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高中数学重难点突破
专题五 圆与圆的方程
知识归纳
圆的定义与方程
点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:
d>r 点在圆外; d=r 点在圆上; d(2)根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r)，则
圆系方程
1、同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
2、过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的
圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
3、过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的
圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)
(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
六、圆的切线与弦的相关问题
1、设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②
若两圆相交,则有一条公共弦,
由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
2、过圆外一点作圆的切线，
其切线长公式为：。
3、圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长的一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(l)2.
4、圆重要的几何性质：
①切线垂直于经过切点的半径；
②圆心与弦的中点连线垂直于弦；
③相交弦定理；
④切割线定理；
⑤直径所对的圆周角是直角；
⑥同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
5、过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋ yy0＝r2，
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：(x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝r2，
一般地，求圆的切线方程应抓住圆心到直线的距离等于半径；
6、从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；
7、过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径．
圆的切线的相关结论
1、在圆上一点的切线方程为：；
2、在圆上一点的切线方程为：；
过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线
的方程为：；
过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在
直线的方程为：；
5、过圆外一点作圆的切线，其切线长公式为：
。
七、与圆相关最值问题
1、求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离，
dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，
则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；
3、已知点P(x,y)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，上的一个动点
①形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如z=(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
典例分析
题型一、求圆的方程
例1、(1)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，
则该圆的标准方程为( )
A. (x－1)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝4
(2)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )
A. (x-)2+(y-1)2=4 B. (x-)2+(y-)2=4 C. x2+(y-2)2=4 D. (x-1)2+(y-)2=4
例1、答案（1）C (2)D
解析(1)设圆心坐标为(2，a)
则圆心到直线x＋y＝2的距离
d＝＝2，所以a＝-2，
所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
(2)圆与圆关于直线对称,则圆的半径相同,
只需圆心关于直线对称即可.
设所求圆的圆心坐标为(a,b),
则解得,圆心的坐标为(1,),
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y-)2＝4.
例2、根据下列条件求圆的方程：
(1)经过A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上；
(2)半径为5且与x轴交于A(2,0)，B(10,0)两点；
(3)圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1：2两部分．
例2、答案(1)x2＋y2－8x－10y＋31＝0或(x－4)2＋(y－5)2＝10
(x－6)2＋(y－3)2＝25或(x－6)2＋(y＋3)2＝25 (3)x2＋y2＝36
解析(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心(－，－)，
∴
解之得：
∴圆的一般方程为x2＋y2－8x－10y＋31＝0.
法二：从形的角度，AB为圆的弦，由平面几何知识知，
圆心P应在AB中垂线x＝4上，
则由得圆心P(4,5)，
∴半径r＝|PA|＝.
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
(2)设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，
如图，∵|AB|＝10－2＝8，∴|AD|＝4.
∵|AC|＝5，∴|CD|＝3.∴a＝6，b＝±3.
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25或(x－6)2＋(y＋3)2＝25.
(3) 如图，设直线与圆相交于A、B两点，
因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1：2两部分，
所以∠AOB＝120°.
而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，
在△ABO中，可求得|OA|＝6.
所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
方法小结
1、求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的
基本量(圆心、半径)和方程；
(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程：
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则设圆的一般方程.
2、确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;
(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.
提醒 解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
题型二、点与圆的位置关系
例3、(1)若直线ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．都有可能
(2)已知M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆有何种位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
例3、答案（1）B（2）C
解析由直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，得<1，即a2＋b2＞1.因此点P在圆外.
(2)圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝r2的距离为d＝，∵M(x0，y0)在圆内，∴＜r，
则有d>r，故直线和圆相离．
题型三、圆与圆的位置关系
例4、若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
例4、答案 4
解析由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，
则两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，
而A、B关于OO1轴对称，
∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，即|AB|＝2×＝4.
题型四、直线与圆的位置关系
例5、(1)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2] C．[1－2，3] D．[1－，3]
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的
距离为1，则实数c的取值范围是________________．
例5、答案（1）C （2）（-13，13）
解析(1)y＝3－化简得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，
如图,当直线y＝x＋b与半圆(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)相切时，
有d＝＝2，得b＝1－2；
当直线y＝x＋b过点(0,3)时，有b＝3.
由图象可知，b的取值范围是[1－2，3].
(2)如图，圆x2＋y2＝4的半径为2，
圆上有且仅有四个点到直线的距离为1等价于点(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1.
即<1，|c|<13，∴－13练1、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)
(1)证明：不论m取什么实数，直线l 与圆C恒相交；
(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.
