜率为－的直线l与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0) 相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
答案 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝．
通法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．∴＝－＝，∴a2＝3b2．∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝．
【例4-2】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B． C． D．
答案 B 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．∴e＝．故选B．
通法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12,15)，则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由两式相减得，＝，则＝＝，由直线AB的斜率k＝＝1，所以＝1，则＝，双曲线的离心率e＝＝ ＝，所以双曲线C的离心率为．故选B．
第5组秒杀公式
过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)
【例5-1】倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 秒杀 由题可知，，所以e＝，故选B．
通法 由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，所以(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又＝2，所以(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)，所以－y1＝2y2，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y2＝\f(－2b2c,a2＋b2),－2y＝\f(－b4,a2＋b2)))，所以＝，所以e＝，故选B．
【例5-2】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若＝3，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 秒杀 由题可知，，即，即所以e＝＝，故选B．
通法 由题意得直线l的方程为x＝y＋c，不妨取a＝1，则x＝by＋c，且b2＝c2－1．将x＝by＋c代入x2－＝1，(b＞0)，得(b4－1)y2＋2b3cy＋b4＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝．由＝3，得y1＝－3y2，所以，得3b2c2＝1－b4，解得b2＝，所以c＝＝＝，故该双曲线的离心率为e＝＝，故选A．
【例5-3】设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 秒杀 设|F1B|＝k，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cos∠AF2B＝，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，，即，所以e＝，故选D．
通法 设|F1B|＝k，依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cos∠AF2B＝，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．∴c＝a，椭圆的离心率e＝＝．
【例5-4】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．
答案 解析 秒杀 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝．由题可知，，即，所以e＝．
通法 如图，不妨设点B是椭圆短轴的上端点，则点D在第四象限内，设点D(x，y)．由题意得△F1BD为等腰三角形，且|DF1|＝|DB|．
由椭圆的定义得|DF1|＋|DF2|＝2a，|BF1|＝|BF2|＝a，又|DF1|＝|DB|＝|DF2|＋|BF2|＝|DF2|＋a，∴(|DF2|＋a)＋|DF2|＝2a，解得|DF2|＝．作DE⊥x轴于E，则有|DE|＝|DF2|sin∠DF2E＝|DF2|sin∠BF2O＝×＝，|F2E|＝|DF2|cos∠DF2E＝|DF2|cos∠BF2O＝×＝，∴|OE|＝|OF2|＋|F2E|＝c＋＝，∴点D的坐标为．又点D在椭圆上，∴＋＝1，整理得3c2＝a2，所以e＝＝．
二、建立f(a，b，c)＝0模型
1．f(a，b，c)＝0型(明显)
所谓明显型就是题目中有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解．
【例6-1】(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意＝b，且a2＝b2＋c2，得b2c2＝b2a2，所以e＝＝．
【例6-2】(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴点P坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过点A，且斜率为的直线上，∴＝，解得＝，∴e＝，故选D.
