课题：完全平方公式（一）
教材：北师大版课程标准实验教材《数学》七年级（下）
一、教学目标
1、知识与技能：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力；了解完全平方公式的几何背景，感受数与形之间的联系，培养学生用图形解释数的能力及创造性思维和表达能力。
2、过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、分析、验证、推理等多种探索知识的方法，从中渗透转化、化归、数形结合的思想，培养学生求简意识，应用意识及辩证统一思想。
3、情感态度与价值观：通过反思问题情境的创设，激发学生探索的热情，鼓励学生探索算法的多样化，体会到解决问题策略的多样性，积累探索数学公式的学习经验，从中感受数学公式的简洁美，进一步提高学生的参与意识和合作精神。
二、教材分析：
1、重点：经历探索完全平方公式的过程，了解公式的几何背景；
理解公式的结构特点和语言描述，并会运用公式进行简单计算。
2、难点：理解公式的推理过程和几何背景；掌握公式的结构特点及其灵活运用公式。
三、学情与教法：
在以往的多次教学实践中，学生在运用公式时，总是出现了(a+b)2= a2+ b2、(a－b)2= a2－b2和中间项漏乘2及符号弄错等错误，特别是学习基础较弱的学生，这一现象更为严重，我反思其原因是受平方差公式和积的乘方法则(a·b)2= a2·b2负面迁移的影响。于是，今年我再次上这节课时，我决定改变教学思路，从学生的错误猜想(a+b)2=a2+b2中切入，提出问题，启发、引导学生自主探索出两数和的平方公式，再类比猜想、验证两数差的平方公式，然后进行合作交流运用公式，在错误的反思中学习新知。
四、教学实录：
1、创设情境 引新设疑
我们班的晓慧同学是个勤奋好学、善于思考的学生，他发现：(a·b)2 = a2·b2 ，于是他猜想(a + b)2 = a2 + b2，请问他的猜想对吗？请你帮助他验证。
2、合作交流 探索新知
（学生先独立思考后，小组合作学习。有的在争论，有的在草稿纸上推演，有的在举例验证。教师巡视各小组，并参加、指导他们的讨论。）
师：很多小组的探索学习都有了结果，我们来交流一下各小组的意见，听一听别人的观点。
生：我们小组认为(a + b)2 ≠ a2 + b2，因为(a + b)2表示a与b和的平方，
而a2 + b2表示a与b平方的和，意义不同，所以不相等。
生：我们小组是用举例子的方法验证的，即对a、b取不同的数代入检验。
a
b
(a + b)2
a2 + b2
2
1
9
5
3
2
25
12
4
5
81
41
(师列出下表，生上台填写)
观察后，发现(a + b)2 ≠ a2 + b2，
生：（生上台边板演边说明）我们小组是用多项式
乘法法则推理出：
(a + b)2 =(a + b) (a + b)
= a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab + b2，
不仅发现了(a + b)2 ≠ a2 + b2，而且得出：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
师：很好！你们发现了一个重要的公式——完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。
还有其它的验证方法吗？（生沉默）
师：谁能用图形验证这个公式？（生沉思默想）
师（引导）：由a2你会想到图形的……
生（异口同声）：边长为a的正方形面积。
师；（师画出右图）那(a + b)2表示什么呢？
生：边长为(a + b)的正方形面积。
师：（在刚才图上补画出右图，出示问题情境）：
这是我们学校门口那个边长为a米的正方形花坛，现要进行扩建，将它的边长扩大b米，你有哪些方法求出扩建后的正方形花坛的面积？比一比看谁方法多？
（学生先独立思考后，再小组交流，然后上台讲解。出现以下多种解法）
生A： S正=2S△=2×(a + b) (a + b)
= a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2
生B：S正=S小+2 S梯 = a2 + 2×(a+ a+b)×b
= a2 + 2ab + b2
生C：S大 = S小+ S长1+S长2
= a2 + ab+(a + b)·b = a2 + 2ab+ b2
生D：S大 = S1+ S2+S3+S4
= a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2
师：哪个同学的分割方法更好些？
生；第四种。大正方形面积：从边长看(a + b)2，从分成四小块面积看a2 + b2 + 2ab。
