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高中数学重难点突破
专题二 立体几何与空间向量解答题解题技巧
知识归纳
（一）传统方法
一、线线平行的证明方法
利用平行四边形；
利用三角形或梯形的中位线；
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）
平行于同一条直线的两个直线平行。
夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法
定义法：直线和平面没有公共点。
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定定理）
两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
反证法。
三、面面平行的证明方法
定义法：两个平面没有公共点。
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）
平行于同一个平面的两个平面平行。
经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法
勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线; 4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影；
6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理）
在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：
定义法：直线与平面内的任意直线都垂直； 2、点在面内的射影；
3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。
6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。
7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。
8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、面面垂直的证明方法：
定义法：两个平面的二面角是直二面角；
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理）
如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
（二）空间向量方法
一、平行与垂直的判断
1、平行：设的法向量分别为，则直线的方向向量分别为，则：
线线平行∥∥； 线面平行∥；
面面平行∥∥
2、垂直：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：
线线垂直⊥⊥； 线面垂直⊥∥；
面面垂直⊥⊥
二、夹角与距离的计算
1、夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线,所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角─l ─的大小为(),
2、空间距离
点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,
①点到平面的距离:(定理)如图，设是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中则点P到平面的距离
(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)
②异面直线间的距离:(的公垂向量为,分别是上任一点).
典例分析
【例1】如下图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝.
(1)求证：CF⊥C1E；
(2)求二面角E－CF－C1的大小．
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
【例3】如图所示的多面体中，ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD＝BD＝2，BF＝2DE＝2.
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求二面角A FC E的余弦值．
【例4】如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．
(1)设是上的一点，且，求的大小；
(2)当，时，求二面角的余弦值．
【例5】如图，在三棱台中，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
【例6】如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥P ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，PD⊥PB，点E在线段CD上．
(1)当为何值时，有AE⊥面PBD；
(2)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
【例7】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面的夹角.
【例8】如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．
(1)求证：；
(2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
【例9】四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点．
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【例10】如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小是，求侧面与底面所成二面角的正弦值.
【例11】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【例12】如图，斜四棱柱的底面为等腰梯形，且，点在底面的射影点在四边形内部，且.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【例13】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；
(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
【例14】如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
【例15】如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
【例16】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点．
(1)记平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题二 立体几何与空间向量解答题解题技巧
知识归纳
（一）传统方法
一、线线平行的证明方法
利用平行四边形；
利用三角形或梯形的中位线；
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个相交，那么这条直线和交线平行。（线面平行的性质定理）
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）
平行于同一条直线的两个直线平行。
夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
二、线面平行的证明方法
定义法：直线和平面没有公共点。
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。（线面平行的判定定理）
两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。
反证法。
三、面面平行的证明方法
定义法：两个平面没有公共点。
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）
平行于同一个平面的两个平面平行。
经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。
垂直于同一条直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法
勾股定理； 2、等腰三角形； 3、菱形对角线; 4、圆所对的圆周角是直角； 5、点在线上的射影；
6、如果一条直线和这个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（三垂线定理）
在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：
定义法：直线与平面内的任意直线都垂直； 2、点在面内的射影；
3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直。
4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面。
5、两条平行直线中的一条垂直于平面，那么另一条必垂直于这个平面。
6、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面。
7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面。
8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、面面垂直的证明方法：
定义法：两个平面的二面角是直二面角；
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直；（面面垂直的判定定理）
如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
（二）空间向量方法
一、平行与垂直的判断
1、平行：设的法向量分别为，则直线的方向向量分别为，则：
线线平行∥∥； 线面平行∥；
面面平行∥∥
2、垂直：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：
线线垂直⊥⊥； 线面垂直⊥∥；
面面垂直⊥⊥
二、夹角与距离的计算
1、夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线,所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角─l ─的大小为(),
2、空间距离
点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,
①点到平面的距离:(定理)如图，设是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中则点P到平面的距离
(实质是在法向量方向上的投影的绝对值)
②异面直线间的距离:(的公垂向量为,分别是上任一点).
典例分析
【例1】如下图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝.
(1)求证：CF⊥C1E；
(2)求二面角E－CF－C1的大小．
解：解法一：(1)由已知可得CC1＝3，CE＝C1F＝＝2，
EF2＝AB2＋(AE－BF)2，EF＝C1E＝＝，
于是有EF2＋C1E2＝C1F2，CE2＋C1E2＝CC，
所以C1E⊥EF，C1E⊥CE.
又EF∩CE＝E，所以C1E⊥平面CEF. 又CF 平面CEF，故CF⊥C1E.
(2)在△CEF中，由(1)可得EF＝CF＝，CE＝2，于是有EF2＋CF2＝CE2，所以CF⊥EF，
又由(1)知CF⊥C1E，且EF∩C1E＝E，所以CF⊥平面C1EF.
又C1F 平面C1EF，故CF⊥C1F.
于是∠EFC1即为二面角E－CF－C1的平面角，
由(1)知△C1EF是等腰直角三角形，所以∠EFC1＝45°，
即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.