【例6-3】(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若＝，则C的离心率为( )
A． B．2 C． D．
答案 C 解析 方法一：设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0，由可得P，由F1(－c，0)及|PF1|＝|OP|，得＝×，化简可得3a2＝c2，即e＝．
方法二：因为|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a，在Rt△POF2中，设∠PF2O＝θ，则有cosθ＝＝；∵在△PF1F2中，cosθ＝＝，∴＝ b2＋4c2－6a2＝4b2 4c2－6a2＝3c2－3a2 c2＝3a2 e＝．
【例6-4】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的离心率为________．
答案 解析 设右焦点F(c，0)，渐近线OM，ON的方程分别为y＝x，y＝－x．不失一般性，设过F的垂线为x＝－y＋c．由得yN＝．由得yM＝．因为2＝，所以－2yM＝yN，即＝，易解得＝，所以e＝ ＝＝．
2．f(a，b，c)＝0型(隐含)
所谓隐含型就是题目中没有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，利用图形中存在的几何特征掘几何关系，运用点在曲线上或垂直关系或用余弦定理等，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解．
【例7-1】过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且＝3，若OM⊥FN，则C的离心率为( )
A．2 B． C．3 D．
答案 B 解析 设双曲线的右焦点为F′，取MN的中点P，连接F′P，F′M，F′N，如图所示，由＝3，可知|MF|＝|MP|＝|NP|．又O为FF′的中点，可知OM∥PF′．∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN．∴PF′为线段MN的垂直平分线．∴|NF′|＝|MF′|．设|MF|＝t，由双曲线定义可知|NF′|＝3t－2a，|MF′|＝2a＋t，则3t－2a＝2a＋t，解得t＝2a．在Rt△MF′P中，|PF′|＝＝＝2a，∴|OM|＝|PF′|＝a．在Rt△MFO中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，∴4a2＋3a2＝c2 e＝．故选B．
【例7-2】设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝．故选B．
【例7-3】已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q．若|AQ|＝，则双曲线E的离心率是( )
A．2 B． C． D．
答案 C 解析 如图，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M．依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝2，即a＝．因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线E的离心率是e＝＝＝，故选C．
【例7-4】在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足＝2，△PAB的面积最大值为，△PCD面积的最小值为，则椭圆的离心率为________．
答案 解析 依题意A(－a，0)，B(a，0)，设P(x，y)，依题意得|PA|＝2|PB|，＝2，两边平方化简得2＋y2＝2，故圆心为，半径r＝．所以△PAB的最大面积为·2a·a＝，解得a＝2，△PCD的最小面积为·2b·＝b·＝，解得b＝1．故椭圆的离心率为e＝＝＝．
【例7-5】已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 解法一：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a，0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝．
解法二：如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a，0)，F(－c，0)．
由PF⊥x轴得P(－c，)．设E(0，m)，又PF∥OE，得＝，则|MF|＝，①．又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝，②．由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝，故选A．
【例7-5】设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，根据正弦定理＝＝2R，∴R＝c，∵R＝4r，∴r＝c，由余弦定理，2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，可得|PF1||PF2|＝，则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得·c＝·，∴e＝＝．
【例7-6】已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为l，圆C：(x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )
A． B． C． D．
答案 D 解析 取双曲线渐近线为y＝x，圆(x－a)2＋y2＝8的圆心为(a，0)，半径r＝2，由题意知∠ACB＝，由勾股定理得|AB|＝＝4，又由＝5得|OA|＝|AB|＝1，在△OAC和△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝=，解得a2＝13．根据圆心到直线y＝x的距离为2，有＝2，结合c2＝a2＋b2，解得c＝，故离心率为＝＝．故选D．
【例7-7】已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A．－1 B．－1 C． D．
答案 B 解析 法一：由抛物线方程知A(0，－1)，过点P作PB垂直准线于点B，如图．由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，则|PA|＝m|PF|＝m|PB|，即m＝＝．若m最大，则sin∠PAB最小，此时直线PA与抛物线相切．设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y得x2＝4kx－4，即x2－4kx＋4＝0，令Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，可得P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2＋2，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝－1，故选B．
法二：过点P作PB垂直准线于点B．设P(x，y)．因为A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，所以A(0，－1)，F(0，1)，则m＝＝＝＝.当y＝0时，m＝1；当y>0时，m＝＝≤＝，当且仅当y＝1时取等号．当m取得最大值时，P(±2，1)，B(±2，－1)，所以|PF|＝|PB|＝|AB|＝2，所以|PA|＝2．因为点P在以A，F为焦点的椭圆上，所以2c＝|AF|＝2，2a＝|PA|＋|PF|＝2＋2，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝－1，故选B．
【例7-8】已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
答案 A 解析 如图，连接PF2，QF2．由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝＝，故选A．