师：我们用了哪些方法帮助晓慧验证(a + b)2 ≠a2 + b2，并验证了(a + b)2 = a2 + 2ab + b2？
生：（小结）：从代数式表示的意义比较、用特殊数代入求值、用多项式乘法法则推理的方法、用图形面积验证的方法。
师：刚才我们通过计算图形面积的方法，使我们对完全平方公式有了一个形象、直观的认识（动画演示）。根据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形来认识了这个公式。
3、参与其中 体验特征
师：你能说出这个公式(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2有什么特点？
生：左边是两项，和的平方，右边是三项，平方的和，再加上积的2倍；
生：a加b的和的平方等于a2加b2再加2个ab；
生：两数和的平方等于这两数的平方和，再加上它们积的2倍。
学生尝试利用公式计算：① (x + 1)2 ② (2x +3)2 ③ (mn + a)2 在小组内交流计算结果，并判断计算结果是否正确。
4、类比猜想 继续探索
师：猜想(a－b)2 =？用你学过的方法验证你的猜想是否正确？
生A：(a－b)2 = a2－b2； 生B：(a－b)2= a2－2ab－b2； 生C：(a－b)2= a2－2ab+ b2
（猜想中，学生出现了多种情况，但同学们都能用刚才的学习方法，如：多项式乘法法则推理或图形面积表示及折纸的方法等类比迁移，得出正确的结果：(a－b)2= a2－2ab+ b2。但没有同学能想到用公式(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2来计算(a－b)2。这种方法学生不易想到，我就进行适当的点拨，）
师（引导）：你能用公式(a + b)2 = a2 + 2ab+ b2来计算(a－b)2吗？
生（得出）： (a－b)2=［a+（－b)］2 = a2 + 2a(-b)+(- b)2 = a2－2ab+ b2
师：把(a－b)2转化成(a+b)2，这样两个公式就可以统一成一个公式。
“两数和（或差）的完全平方公式：(a±b)2 = a2±2ab+ b2
师：交流你对这两个公式的理解，说出它们的联系与区别，并编成口诀。
生：这两个公式本质上与平方差公式一样，都是多项式乘以多项式的特例；
生：(a－b)2= a2－2ab+ b2可以看成(a+b)2= a2+2ab+ b2的应用，可以统一成一个公式；
生：两个公式都可以用同一个正方形的面积来解释其意义，只是边长不同而已；
生：公式可以写成(a+b)2= a2+ b2+2ab、(a－b)2= a2+b2－2ab，都有a2 + b2，只是2ab符号不同；
生：(a+b)2=(a－b)2 +4ab、 (a－b)2=(a＋b)2 －4ab、 (a+b)2－(a－b)2 =4ab、
生：要防止(a+b)2＝a2 + b2 ，(a－b)2＝a2－b2的错误……
师生合作编成口诀：和平方、差平方等于首平方、尾平方，首尾乘积的2倍在中央。
5、变式训练 感悟应用
例1 计算：① (2x +3y)2 ② ( 3x－2y)2 ③ ( -2t+1)2 ④ ( -2t－1)2
让学生上台板演，师生共同评析。学生出现多种解法，如：
( -2t－1)2=［( -2t)+(-1)］2 =( -2t)2+2×( -2t)×(-1)+(-1)2=4t2+4t+1
( -2t－1)2=［( -2t)－(+1)］2=( -2t)2－2×( -2t)×1+12=4t2+4t+1
( -2t－1)2=［-(2t+1)］2 =(2t+1)2 =(2t)2+2×2t×1+12=4t2+4t+1
例2 明辨是非，知错能改。
①(a + 1)2 = a2 + 1 （ ） ②(a－1)2 = a2－1 （ ）
③(a + 2)2 = a2 + 2a+4（ ） ④(2a－1)2 = 2a2－2a+ 1（ ）
⑤(a－2)2 = a2－4a－4 （ ） ⑥(a－2b)2 = a2－2ab+ 2b2（ ）
让学生独立完成，交叉评改后，再让他们畅谈解题心得。
生：要认准a、b； 生：注意乘积时添括号2b2； 生：小心别漏了2ab项；
生：别忘了中间项乘2；要先确定是和平方还是差平方；
生：结果有三项，别犯(a+b)2＝a2 + b2 ，(a－b)2＝a2－b2的错误……
然后让学生独立完成课后的随堂练习，在小组内交流计算结果是否正确。
6、学会评价 布置作业
畅谈本节课你学到哪些知识和方法？评价你对自己的学习表现有哪些长处和不足？在小组活动中，你的同伴谁最优秀，他有哪些优点值得你学习？并填写成长记录卡。
A、必做作业：课本P35习题1； B、选做作业：P35习题2、3；
C、提高作业：思考(a+b)3=？(a+b)4 =？(a+b+c)2 =?