解法二：建立如上图所示的空间直角坐标系，则由已知可得
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,3)，E(0,0,2)，F(，1，)．
(1)＝(0，－2，－)， ＝(，－1，)，
·＝0＋2－2＝0， ∴CF⊥C1E.
(2)＝(0，－2,2)，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
由m⊥，m⊥，得即可取m＝(0，，1)．
设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥，n⊥，及＝(，－1,0)，＝(0,0,3)，
可取n＝(1，，0)．
设二面角F－CF－G的大小为θ，由于θ为锐角，所以
cosθ＝＝＝，所以θ＝45°，即所求的二面角的大小为45°.
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
解：(1)在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，故PO⊥平面ABCD.
(2)以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，
建立空间直角坐标系O－xyz.
则A(0，－1,0)、B(1，－1,0)、C(1,0,0)、D(0,1,0)、P(0，0,1)，
∴＝(－1,1,0)，＝(1，－1，－1)．cos<，>＝＝－，
即异面直线PB与CD所成角的余弦值是.
(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
由(2)知＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)，
则，∴，即x0＝y0＝z0，
取x0＝1，得平面的一个法向量为n＝(1,1,1)．又＝(1,1,0)，
从而点A到平面PCD的距离d＝＝.
【例3】如图所示的多面体中，ABCD是菱形，ED∥FB，ED⊥平面ABCD，AD＝BD＝2，BF＝2DE＝2.
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求二面角A FC E的余弦值．
解析：(1)证明：法一：在△AEF中，AE＝，EF＝，AF＝2，
∴AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.
在△AEC中，AE＝，EC＝，AC＝2，
∴AE2＋EC2＝AC2，∴AE⊥EC.
又∵EF∩EC＝E，∴AE⊥平面ECF.
又∵FC 平面ECF，∴AE⊥FC.
法二：∵ABCD是菱形，AD＝BD＝2，
∴AC⊥BD，AC＝2，
∵ED⊥平面ABCD，BD＝2，BF＝2DE＝2，
故可以O为坐标原点，以OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(，0,0)，E(0，－1，)，C(－，0,0)，F(0,1,2)，
∴＝(－，－1，)，＝(，1,2)，
∴·＝(－，－1，)·(，1,2)＝－3－1＋4＝0.∴AE⊥CF.
(2)解：由(1)知A(，0,0)，C(－，0,0)，
F(0,1,2)，E(0，－1，)，
则＝(－，1,2)，＝(－2，0,0)，＝(0,2，)，＝(－，1，－)，
设平面AFC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由·n1＝0，·n1＝0，得－x1＋y1＋2z1＝0且－2x1＝0，
令z1＝1，得n1＝(0，－2，1)，
设平面EFC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由·n2＝0，·n2＝0，得2y2＋z2＝0且－x2＋y2－z2＝0，
令y2＝－1，得n2＝(－，－1，)，
设二面角A FC E的大小为θ，则
cos θ＝＝＝.
【例4】如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点．
(1)设是上的一点，且，求的大小；
(2)当，时，求二面角的余弦值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，，
又平面，，所以平面．
又平面，所以．
又，所以．
（2）由（1）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，， ，，
故，，，
设是平面的一个法向量．
由，得，取，可得．
设是平面的一个法向量．
由，得，取，可得．
所以，由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
【例5】如图，在三棱台中，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明：由三棱台知：，
在梯形中，取的中点，连接，
因，
故，四边形是平行四边形，∴，
，
所以，
，即，
因，所以，
又因，所以，
又因，所以平面，
因平面，
所以平面平面；
（2）解：取的中点，的中点，连接，，则，
因，所以，
由条件知：四边形是等腰梯形，所以，
平面平面
平面,
平面平面
∴平面，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图，则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：，
∴，，，，
设平面的法向量，
则由 得，令，得，，所以，
又平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则．
【例6】如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥P ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC＝4，PD⊥PB，点E在线段CD上．
(1)当为何值时，有AE⊥面PBD；
(2)求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
解：(1)当＝1时，有面PBD⊥平面PAE.
证明：当＝1时，E为CD中点．
在直角三角形PBD中，BD＝2， ∴AB2＋AD2＝8＝BD2，∴AB⊥AD.
∴四边形DEBA为正方形，∴AE⊥BD
由已知得PA＝PB＝PD＝2，
∴点P在底面ABCD内的射影O是△ABD的外心．
又AB⊥AD，∴O为BD中点，∴PO⊥平面ABCD.∴PO⊥AE.
又PO与BD是平面PBD的两条相交直线．∴AE⊥平面PBD.
(2)以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1，)，＝(0,4,0)，
＝(－1,1，)，＝(2,2,0)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则 令z＝1，得n＝(，0,1)．
∴cos〈n，〉＝＝＝.
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为.
【例7】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.
(1)证明：平面；
(2)求平面和平面的夹角.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1），，为正三角形，
，则为中点，
设，，，故，故为的三等分点，
，为的三等分点，即F为的中点，故，
平面，平面，故平面.
（2）由题设易得，，
，
故，即，，故，
，，PH、HF在面PHF内，故平面.