三、离心率范围(最值)模型
解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解．
【例8-1】过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 将x＝c代入－＝1得y＝±，不妨取A，B，所以|AB|＝．将x＝c代入双曲线的渐近线方程y＝±x，得y＝±，不妨取C，D，所以|CD|＝．因为|AB|≥|CD|，所以≥×，即b≥c，则b2≥c2，即c2－a2≥c2，即c2≥a2，所以e2≥，所以e≥，故选B．
【例8-2】已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，可得2c＝2，短半轴的长：，椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，可得×2×>，可得m2－4m＋3<0，解得m∈(1，3)，则椭圆C的离心率为：e＝∈．
【例8-3】已知椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
思路点拨 在△PF1F2中，使用正弦定理建立|PF1|，|PF2|之间的数量关系，再结合椭圆定义求出|PF2|，利用a－c<|PF2|答案 (－1，1) 解析 根据已知条件∠PF1F2，∠PF2F1都不能等于0，即点P不会是椭圆的左、右顶点，故P，F1，F2构成三角形，在△PF1F2中，由正弦定理得＝，则由已知，得＝，即|PF1|＝|PF2|，①．根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，②．由①②解得，|PF2|＝＝，因为a－c<|PF2|0，即e2＋2e－1>0，解得e<－－1或e>－1，又e∈(0，1)，故椭圆的离心率e∈(－1，1)．
【例8-4】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________．
答案 2 解析 因为过右焦点F的直线与双曲线C交于A，B两点，且＝3，故点A在双曲线的左支上，B在双曲线的右支上，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，即3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，故e≥2，所以双曲线C的离心率的最小值为2．
【例8-5】已知双曲线方程为－＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，] B．[，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞)
答案 A 解析 过焦点的最短弦长有可能是2a或是过焦点且垂直于长轴所在直线的弦长为＝，a2＝m2＋4≥4，2a≥4>2，所以过焦点的最短弦长为＝=2，即b2＝≥2，e＝=＝＝，0<≤，所以1<1+≤，1<≤，即e∈(1，]．
【例8-6】已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 方法1 不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为．
方法2 A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2，所以椭圆C的离心率的最大值为＝．故选A．
【例8-7】已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案 解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a．又|PF1|＝6|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a．当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－e2，即e2＝－cos∠F1PF2．∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈．当P，F1，F2三点共线时，∵|PF1|＝6|PF2|，∴e＝＝，综上，e的最大值为．还可用三角形两边之和大于第三边构造不等式．
【例8-8】已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若1·1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(，＋1) B．(1，＋1) C．(1，) D．(，＋∞)
答案 B 解析 设F1(－c，0)，F2(c，0)，依题意可得－＝1，得到y＝，不妨设M，N，则1·1＝·＝4c2－＞0，得到4a2c2－(c2－a2)2＞0，即a4＋c4－6a2c2＜0，故e4－6e2＋1＜0，解得3－2＜e2＜3＋2，又e＞1，所以1＜e2＜3＋2，解得1＜e＜1＋．
【例8-9】已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[，＋] B．[2，＋1] C．[2，＋] D．[，＋1]
答案 D 解析 如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝4c2②，
由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF，∴r1r2＝2·c2·sin 2β，∴c2－a2＝c2·sin 2β，∴e2＝，又∵β∈，∴sin 2β∈，∴e2＝∈[2，(＋1)2]．又e>1，∴e∈[，＋1]．
【例8-10】已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 设P(x，y)，则＋＝1(a>b>0)，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－
y)，＝(c－x，－y)．所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2．因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2．所以b2－c2≤c2≤b2，所以2c2≤a2≤3c2，所以≤≤．故选B．
【例8-11】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使＝，该椭圆的离心率的取值范围为 ．
答案 (－1，1) 解析 由＝得＝．又由正弦定理得＝，所以＝，即|PF1|＝|PF2|．又由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝，|PF1|＝，因为PF2是△PF1F2的一边，所以有2c－<<2c＋，即c2＋2ac－a2>0，所以e2＋2e－1>0(0【例8-12】过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 A 解析 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，则圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0＜e＜1，所以0＜e≤．故选A．
【例8-13】已知双曲线E：－=1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，] C．[，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B 解析 由题意得，A(a，0)，F(2a，0)，设P(x0，x0)，由⊥，得·=0
－3ax0＋2a2=0，因为在E的渐近线上存在点P，则Δ≥0，即9a2－4×2a2×≥0 9a2≥8c2 e2≤ e≤，又因为E为双曲线,则1【例8-14】已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，2) C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 D 解析 由题意，圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±，因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，所以>，所以1＋>4，所以e>2．