练1、解析(1)证明：直线方程l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，
可以改写为m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
所以直线过直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点.
由方程组解得即两直线的交点为A(3,1).
又因为点A(3,1)与圆心C(1,2)的距离d＝<5，所以该点在圆C内，
故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.
(2)解：连接AC，过点A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于点B，D.
BD为直线被圆所截得的最短弦长.此时，|AC|＝，|BC|＝5，
所以|BD|＝2＝4 .即最短弦长为4 .
又直线AC的斜率kAC＝－，所以直线BD的斜率为2.
此时直线方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.
题型五、圆有关的对称问题
例6、(1)一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直线l对称，则直线l的方程
为_____________________.
(2)已知A点是圆x2＋y2－2ax＋4y－6＝0上任一点，A点关于直线x＋2y＋1＝0的对称点也在圆上，那么实数a等于______________.
例6、答案（1）2x-y+5=0 （2）3
解析(1)直线l是原点和(－4,2)连线的垂直平分线.
原点与(－4,2)的中点是(-2,1)即2x－y＋5＝0
(2)x2＋y2－2ax＋4y－6＝0化成(x-a)2＋(y+2)2＝-a2+10
圆心为(a,-2)在直线直线 x＋2y＋1＝0上，∴a-4+1=0∴a=3
题型六、直线与圆的综合问题
例7、过点P(-2, -3)作圆C： (x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B，求：
(1)经过圆心C,切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段|AB|的长.
例7、答案（1）x2+y2-2x+y-14=0 （2）6x+5y-25=0 （3）
解析(1)如图所示，连接CA、CB,CA┴PA,CB┴PB,
由平面几何知：P、A、C、B共圆，且CP为直径
∴P(-2,-3),圆心左边为C(4,2)
∴所有圆的方程为(x+2)(x-4)+(y+3)(y-2)=0
即：x2+y2-2x+y-14=0
(2)直线AB即为这个圆的公共弦所在的直线.
由x2+y2-2x+y-14=0与(x-4)2+(y-2)2=9相减，得6x+5y-25=0
(3)设AB、PC交于点Q，则
在中，因为,
由平面几何知.
例8、已知点，点M(3,1)，圆C：
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
例8、答案（1） （2）直线x=3和3x-4y-5=0 1
解析由题意得圆心C(1,2),半径r =2
(1)因为，所以点P在圆C上.
又,所以切线的斜率.
所以过点P的圆C的切线方程是：
即
(2)因为所以点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时，直线的方程为x-3=0.
又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,
即此时满足题意，所以直线x=3是圆的切线.
当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3y=0
则圆心C到切线的距离解得
所以切线方程为即3x-4y-5=0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.
因为所以过点M的圆C的切线长为
题型七、圆中的最值问题
例9、已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
例9、答案
最大值为 最小值为－ （2） 最大值为－2＋ 最小值为－2－
（3） 最大值是(2＋)2＝7＋4 最小值（2-)2=7-4
解析
(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，
的几何意义是:圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，
此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，
当直线y＝x＋b与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，
此时＝，解得b＝－2±.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的
两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
例10、(1)光线从点A(－3，3)射到x轴上的点P后反射，反射光线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2有公共点B，则|AP|＋|PB|的最小值为____________．
(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是____________．
例10、答案 （1） （2）2
解析(1)设圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为C，
A关于x轴的对称点为A′，则C(1，1)，A′(－3，－3)，
则|AP|＋|PB|的最小值为＝＝.
(2)设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m,n)，
因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆．
故解得故A′(-4,-2)．
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
练2、(1)已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，(4－) B．(4＋)，(4－) C．，4－ D．(＋2)，(－2)
(2)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )
A． B．2 C． D．2
练2、答案 （1）B （2）C
解析(1)由题意知|AB|＝＝，lAB：2x－y＋2＝0，
由题意知圆心坐标为(1，0)，
所以圆心到直线lAB的距离d＝＝＝.
所以S△PAB的最大值为××＝(4＋)，
S△PAB的最小值为××＝(4－)．
(2)圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径r＝1，
根据对称性可知，四边形PACB的面积为：
2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，
要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，
最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离：d＝＝＝2.
所以四边形PACB面积的最小值为eq \r(|PC|－r2)＝＝.
方法小结
与圆有关的最值问题的四种常见转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(4)形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：
①减少动点的个数；
②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
题型八、与圆有关的轨迹问题
例11、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
例11、答案（1）(x－1)2＋y2＝1 （2）x2＋y2－x－y－1＝0
解析
(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
例12、设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解析 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝.
