(共10张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.下列说法中正确的是( )
D
A.若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为
B.若直线的斜率为 ，则此直线的倾斜角为
C.平行于 轴的直线的倾斜角为
D.若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
2.（多选题）若经过点 和点 的直线的倾斜角为钝角，则实数
的值可能为( )
BCD
A. B.0 C.1 D.2
3.直线 经过 ， 两点，直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，则
的斜率为( )
D
A. B. C.1 D.
4.[2023泰州调研] 若直线 经过 ， 两点，则直线 的倾斜角
的取值范围是( )
C
A. , B. , C. , D. ,
5.（2023如东测试）若三点 , , 共线，则实数 的值为__.
6.已知点 ， ，若直线 过点 且与线段 相交，求直线 的
斜率 的取值范围.
解 如图， , ，要想直线 过点 且与线段 相
交，则 或 .所以 的取值范围是 , .
B层 能力提升练
7.过点 , 的直线的倾斜角 的取值范围是 ，则实数 的取值范
围是( )
B
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，正三角形 的边 所在直线的斜率是0，则边 ， 所
在直线的斜率之和为( )
B
A. B.0 C.3 D.
9.已知坐标平面内三点 ， ， .若 为 的 边上一
动点，则直线 的倾斜角的取值范围为_ _____.
,
[解析] 如图，当直线 绕点 由 逆时针转到 时，直线
与线段 恒有交点，即点 在线段 上，此时 由 增大
到 ，所以 的取值范围为 , ，即直线 的倾斜角的
取值范围为 , .
10.若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的一条边所在直线的斜率
为_ __________________（写出任意一条边所在直线的斜率即可）.
（答案不唯一）
[解析] 由题意，在如图所示的平面直角坐标系中画出正方形 ，
其中对角线 所在直线的斜率为3.设对角线 所在直线的倾斜角为
，则 ，由正方形的性质可知，直线 的倾斜角为
，直线 的倾斜角为 ，故
， .
故答案为 （答案不唯一）.
11.（1）如果直线的倾斜角 ，那么当 增大时，直线的斜率将怎样变化？如
果 呢？
解 因为正切函数 在 , ， , 上均为单调递增函数，所以如果直线的倾
斜角 , ，那么当 增大时，直线的斜率将从0逐渐增大；
如果直线的倾斜角 , ，那么当 增大时，直线的斜率将从 逐渐增大.
（2）能否说直线的倾斜角增大时斜率也增大？为什么？
不能.因为当直线的倾斜角 , 时，直线的斜率为正，且随着倾斜角的增大而增
大，当直线的倾斜角 , 时，直线的斜率为负，且随着倾斜角的增大而增大，故
不能说直线的倾斜角增大时斜率也增大.
C层 拓展探究练
12.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线
反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先
根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这
样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从
,
点 无旋转射入，经过 轴（桌边）上的点 反弹后，经过点 ，则点
的坐标为_ ______.
[解析] 设 ，点 关于 轴对称的点 ，则 ，
.由题意， , , 三点共线，所以 ，即 ，解
得 ，故点 的坐标为 , .(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的斜率和倾斜角的概念.3.通过用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.直线的斜率
对于直线 上的任意两点 ， ,
（1）如果 ,那么由相似三角形的知识可知， 是一个定值，我们将其
称为直线 的斜率. .
（2）如果 ,那么直线 的斜率不存在.
知识点2.直线的倾斜角
（1）直线的倾斜角的定义
在平面直角坐标系中，对于一条与 轴相交的直线，把 轴绕着交点按逆时针方
向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个
角 称为这条直线的倾斜角.
（2）当直线与 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0.
（3）直线的倾斜角 的取值范围是 .
（4）直线的倾斜角的图形表示：如图， 的倾斜角为0， 的倾斜角为锐角，
的倾斜角为直角， 的倾斜角为钝角.
知识点3.直线的斜率与倾斜角的关系
（1）从关系式上看：若直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率 .
（2）从几何图形上看：
直线情形
0
0 不存在
0 不存在
（1）所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.
（2）当直线的倾斜角是 时，其斜率不存在，此时，直线垂直于 轴（即平行于 轴或与 轴重合）.
名师点睛
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线的斜率
例1 （原创题）已知点 , .
（1）求直线 的斜率；
解 因为 ， ，
所以 ．
（2）设 为 轴上的一点，若直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，求点 的坐标；
设 ，因为 ， ，所以 ， .