【例8-15】已知双曲线C1：－＝1与圆C2：x2＋y2＝b2(其中a>0，b>0)，若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．
答案 解析 由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|＝b；
因为|OP|＝b≥a，所以≥，所以e＝＝＝≥ ＝；所以双曲线离心率e的取值范围是．故答案为：．
五、共焦点椭圆、双曲线模型
秒杀结论 已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则
Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|MF2|＝a－m；Ⅱ．eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1．
【例9-1】已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝( )
A． B．2 C． D．4
答案 B 通解 以AC边所在的直线为x轴，AC中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为＋＝1，设双曲线方程为－＝1，焦距都为2c，不妨设|AB|>|BC|，椭圆和双曲线都过点B，则|AB|＋|BC|＝2a1，|AB|－|BC|＝2a2，所以|AB|＝a1＋a2，|BC|＝a1－a2，又因为△ABC为直角三角形，|AC|＝2c，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即a＋a＝2c2，所以＋＝2，即＋＝2．故选B．
秒杀 由已知＝，又由eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1，得＋＝2．故选B．
【例9-2】中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线的离心率e2的范围是( )
A． B． C． D．(2，3)
答案 C 秒杀 设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，设双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝2c，a－m＝3，所以m＝2c－a，又e2＝＝＝，因为e1∈，所以∈，所以e2∈.
【例9-3】已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为( )
A．6 B．3 C． D．
答案 A 通解 设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知
∴2a＝2a′＋4c，∴＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A．
秒杀 设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，根据题意，a－m＝2c，∴a＝m＋2c，∴＋＝＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2m时取“＝”，故选A．
【例9-4】如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2 B．4 C．2 D．2
答案 A 通解 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴A，代入椭圆方程＋＝1，结合b2＝a2－c2及e＝，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0秒杀 设椭圆方程为：＋＝1(a>b>0)，双曲线方程为－＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝1，|AF2|＝，|F1 F2|＝2，则a＋m＝，a－m＝１，∴e＋e1＝＋＝＝2．故选A．
同步练习
1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
1．答案 D 解析 秒杀 由题意，∴e＝＝．
通法 不妨设点M，N在x轴的上方，把x＝c代入渐近线的方程y＝x，得y＝．因为四边形MNF2F1为正方形，所以＝2c，所以b＝2a，由此可得c＝a．所以该双曲线的离心率e＝＝．故选D．
2．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
2．答案 C 解析 秒杀 依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝，∴e＝＝2．选C．
通法 依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则由双曲线的对称性得3θ＝π，θ＝，＝tan＝，双曲线C的离心率e＝＝2，选C．
3．设F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是( )
A． B． C．4 D．2
3．答案 B 解析 秒杀 由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，可知a2＝b2．∴a2＝b2，e＝＝．
通法 由|F1F2|＝2|OP|可知|OP|＝c，所以△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2．由S＝a2可知|PF1||PF2|＝2a2，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2．∴(|PF1|－|PF2|)2＝－2|PF1||PF2|＋|F1F2|2，即4a2＝－4a2＋4c2，∴e2＝＝＝2，又e＞1，∴e＝，故选B．
4．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过C，D两点，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C． D．+1
4．答案 D 解析 秒杀 因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2，AD＝BC＝2，∴e＝＝＝＝＝＋1．故选C．
通法 因为AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，所以DB＝2，AD＝BC＝2，则由双曲线的定义可得2a＝|DB|－|DA|＝2－2，2c＝|AB|＝4，即－1＝a，c＝2，故双曲线的离心率是e＝＝＝＝+1．故选D．
5．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|
＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A． B． C． D．
5．答案 C 解析 秒杀 设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，∠FPF1＝60°，∠F1FP＝30°，∴e＝＝＝＝＝．故选C．
通法 设F1是椭圆E的右焦点，连接PF1，QF1．根据对称性，线段FF1与线段PQ在点O处互相平分，所以四边形PFQF1是平行四边形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝a，|PF|＝a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝2＋2－2×a×a×cos60°，得＝，所以椭圆E的离心率e＝＝．故选C．
6．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
6．答案 B 解析 秒杀 由题可知，，即，所以e＝，故选B．