从而又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点和
(点P在直线OM上时的情况)．
方法小结
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
同步练习
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为
A． B．
C． D．
【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为，
则由题意知，解得，故圆的方程为．
解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为，
故圆的方程为
解法3（验证法）：将点代入四个选择支，排除，，又由于圆心在轴上，排除．
故选：．
2．若圆与圆外切，则
A．21 B．19 C．9 D．
【解答】解：由，得圆心，半径为1，
由圆，得，
圆心，半径为．圆与圆外切，，解得：．
故选：．
3．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：圆的圆心，
圆心在直线上，可得，解得，圆的半径为：2，所以圆的面积为：．
故选：．
4．已知两点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是
A．，， B．，，
C．， D．，
【解答】解：两点，若直线上存在点满足
此题转化为直线与圆相交时的范围
即原点到直线的距离小于等于半径，即，解得：
故选：．
5．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，圆，圆心的坐标为，半径，
直线，即，恒过定点，
又由圆的方程为，则点在圆内，
分析可得：当直线与垂直时，弦最小，此时，
则的最小值为；
故选：．
6．已知直线，圆，则圆上到直线的距离为的点共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图，由圆，可得圆心，半径，
又圆心到直线的距离，因为圆的半径为，
圆上到的距离为的点一共有3个．
故选：．
7．（5分）已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为线恒过定点，直线恒过定点且，
故两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程，
要求的最大值，转化为在上找一点，在上找一点，使最大，
根据题意可得两圆的圆心距，则．
故选：．
8．已知为直线上一个定点，，为圆上两个不同的动点．若的最大值为，则点的横坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：圆的标准方程为，其圆心，半径，
点到的距离，与圆相离，
当，分别为圆的切线时，最大，
由的最大值为，可知，．
设，则，解得：．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有
A．圆关于直线对称
B．直线与的相交弦长为
C．的最大值为
D．的最小值为
【解答】解：由圆，得，得圆心，半径，
可得在直线上，故正确；
点到直线的距离，则写出，故错误；
由，得，代入圆的方程并整理，得．
△，解得．的最大值为，故正确；
，，则的最小值为，故正确．
故选：．
10．已知点，，直线，下列结论正确的是
A．恒过定点
B．为坐标原点）
C．到直线的距离有最小值，最小值为3
D．到直线的距离有最大值，最大值为5
【解答】解：点，，可得的轨迹是单位圆，
直线，恒过定点，所以正确；正确；
如图：当直线与圆有交点时，取交点，则到直线的距离的最小值为0，所以不正确；
圆与轴的交点与直线的距离为5，可得到直线的距离的最大值为5，
所以正确；
故选：．
11．已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的是
A．圆与圆有两条公切线
B．圆与圆关于直线对称
C．线段的长为
D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为
【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，即，其圆心为，半径，
依次分析选项：
对于，两圆相交，有两条共切线，正确，
对于，圆和圆的半径相等，则线段的垂直平分线为，则圆与圆关于直线对称，正确，
对于，联立，化简可得，即的方程为，
到的距离，则，错误；
对于，，则的最大值为，正确，
故选：．
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，下列结论正确的是
A．的方程为
B．在轴上存在异于，的两定点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的平分线
D．在上存在点，使得
【解答】解：在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，
化简可得，故错误；
假设在轴上存在异于，的两定点，，使得，
可设，，可得，
化简可得，
由的轨迹方程为，可得，，
解得，或，（舍去），即存在，，故正确；
当，，三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故正确；
若在上存在点，使得，可设，即有，
化简可得，联立，可得方程组无解，故不存在，故错误．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若定点在圆的外部，则的取值范围是 ．
【解答】解：圆，即，，即．
定点在圆的外部，，．
综上可得，，
故答案为：．
14．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．
【解答】解：在直线上，设，
圆与轴相切，圆为：，，
又圆与圆外切，圆，即圆，
，解得，
圆的标准方程为．
故答案是：．
15．已知圆，从点向圆作两条切线，，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为 ；点到直线的最小距离为 ．
【解答】解：如图所示，从点向圆作两条切线，，且，
可得在中，，，，
点的轨迹方程是以为圆心，4为半径的圆，
即；
点到直线的距离，
点到直线的距离的最小值为．
故答案为：；4．
16．如图，已知，为圆上两点，又，为轴上两个定点，则由线段，，，劣弧所围成的阴影部分的面积 ．
【解答】解：如图，设直线与直线的交点为，
则，
因为直线的倾斜角等于，
所以，
直线的方程为，
令，则，即，
所以，
，