D、阅读作业：P34读一读“杨辉三角”。
附： 成长记录卡 姓名________ 日期________
我对这节课的看法是___________________. 对于这节课我喜欢的是_________________.
我参与最多的是_______________________. 我参与最少的是_______________________.
今天的学习,谁帮助了我_________________. 我帮助了谁__________ _______.
我正在_________________方面取得进步. 我希望在_______________方面多加努力.
我想说:________________________________________
_______________________________________________
五、教学反思与设计说明：
通过本节课的教学实践，我再次体会到：教师是用教材教，不是教教材，要注重挖掘教材中知识与能力的生长点与切入点。本节课教学中我没有将重点放在公式的大量练习上，而是更多地关注公式的发现和探索过程，真正转变了学生的学习方式，同时也培养了学生的学习能力，这正是新课程标准提倡的教学方法。
我这节课的教学设计是以提高学生的学习能力和数学素养为指导思想，以学生积极参与数学活动为目标，以公式探索为载体，以猜想、验证与反思为主线，让学生在轻松愉悦的气氛中获取知识、掌握方法！整个教学既突出了学生的主体地位，以发挥了教师的指导作用。
让反思贯穿于数学学习的始终，是本节课的特色。一开始通过学生对类比猜想的式子进行反思、验证，明确了问题，激发了探究热情；在找到结论后，又通过对结论的反思，初步感受到将结论固化为公式的合理性；在运用公式解题时，又及时反思其特点和运用方法，概括为口诀；最后又让学生在找错误中反思其错误原因，畅谈解题心得。整个学习从反思中开始，在反思中结束。教学实践表明，效果十分理想，在随后的调查作业中就证明了这一点。我班同学基本上杜绝了(a±b)2=a2±b2的错误，但还有12人错了符号或中间项，原因有多方面：一是我班学生个体差异较大，二是我对学困生的辅导还不够，三是没有充分发挥学生之间的互帮互助作用，以后要不断改进。
附：两个班完成调查作业情况对比表
人
数
全
对
错了符号或中间项
错(a±b)2
= a2±b2
能写出公式推导过程
我班
62人
48人
12人
2人
56人
对比班
58人
21人
21人
16人
20人
调 查 作 业
老师发现同学们在学完《整式乘法》这一章的各种公式后，在作业中总是出现各种各样的错误，不知是不是我们在公式教学中存在不足，还是同学们思维定势的影响，为了查清原因，改进方法，特向大家作一调查，请把你的真实情况反馈给我们，也许你“不小心”的错误对我们有很大的启发。
班级 姓名 座号
一、判别正误（对的打√，错的打×）
1、（2 a）2 = 22·a2 = 4a2 ( ) 2、 () 2 == （ ）
3、(m·n)2 = m2·n2 ( ) 4、(m÷n)2 = m2÷n2 ( )
5、(m+n)2 = m2 + n2 ( ) 6、(m－n)2 = m2－n2 （ ）
二、填空
5、 (2+a)2 =_____________ 6、(a－2)2 = _________
7 、(ab+1)2 =_____________ 8、(x+)2 = _________
三、计算
9、 (2x－3y)2 10、(－a－b)2 11、(－a + b )2
四、判断正误（对的打√错的打×，有错就改，改在横线上）
12、(a+2)2 = a2+2a+4 （ ）________ _
13、(2a+1)2 = 4a2+1 ( ) _________
14、(2a－1)2 = 2a2－2a+1 ( ) _________
15、(a－3)2 = a2－9 ( ) __________
16、(x－5)2 = x2－10x－25 ( ) _____ _
五、你有哪些方法得出 (a+b)2 =？ (a－b)2 =？（方法写在背面，看谁方法多）