PF在面PHF内，故，又，，AC、AD在面ABCD内，故平面.
在中，，
由题意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，则∠ACB=90°，故，
过点作平面的垂线为z轴，以分别为轴、轴正方向，建立如图所示坐标系.
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，所以
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
设平面和平面的夹角为，,
则，，
所以平面和平面的夹角为.
【例8】如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，平面ABC，和均为正三角形，，点M为线段CD上一点．
(1)求证：；
(2)若EM与平面ACD所成角为，求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正和正中，，
则，而平面平面ABC，
平面平面，平面ACD，平面ABC，于是平面ABC，平面ACD，
又平面ABC，即有，而．因此四边形DOBE是平行四边形，则，
从而平面ABC，平面ADC，
所以.
（2）由（1）知，平面ADC，为EM与平面ADC的所成角，即，
在中，，即M为DC中点，
由（1）知，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
显然平面DAC的一个法向量为，设平面MAB的一个法向量为，
则，令，得，
，
所以平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值为．
【例9】四棱锥中，，，，，，点是棱上靠近点的三等分点．
(1)证明：平面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）依题意，在中，，
由余弦定理可得,
则，∴，
∵，∴，又平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，平面,
故平面；
（2）以A为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
设，则，，
由（1）可知，平面,
故平面，∴平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，且，，
则，取，所以，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，解得，
所以四棱锥的体积为
【例10】如图，在三棱台ABC—中，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小是，求侧面与底面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1），
在等腰梯形中，作，则，
在中，，所以，，
在中，，解得，
所以，即，
由平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面.
（2）如图，在平面内，过点作，以为原点，
以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
易知平面的一个法向量为，
则，解得，
即，则平面的法向量为，
易知平面的一个法向量为，
则，
设侧面与底面所成二面角的平面角为，
则，
所以侧面与底面所成二面角的正弦值为.
【例11】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.
(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】(1)证明见解析；(2)或
【详解】（1）在圆柱中，,平面,平面,
故平面；
连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，
故，则为正三角形，故，则，
平面,平面,故平面；
又平面，
故平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，在底面圆过点垂直于平面作直线为x轴，
以为轴建立空间直角坐标系，
由于，由（1）可知,
故,
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
由，，，
可得，
设直线与平面所成角为，
则，
即得，解得或，符合，
故或.
【例12】如图，斜四棱柱的底面为等腰梯形，且，点在底面的射影点在四边形内部，且.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【详解】（1）在等腰梯形中，，
过作交于，则四边形是菱形，
，是等边三角形，
，
，
又平面，
∴平面，又平面，
平面⊥平面.
（2）由（1）平面⊥平面，
∵平面平面，
∴点在底面的射影在上，且，又，
由（1）知.
以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
则，设，，
则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，解得，
令得，，故，
，解得：，
所以
【例13】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．
(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；
(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：
因为四边形为平行四边形，所以是中点，
又点为线段的中点，则，且,
又且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：
由平面⊥平面，，可知，
均为边长为2的正三角形，
则有，
设，
则，
为平面的法向量，
所以，
解得（其中舍去）,所以，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故可取．
设平面的法向量为，则有，
令，则，故可取
所以．
所以二面角的正弦值为．
即二面角的正弦值为.
【例14】如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形，
所以，又为弧的中点，则是弧的中点，
所以，而由题设知：，则，
所以，即，由底面，平面，则，又，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系，
令半圆柱半径为，高为，则，，，，
所以，，，，
若是面的一个法向量，则，令，则，
若是面的一个法向量，则，令，则，
所以，
整理可得，则，又，
由题设可知，此时点，，，
则，，
所以点到直线的距离.
.
【例15】如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.
(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线PE和平面所成角的正弦值最大.
【答案】(1)证明见解析；(2)点在距离点处
【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
又底面圆，底面圆，所以，
在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
，，
所以，，
同理可证，
又，，平面，所以平面.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.
设，（），所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，
故点在距离点处.
【例16】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点．
(1)记平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）∵平面平面，
∴直线平行于平面,
又平面，平面平面，
∴，又．
∴，
因为是直径，所以为直角，所以，
又因为平面，AC在面ABC上，所以，
而相交于点C,且都在平面内，
所以平面，故平面．
（2）证法一（综合法）：如图，连接，由（1）可知交线即为直线，且．
因为是的直径，所以，于是．
已知平面，而平面，所以．
而，BC、PC在面PBC内，所以平面．
连接，因为平面，所以．
故就是二面角的平面角，即．
由，作，且．
连接，因为是的中点，，所以，
从而四边形是平行四边形，．
连接，因为平面，
所以是在平面内的射影．
故就是直线与平面所成的角，即．
又平面，BF在面PBC内，所以，所以为锐角．
故为异面直线与所成的角，即，
于是在，，中，
分别可得．
从而，即．
证法二（向量法）：如图，由，作，且，
连接．
由（1）可知交线l即为直线．
以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则有，．
于是，，所以
从而．
取平面的一个法向量为，可得，
设平面的一个法向量为．
由，可得取．
于是，从而．
故，即．
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