，
，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程．
【解答】解：（1）由可得顶点，又因为得，，
所以设的方程为，将代入得，
由可得顶点为，所以和的坐标分别为和，
（2）设的外接圆方程为，
将、和三点的坐标分
别代入得则有，
所以的外接圆的一般方程为．
18．（12分）已知关于，的方程表示圆．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）若方程表示圆，
则，解得．故实数的取值范围为．
（Ⅱ）若，圆，
①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
圆心到直线的距离等于半径2，此时直线与相切；
②当过点的直线斜率存在时，不妨设斜率为，
则切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径可知，，
解得，即切线方程为．
综上所述，切线方程为或．
19．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线交于，两点，_____，求的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为．
圆的圆心在直线上，．又圆与轴相切于点，，．
圆的圆心坐标为，．则圆的方程为；
（Ⅱ）如果选择条件①，，，圆心到直线的距离．
则，解得或．
如果选择条件②，，，圆心到直线的距离．
则，解得或．
20．在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于．
①求圆的标准方程；
②若圆心在第一象限，为圆外一点，过点做圆的两条切线，切点分别为，，四边形的面积为，问线段的长是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
【解答】解：（1）圆过点和点，
圆心在线段的垂直平行线上，故可设圆心，
圆心到直线的距离等于，，解得，
当时，圆心，半径，故圆的方程为，
当时，圆心，半径，故圆的方程为，
综上所述，圆的标准方程为或．
（2），四边形的面积，
，，，，
故线段的长度为定值2．
21．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1）上进行军事演练，如图（2），，，是三个军事基地，为一个军事要塞．已知，，到，的距离分别为，．
（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞处有一城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一军事卡车以的速度自基地开往基地，问实数在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶．
【解答】解：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示，
则由题设得：，直线的方程为，，，
由，及，解得，
，
直线的方程为，即，
由，得，即，
，
即基地的长为．
（2）设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，生成小时时，卡车在线段上的点处，
则，，
，
爆炸波不会波及卡车的通行即对，恒成立，
，即，当时，上式恒成立，
当时即，，，令，，，
，当且仅当，即时等号成立，
所以，在时恒成立，亦即爆炸波不会波及卡车的通行．
22．已知圆M过两点A（﹣1，0），B（0，1），且圆心M在直线y＝2x上．
（1）求圆M的方程；
（2）若点N是圆M劣弧上异于A，B的动点．
①求△ABN面积的最大值；
②若圆M与x轴正半轴交于点C，直线AN直线BC交于点P，直线BN与x轴交于点G，设直线PN，PG的斜率分别为k1和k2，求k1﹣2k2的值．
22．【解答】解：（1）由题可知的垂直平分线的方程为，
又因为圆心在直线上，所以联立，解得，，
即，，故圆的方程为；
（2）①由题可得，且直线的方程为，
则点到直线的距离，
因为是圆劣弧上异于，的动点，
根据圆的性质可得到的最大距离为，
所以面积的最大值为，
②由题意，直线的斜率为，，
则的方程为，又直线的方程为，
联立，解得，，联立，解得，，
又，可得直线的方程为，
令，解得，即，，
因为直线的斜率为，所以，
所以．
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高中数学重难点突破
专题五 圆与圆的方程
知识归纳
圆的定义与方程
点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:
d>r 点在圆外; d=r 点在圆上; d(2)根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r)，则
圆系方程
1、同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
2、过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的
圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
3、过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的
圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)
(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
六、圆的切线与弦的相关问题
1、设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ① 圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②
若两圆相交,则有一条公共弦,
由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
2、过圆外一点作圆的切线，
其切线长公式为：。
3、圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长的一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(l)2.
4、圆重要的几何性质：
①切线垂直于经过切点的半径；
②圆心与弦的中点连线垂直于弦；
③相交弦定理；
④切割线定理；
⑤直径所对的圆周角是直角；
⑥同弧所对的圆周角是圆心角的一半.