课件35张PPT。北师大版七年级《数学》下册 完全平方公式完全平方公式一、教材分析 教材的地位和作用 本节内容是在学生学习了整式的乘法和平方差公式之后，继续学习的一个乘法公式。在熟练掌握多项式的乘法运算后，分析多项式乘法中特殊类型的运算规律，用来简化运算，对培养学生的求简意识有很大好处；同时，乘法公式是后续学习因式分解、分式运算等内容的重要基础，公式的推导又是初中数学中运用推理的方法进行代数式恒等变形的开端；另外，公式的发现与验证过程为学生以后探究新知的学习活动积累很好的方式和方法。一、教材分析 数学公式是数学中重要的基础知识，利用公式进行计算是重要的基本技能。怎样让学生经历公式发现和提炼的过程，感悟其作为公式的合理性，使学生进一步感受数形结合的魅力，从代数推理和几何背景等多角度探索公式，在深入理解的基础上灵活运用公式，是我这节课教学研究的重点。所以我确定以下教学目标：1、知识与技能：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算,进一步发展符号感和推理能力；了解完全平方公式的几何背景，感受数与形之间的联系，培养学生用图形解释数的能力及创造性思维和表达能力。2、过程与方法：经历探索完全平方公式的全过程， 培养学生观察、发现、猜想、验证、推理等多种探 索知识的方法，从中渗透转化、化归、数形结合思想，培养学生求简意识，应用意识及辩证统一观念。3、情感态度与价值观：通过反思问题情境的创设， 体验数学活动充满探索与发现，激发学生探索的热情，并鼓励学生探索算法的多样化，体会到解决问题策略的多样性，积累探索数学公式的学习经验，从中感受数学公式的简洁美，进一步提高学生的参与意识和合作精神。一、教材分析 教学重难点 抽象的数学公式的教学，不仅要重视它的运用，更要关注它的实际背景与形成过程，才能有效地帮助学生克服机械地记忆、模仿和套用公式。只有让学生经历公式的发现和验证的过程，才能更好地理解、掌握和运用公式。重点：经历完全平方公式的探索过程, 理解公式的
结构特点、语言描述和几何背景，并会运用
公式进行简单计算。教
材
分
析学
情
教
法教
学
设
计教
学
反
思完全平方公式二、
学
情
教
法二、
学
情
教
法二、学情教法 ? 于是，我决定改变教学思路，从学生的错误猜想中切入，提出问题:(a+b)2=a2+b2 ?引导学生先自主探索 (a+b)2=a2+b2+2ab发现与验证的过程，再类比猜想、验证 (a－b)2=? 然后进行合作交流运用公式。在错误的反思中学习新知。 完全平方公式三、教学设计环节一：创设情景 引新设疑因为(a·b)2 = a2·b2
所以，我猜想：
(a+b)2 = a2+b2 请问他的猜想对吗？请你帮助他验证。 ?我们小组认为(a + b)2 ≠ a2 + b2，因为(a + b)2表示a与b和的平方而a2 + b2表示a与b平方的和，意义不同，所以不相等。 环节二：合作交流 探索新知环节二：合作交流 探索新知 这是我们学校门口那个边长为a米的正方形花坛，现要进行扩建，将它的边长增加b米，你有哪些方法求出扩建后的正方形花坛的面积？比一比看谁方法多？ 如何用图形来验证公式:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ?S小= a 2S大=S小+2S梯
= a2+2× (a+a+b)b
= a2+ 2ab+ b2说说公式的特点运用公式计算：
① (x + 1)2
② (2x +3)2
③ (mn + a)2
在小组内交流计算结果你做对了吗?需要帮助吗? 环节三：参与其中 体验特征两数和的完全平方公式：
(a + b)2 = a2 + 2ab+b2环节四：类比猜想 继续探索请你猜猜(a －b)2 = ?
能验证你的猜想吗？环节四：类比猜想 继续探索你能运用公式(a +b)2 = a2 +2ab + b2计算(a －b)2=? 两数和(或差)的完全平方公式：
(a +b)2 = a2 +2ab + b2
(a－b)2 = a2－2ab + b2编成口诀吧!顺口又好记!和平方、差平方等于首平方、尾平方， 首尾乘积的2倍在中央。 (a－b)2=［a+（－b)］2 = a2 + 2a(-b)+(- b)2 = a2－2ab+ b2 都有a2 + b2，只是2ab符号不同，和(差)平方取正(负)； (a+b)2=(a－b)2 +4ab、 (a－b)2=(a＋b)2 －4ab ……口决：区别联系环节五：变式训练 感悟应用 例1：计算 ① (2x +3y)2 ② ( 3x－2y)2
③ (－2t+1)2 ④ (－2t－1)2( + )2=( )2+2× × +( )2 =4x2+12xy+9y2学生做出了如下多种解法：
( -2t－1)2=［( -2t)+(-1)］2 =( -2t)2+2×( -2t)×(-1)+(-1)2=4t2+4t+1
( -2t－1)2=［( -2t)－(+1)］2=( -2t)2－2×( -2t)×1+12 =4t2+4t+1