通法 延长AF交椭圆于点B，设椭圆左焦点为F′，连接AF′，BF′．根据题意|AF|＝＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝．根据椭圆定义|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝．在△AFF′中，由余弦定理得cos∠F′AF＝＝．在△AF′B中，由余弦定理得cos∠F′AB＝＝，所以＝，解得a＝c，所以椭圆离心率为e＝＝．故选B．
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
7、答案 C 解析 如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，∵点P到直线l∶4x＋3y＝0的距离不小于，∴≥，解得b≥2．∴c≤＝，∴0<≤．∴椭圆E的离心率范围是．故选C．
8．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
8、答案 C 解析 如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c．∴a－c≤2c＜a＋c．∴e＝∈．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M(1，)，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
9、答案 B 解析 秒杀 由题意得，k0·k＝e2－1．即，∴e＝．故选B．
通法 因为FP的斜率为－，FP∥l，所以直线l的斜率为－．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1))得eq \f(y,b2)－eq \f(y,b2)＝－(eq \f(x,a2)－eq \f(x,a2))，即＝－．因为AB的中点为M(1，)，所以－＝－，所以a2＝2bc，所以b2＋c2＝2bc，所以b＝c，所以a＝c，所以椭圆的离心率为，故选B．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使得△PF1F2的内心I与重心G满足IG∥F1F2，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
10、答案 D 解析 设P(x0，y0)，又F1(－c，0)，F2(c，0)，则△PF1F2的重心G．因为IG∥F1F2，所以△PF1F2的内心I的纵坐标为．即△PF1F2的内切圆半径为．由△PF1F2的面积S＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)r，S＝|F1F2||y0|及椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a，得(2a＋2c)＝×2c|y0|，解得e＝．故选D．
11．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(0，－1) C．(－1，1) D．(－1，＋1)
11、答案 C 解析 由题意可知，A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以＋＝1，从而可得y＝±，不妨令A，B．由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2<45°，所以tan ∠AF1F2<1，所以tan∠AF1F2＝＝<1，故<1，即e2＋2e－1>0，解得e>－1或e<－－1，又因为椭圆中，012．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
12、答案 B 解析设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，所以013．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得
＝，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B． C． D．(－1，1)
13、答案 D 解析在△MF1F2中，＝，而＝，∴＝
＝，①．又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∴|MF1|＋|MF2|＝2a，②．由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝．显然|MF2|＞|MF1|，∴a－c＜|MF2|＜a＋c，即a－c＜＜a＋c，整理得c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，又0＜e＜1，∴－1＜e＜1，故选D．
14．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
14、答案 A 解析 令双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c＝．如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝，由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得＋＝a2，∴＝，即离心率e＝．故选A．
15．以双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点，与y轴交于P，Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C．2 D．
15．答案 B 解析 设圆M与双曲线C相切于点F(c，0)，则MF⊥x轴，于是可设M(c，t)(t＞0)，代入双曲线方程中解得t＝，所以|MF|＝，所以|PQ|＝2．因为△MPQ为等边三角形，所以c＝×2，化简，得3b4＝4a2c2，即3(c2－a2)2＝4a2c2，亦即3c4－10c2a2＋3a4＝0，所以3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝或e2＝3，又e＞1，所以e＝．
16．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
16、答案 B 解析 设P(x，y)，则＋＝1(a>b>0)，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－
y)，＝(c－x，－y)．所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2．因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2．所以b2－c2≤c2≤b2，所以2c2≤a2≤3c2，所以≤≤．故选B．
17．已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝2c．若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A． B． C．(1，2) D．
17、答案 A 解析 根据正弦定理可知＝，所以＝，即|PF2|＝|PF1|，＝2a，所以＝2a，解得＝，而>a＋c，即>a＋c，整理得3e2－4e－1<0，解得1，所以118．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)(c>0)，过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若＝2－，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
18、答案 B 解析 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F2(c,0)，∵＝2－，∴2＝＋，∴A是BF1的中点，∵过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，∴OA⊥BF1，∵O是F1F2的中点，∴OA∥BF2，∴BF1⊥BF2，|BF2|＝a，∴|BF1|2＝|F1F2|2－|BF2|2＝4c2－a2，∵|BF1|＝2a＋|BF2|＝3a，∴9a2＝4c2－a2，∴10a2＝4c2，∴e＝，故选B．