5、过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋ yy0＝r2，
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：(x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝r2，
一般地，求圆的切线方程应抓住圆心到直线的距离等于半径；
6、从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；
7、过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径．
圆的切线的相关结论
1、在圆上一点的切线方程为：；
2、在圆上一点的切线方程为：；
过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在直线
的方程为：；
过圆外一点作圆的切线，切点弦AB所在
直线的方程为：；
5、过圆外一点作圆的切线，其切线长公式为：
。
七、与圆相关最值问题
1、求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离，
dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；
求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，
则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；
3、已知点P(x,y)是圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，上的一个动点
①形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如z=(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
典例分析
题型一、求圆的方程
例1、(1)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝2均相切，
则该圆的标准方程为( )
A. (x－1)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝4
(2)圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )
A. (x-)2+(y-1)2=4 B. (x-)2+(y-)2=4 C. x2+(y-2)2=4 D. (x-1)2+(y-)2=4
例2、根据下列条件求圆的方程：
(1)经过A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上；
(2)半径为5且与x轴交于A(2,0)，B(10,0)两点；
(3)圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1：2两部分．
题型二、点与圆的位置关系
例3、(1)若直线ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．都有可能
(2)已知M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆有何种位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
题型三、圆与圆的位置关系
例4、若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
题型四、直线与圆的位置关系
例5、(1)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2] C．[1－2，3] D．[1－，3]
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________________．
练1、已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)
(1)证明：不论m取什么实数，直线l 与圆C恒相交；
(2)求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程.
题型五、圆有关的对称问题
例6、(1)一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直线l对称，则直线l的方程
为_____________________.
(2)已知A点是圆x2＋y2－2ax＋4y－6＝0上任一点，A点关于直线x＋2y＋1＝0的对称点也在圆上，那么实数a等于______________.
题型六、直线与圆的综合问题
例7、过点P(-2, -3)作圆C： (x-4)2+(y-2)2=9的两条切线，切点分别为A、B，求：
(1)经过圆心C,切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段|AB|的长.
例8、已知点，点M(3,1)，圆C：
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.
题型七、圆中的最值问题
例9、已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
例10、(1)光线从点A(－3，3)射到x轴上的点P后反射，反射光线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2有公共点B，则|AP|＋|PB|的最小值为____________．
(2)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是____________．
练2、(1)已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，(4－) B．(4＋)，(4－) C．，4－ D．(＋2)，(－2)
(2)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )
A． B．2 C． D．2
题型八、与圆有关的轨迹问题
例11、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
例12、设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
同步练习
一、选择题：
1．圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为
A． B．
C． D．
2．若圆与圆外切，则
A．21 B．19 C．9 D．
3．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为
A． B． C． D．
4．已知两点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是
A．，， B．，，
C．， D．，
5．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为
A． B． C． D．
6．已知直线，圆，则圆上到直线的距离为的点共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为
A． B． C． D．
8．已知为直线上一个定点，，为圆上两个不同的动点．若的最大值为，则点的横坐标为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，点是圆上的动点，则下列说法正确的有
A．圆关于直线对称
B．直线与的相交弦长为
C．的最大值为
D．的最小值为
10．已知点，，直线，下列结论正确的是
A．恒过定点
B．为坐标原点）
C．到直线的距离有最小值，最小值为3
D．到直线的距离有最大值，最大值为5
11．已知圆和圆相交于，两点，下列说法正确的是
A．圆与圆有两条公切线 B．圆与圆关于直线对称
C．线段的长为
D．，分别是圆和圆上的点，则的最大值为
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，下列结论正确的是
A．的方程为
B．在轴上存在异于，的两定点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的平分线
D．在上存在点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若定点在圆的外部，则的取值范围是 ．
14．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．
15．已知圆，从点向圆作两条切线，，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为 ；点到直线的最小距离为 ．
16．如图，已知，为圆上两点，又，为轴上两个定点，则由线段，，，劣弧所围成的阴影部分的面积 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
（1）求顶点和的坐标；
（2）求外接圆的一般方程．
18．已知关于，的方程表示圆．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若，过点作的切线，求切线方程．
19．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若圆与直线交于，两点，_____，求的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：．
20．在平面直角坐标系中，圆过点和点，圆心到直线的距离等于．
①求圆的标准方程；
②若圆心在第一象限，为圆外一点，过点做圆的两条切线，切点分别为，，四边形的面积为，问线段的长是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
21．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1）上进行军事演练，如图（2），，，是三个军事基地，为一个军事要塞．已知，，到，的距离分别为，．
（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞处有一城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一军事卡车以的速度自基地开往基地，问实数在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶．
22．已知圆M过两点A（﹣1，0），B（0，1），且圆心M在直线y＝2x上．
（1）求圆M的方程；
（2）若点N是圆M劣弧上异于A，B的动点．
①求△ABN面积的最大值；
②若圆M与x轴正半轴交于点C，直线AN直线BC交于点P，直线BN与x轴交于点G，设直线PN，PG的斜率分别为k1和k2，求k1﹣2k2的值．
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