( -2t－1)2=［- (2t + 1)］2 = (2t+1)2 =(2t)2+2×2t×1+12=4t2+4t+1(a+b)2 = a2 +2× a ×b +b22x 3y2x2x3y3y环节五、变式训练 体验特征例2、明辨是非，知错能改。
①(a + 1)2 = a2 + 1 （ ）
②(a－1)2 = a2 － 1 （ ）
③(a + 2)2 = a2 + 2a +4 （ ）
④(2a－1)2 =2a2－2a + 1 （ ）
⑤(a－2)2 = a2－4a－ 4 （ ）
⑥(a－2b)2 = a2－2ab +2b2 （ ） 畅谈解题心得：
要认准a、b； 注意乘积时添括号(2b)2； 小心别漏了2ab项；
别忘了中间项乘2； 要先确定是和平方还是差平方；
结果有三项，别犯(a+b)2＝a2 + b2 ，(a－b)2＝a2－b2错误……
课堂练习:
计算:
环节六、学会评价 布置作业 畅谈本节课你学到哪些知识和方法？ 评价你自己的学习表现有哪些长处和不足？在小组活动中，你的同伴谁最优秀，他有 哪些优点值得你学习？并填写成长记录卡。作业
A、必做作业：课本P43习题中“知识技能”1、2；
B、选做作业：课本P43习题中“联系拓展”1、2；
C、提高作业：思考(a+b)3=？(a+b)4 =？
D、阅读作业：课本P41读一读“杨辉三角”。让“不同的人在数学上得到不同的发展”. 符合评价方式采用定性和定量相结合的原则附：板书设计猜想：(a + b)2 ≠ a2 + b2 ?
猜想：(a －b)2 ≠ a2－b2 ?(a + b)2 = a2 +2ab + b2
(a－b)2 = a2－2ab + b2验证方法：例1：例2：作业：两数和(或差)的完全平方公式完全平方公式四、教学反思 让反思贯穿于数学学习的始终，是本节课的特色。一开始通过学生对错误的类比猜想的式子进行反思、验证，明确了问题，激发了探究热情；在找到结论后，又通过对结论的反思，初步感受到将结论固化为公式的合理性；在运用公式解题时，又及时反思其特点和运用方法，概括为口诀；最后又让学生在找错误中反思其错误原因，畅谈解题心得。整个学习从反思中开始，在反思中结束。 通过本节课的教学实践，我再次体会到：教师是用教材教，而不是教教材，要注重挖掘教材中知识与能力的生长点和切入点。本节课教学中我没有将重点放在公式的大量练习上，而是更多地关注公式的发现和探索过程，让学生充分经历了知识形成过程，转变了学生的学习方式，培养了学生的学习能力，这正是新课程标准提倡的教学方法。
本节课以提高学生的学习能力和数学素养为指导思想，以学生积极参与数学活动为目标，以公式探索为载体，以猜想、验证与反思为主线，让学生在轻松愉悦的气氛中获取知识、掌握方法！整个教学既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用。两个班完成调查作业情况对比表 调 查 作 业
老师发现同学们在学完《整式乘法》这一章的各种公式后，在作业中总是出现各种各样的错误，不知是不是我们在公式教学中存在不足，还是同学们思维定势的影响，为了查清原因，改进方法，特向大家作一调查，请把你的真实情况反馈给我们，也许你“不小心”的错误对我们有很大的启发。
班级 姓名 座号_______一、判别正误（对的打√，错的打×）
1、(2 a)2 = 22·a2 = 4a2 ( ) 2、 ( ) 2 = = （ ）
3、(m·n)2 = m2·n2 ( ) 4、(m÷n)2 = m2÷n2 ( )
5、(m+n)2 = m2+n2 ( ) 6、(m－n)2 = m2－n2 （ ）二、填空
5、 (2+a)2 = 6、(a－2)2 = ————
7 、(ab+1)2 = 8、(x+ )2 = ————
三、计算
9、 (2x－3y)2 10、(－a－b)2 11、(－a+b)2
四、判断正误（对的打√,错的打×，有错就改，
改在横线上）
12、(a+2)2 = a2+2a+4 （ ）________
13、(2a+1)2 = 4a2+1 ( ) _______
14、(2a－1)2 = 2a2－2a+1 ( ) _______
15、(a－3)2 = a2－9 ( ) ________
16、(x－5)2 = x2－10x－25 ( ) _______
五、你有哪些方法得出 (a+b)2 =？ (a－b)2 =？
（方法写在背面，看谁方法多） 敬请指导！
谢谢!观书有感-------朱熹
半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。
问渠哪得清如许，为有源头活水来。欢迎您来尤溪