19．设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B
两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
19、答案 D 解析 设线段AB的中点为D，连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1．设|OD|＝t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF．因为|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6，根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|＝2a，∴6＋2t＝2a，解得t＝或t＝0(舍去)．所以|PF|＝，|PF1|＝．在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，即2＋2＝(2c)2，得＝，所以椭圆C的离心率e＝＝．
20．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．3
20、答案 B 解析 取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，∴|AF2|＝2a，∵|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋2c，∴|PA|＝·|PF1|＝a＋c，则在Rt△APF2中，4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得(3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为．
21．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M，N分别为AF2，BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．＋ D．－
21、答案 C 解析 设双曲线的焦距为2c，MN与x轴交于点H，如图可知，OH＝＝＝，所以
AB＝2c，由可得x＝± ，所以AB＝6 ＝2c，所以有18a2c2－9a4＝c4，解得e2＝9＋6，所以离心率e＝＋，故选C．
22．已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4e＋e的最小值是( )
A． B． C． D．
22、答案 C 秒杀 由已知＝，又由eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1，得eq \f(1,e)＋eq \f(1,e)＝2，4e＋e＝(4e＋e)(eq \f(1,e)＋eq \f(1,e))＝＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,e12)＋\f(4e12,e)))≥ (当且仅当e＝2e时取等号)，故选C．
23．已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)与C2：px2－qy2＝1(p>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率为，则C2的离心率为( )
A． B． C． D．
23、答案 B 通解 C1：＋＝1，C2：－＝1．设a1＝，a2＝，MF1＝s，MF2＝t，由椭圆的定义可得s＋t＝2a1，由双曲线的定义可得s－t＝2a2，解得s＝a1＋a2，t＝a1－a2，由∠F1MF2＝90°，运用勾股定理，可得s2＋t2＝4c2，即为a＋a＝2c2，由离心率的公式可得，＋＝2，∵e1＝，∴e＝，则e2＝，故选B．
秒杀 由已知＝，又由eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1，得＋＝2，∵e1＝，∴e＝，则e2＝，故选B．
24．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
24、答案 －1 2 解析 秒杀 双曲线N的离心率e1＝＝2．椭圆M的离心率e2＝＝＝－1．
通法一：如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±x，∴＝tan 60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2．由得x2＝．设D点的横坐标为x，由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2．∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，∴3－－2＝0，解得＝2－3．∴椭圆M的离心率e＝1－＝4－2．∴e2＝－1．
通法二：∵双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝．又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2．如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1．又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋＝2a，a＝．∴椭圆M的离心率为＝＝－1．
25．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
25、答案 解析 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所
夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20即e2＋e－1>0，e>或e<，又026．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为 ．
26、答案 解析 秒杀 如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|．tan∠F1F2A＝，则cos2∠F1F2A＝．，即，化为：a2＝5c2，解得e＝．
通法 如图所示，因为S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝2|F2C|．A(－c，)，直线AF2的方程为：y－0＝(x－c)，化为：y＝(x－c)，代入椭圆方程＋＝1(a>b>0)，可得：(4c2＋b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，所以xC·(－c)＝，解得xC＝．因为＝2，所以c－(－c)＝2(－c)，化为：a2＝5c2，解得e＝．
27． 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
27、答案 解析 由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴＝c＋a，－，＝c－a，－，由∠BFC＝90°，可得·＝0，所以＋2＝0，c2－a2＋b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以＝，则e＝＝．
28．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－，则该椭圆的离心率为________．
28、答案 解析 因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B和F1点坐标分别为(a，0)，(0，b)，(－c，0)，
所以直线BF1的方程是y＝x＋b，OT的方程是y＝－x．联立解得T点坐标为，直线AT的斜率为－．由AT⊥BF1得，－×＝－1，∴3b2＝4ac＋c2，∴3(a2－c2)＝4ac＋c2，∴4e2＋4e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝．
29．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.
29．答案 (1，) 解析 由过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得<2．∴e＝＝<＝，∵e>1，∴130．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为________．
30、答案 解析 如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，
设|PF1|＝m，则|PM|＝m，|MF1|＝m．又|PF1|＋|PM|＋|MF1|＝4a＝3m．∵|PF1|＝a，|PF2|＝a．由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ＝|F1F2|2，∴a2＝3c2，e＝＝．
31．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A
与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
31、答案 解析 双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝．又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝．
32．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一
个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．
32、答案 (1，)∪(，＋∞) 解析 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，令x＝－
c，可得y＝±b＝±，设A，B，D(0，b)，可得＝，＝，＝，若∠DAB为钝角，则·<0，即0－·<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2，可得c2<2a2，即e＝<，又e>1，可得10，由e＝，可得e4－4e2＋2>0，又e>1，可得e>；
又·＝>0，∴∠DBA不可能为钝角．综上可得，e的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．
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高中数学重难点突破
专题十一 圆锥曲线的离心率
知识归纳
椭圆离心率的性质：
双曲线离心率的性质：
双曲线的离心率e，反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大,这可以从离心率对渐近线斜率的影响上得以理解.
典例分析
一、五组秒杀公式模型
第1组秒杀公式
(1)e椭圆＝＝；
(2)e双曲线＝＝＝＝ (其中α与k为渐近线的倾斜角与斜率)
【例1-1】双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则E的离心率为( )
A．2 B． C．2 D．2
【例1-2】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C．或 D．或2
【例1-3】(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【例1-4】(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．
第2组秒杀公式
(1)e椭圆＝＝＝＝．
(2)e双曲线＝＝＝＝．
【例2-1】(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－ C． D．－1
【例2-2】已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B． C． D．2
【例2-3】如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2 B．4 C．2 D．2
【例2-4】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
【例2-5】椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．－1
第3组秒杀公式
(1)若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－＝e2－1．
(2)若直线y＝kx与双曲线E交于A，B两点，P为双曲线上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例3-1】(2015·全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B．2 C． D．
【例3-2】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，过原点O的直线l与C交于点P，Q，且直线AP与直线AQ的斜率之积为－，则C的离心率是( )
A． B． C． D．
【例3-3】已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足kPA·kPB＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4 C． D．10
【例3-4】设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2＜，则双曲线C的离心率e的取值范围为( )
A． B． C． D．
第4组秒杀公式
(1)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－＝e2－1．
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与双曲线E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝＝e2－1．
注：当焦点在y轴上时a，b对调．
【例4-1】过点M(1，1)作斜率为－的直线l与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0) 相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．
【例4-2】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B． C． D．
第5组秒杀公式
过椭圆或双曲线的焦点F作倾斜角为θ直线与椭圆或双曲线相交A、B两点，且＝λ，则有．(其中θ为直线的倾斜角，F在线段AB上)
【例5-1】倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【例5-2】已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若＝3，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【例5-3】设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为( )
A． B． C． D．
【例5-4】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，B是短轴的一个端点，线段BF2的延长线交椭圆C于点D，若△F1BD为等腰三角形，则椭圆C的离心率为________．
二、建立f(a，b，c)＝0模型
1．f(a，b，c)＝0型(明显)
所谓明显型就是题目中有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解．
【例6-1】(2016·全国Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【例6-2】(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【例6-3】(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若＝，则C的离心率为( )
A． B．2 C． D．
【例6-4】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若2＝，则双曲线的离心率为________．
2．f(a，b，c)＝0型(隐含)
所谓隐含型就是题目中没有明显的等量关系，在计算离心率的大小时，根据题目中的条件，利用图形中存在的几何特征掘几何关系，运用点在曲线上或垂直关系或用余弦定理等，建立a，b，c之间的齐次等量关系f(a，b，c)＝0，再化归为关于离心率e的方程求解．
【例7-1】过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且＝3，若OM⊥FN，则C的离心率为( )
A．2 B． C．3 D．
【例7-2】设椭圆：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【例7-3】已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与AF2相切于点Q．若|AQ|＝，则双曲线E的离心率是( )
A．2 B． C． D．
【例7-4】在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足＝2，△PAB的面积最大值为，△PCD面积的最小值为，则椭圆的离心率为________．
【例7-5】已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
【例7-5】设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
【例7-6】已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为l，圆C：(x－a)2＋y2＝8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O为坐标原点)，则双曲线Γ的离心率为( )
A． B． C． D．
【例7-7】已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PA|＝m|PF|．若m取得最大值时，点P恰好在以A，F为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为( )
A．－1 B．－1 C． D．
【例7-8】已知F1，F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
三、离心率范围(最值)模型
解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解．
【例8-1】过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A． B． C． D．
【例8-2】已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例8-3】已知椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【例8-4】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，则双曲线C的离心率的最小值为________．
【例8-5】已知双曲线方程为－＝1，若其过焦点的最短弦长为2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1，] B．[，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞)
【例8-6】已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A． B． C． D．
【例8-7】已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，此双曲线的离心率e的最大值为________．
【例8-8】已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若1·1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(，＋1) B．(1，＋1) C．(1，) D．(，＋∞)
【例8-9】已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且β∈，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A．[，＋] B．[2，＋1] C．[2，＋] D．[，＋1]
【例8-10】已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例8-11】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P使＝，该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【例8-12】过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例8-13】已知双曲线E：－=1(a>0，b>0)的右顶点为A，抛物线C：y2＝8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得⊥，则E的离心率的取值范围是( )
A．(1，2) B．(1，] C．[，＋∞) D．(2，＋∞)
【例8-14】已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，2) C．(，＋∞) D．(2，＋∞)
【例8-15】已知双曲线C1：－＝1与圆C2：x2＋y2＝b2(其中a>0，b>0)，若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是________．
五、共焦点椭圆、双曲线模型
秒杀结论 已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则
Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|MF2|＝a－m；Ⅱ．eq \f(sin2,e12)＋eq \f(cos2,e22)＝1．
【例9-1】已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝( )
A． B．2 C． D．4
【例9-2】中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈，则双曲线的离心率e2的范围是( )
A． B． C． D．(2，3)
【例9-3】已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为( )
A．6 B．3 C． D．
【例9-4】如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为( )
A．2 B．4 C．2 D．2
同步练习
1．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交渐近线于点M，N，且点M，N在x轴的同侧，若四边形MNF2F1为正方形，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
2．已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
3．设F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为a2，则双曲线的离心率是( )
A． B． C．4 D．2
4．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且经过C，D两点，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C． D．+1
5．已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A． B． C． D．
6．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F为过AF的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
9．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M(1，)，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使得△PF1F2的内心I与重心G满足IG∥F1F2，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
11．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(0，－1) C．(－1，1) D．(－1，＋1)
12．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得
＝，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B． C． D．(－1，1)
14．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
15．以双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于C的一个焦点，与y轴交于P，Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C．2 D．
16．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P在椭圆上且满足·＝c2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
17．已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝2c．若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A． B． C．(1，2) D．
18．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)(c>0)，过点F1作直线与圆x2＋y2＝相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若＝2－，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
19．设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为( )
A． B． C． D．
20．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．3
21．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A，B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M，N分别为AF2，BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．＋ D．－
22．已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4e＋e的最小值是( )
A． B． C． D．
23．已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)与C2：px2－qy2＝1(p>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率为，则C2的离心率为( )
A． B． C． D．
24．已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
25．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
26．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为点C，若S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为 ．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
28．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT(O为坐标原点)的斜率为－，则该椭圆的离心率为________．
29．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________.
30．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为________．
31．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
32．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为________．
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