因为直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，所以 ，解得 ，即
点 的坐标为 ．
（3）设 为 轴上的一点， , , 三点共线，求点 的坐标；
设 ，因为 ， ， 三点共线，所以 ，即 ，解得 ，
即点 的坐标为 ．
（4）将直线 绕着其与 轴的交点逆时针旋转 ，求得到的新直线的斜率.
设直线 的倾斜角为 ，则 .将直线 绕着其与 轴的交点逆时针旋转
，则 ，故新直线的斜率是 ．
题后反思
（1）已知直线的倾斜角 ,求其斜率 时，若 ，根据公式 直
接计算.当倾斜角 未知时，可根据直线与其他直线的位置关系（如平行、垂直等）
确定所求直线的倾斜角 ，再代入 计算.
（2）已知直线上两点 , ，求该直线的斜率 时，首先应检验两点的
横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式 直接计
算.
跟踪训练1 根据图中提供的信息，按从大到小的顺序排列图
中各直线 的斜率 ，并写出各直线的斜率.
解 由已知可得, ， ， ，
， ，所以 ．
【题型二】直线的倾斜角
例2（1） （多选题）下列说法中，正确的是( )
AC
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为
C.倾斜角为 的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为 ，则
[解析] 任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；直线的倾斜角的取值范围为
，故B错误；倾斜角为 的直线平行于 轴或与 轴重合，有无数条，故C
正确；直线的倾斜角 的取值范围为 ， ，故D错误．故选
．
（2）（多选题）设直线 过原点，其倾斜角为 ，将直线 绕坐标原点沿逆时针方向
旋转 ，得到直线 ，则直线 的倾斜角可以为( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 因为直线的倾斜角 的取值范围为 ，所以当 时，逆时针旋转 后得到的 的倾斜角为 ；当 时，逆时针旋转 后得到的 的倾斜角为 ．故选 ．
题后反思
求解有关直线的倾斜角问题时，一定要紧紧抓住定义，即要搞清楚倾斜角的顶点、始边和终边.
跟踪训练2 （多选题）若直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的倾斜角可能
为( )
ABC
A. B. C. D.
【题型三】直线的斜率和倾斜角的综合问题
例3 已知两点 , ，过点 的直线 与线段 有公共点.
（1）求直线 的斜率 的取值范围；
（2）求直线 的倾斜角 的取值范围.
（1）要使直线 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是 .
（2）由题意可知，直线 的倾斜角介于直线 与 的倾斜角之间.又直线 的倾斜角是
，直线 的倾斜角是 ，所以 的取值范围是 }.
题后反思
过定点的直线与线段相交，求斜率或倾斜角的范围问题，首先要准确画出图形，关注定点与线段端点连线斜率或倾斜角的情况，进而分析求解.
,
.
跟踪训练3 若过点 的直线与以点 , 为端点的线段相交，则直
线的倾斜角的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.(共13张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.过点 ，倾斜角为 的直线方程为( )
B
A. B.
C. D.
2.下列说法中正确的是( )
D
A.每一条直线都有斜截式方程
B.方程 与方程 可表示同一条直线
C.直线 过点 ，倾斜角为 ，则其方程为
D.倾斜角是钝角的直线，其斜率为负数
3.[2023苏州月考] 直线 在 轴上的截距为( )
C
A. B. C. D.
4.[2023扬州调研] 直线 经过第二、三、四象限，则斜率 和在 轴上的截
距 满足的条件为( )
B
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.（多选题）在 轴上的截距为 ,且与 轴相交成 角的直线方程可能是( )
AC
A. B. C. D.
解 直线 的方程为 .
因为 ，又 ，所以 .
如图， 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到直线 的倾斜角为
，所以 ，所以直线 的方程为
6.直线 过点 ，斜率为 ，把 绕点 按顺时针方向旋转 角得直线 ，
求直线 和 的点斜式方程.
B层 能力提升练
7.直线 恒过定点( )
B
A. B. C. D.
8.（多选题）已知等边三角形 的两个顶点 ， ，则 边所在直线的
方程可能是( )
BC
A. B. C. D.
9.在等腰三角形 中， ， ， ，点 在 轴的正半轴上，则直
线 的点斜式方程为( )
D
A. B.
C. D.
10.方程 表示的直线可能是图中的( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为 .当 时，斜率 ，
在 轴上的截距 ，则直线 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；
当 时，斜率 ，在 轴上的截距 ，则直线 过第二、三、四
象限，仅有选项B符合.故选B.
11.[2023无锡质检] 若直线 经过点 ，且在 轴上的截距的取值范围是 ，
则其斜率 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 如图，
取点 ， ,
则 ， 因为直线 与线段
相交（不与点 , 重合），所以 或 故
选A.
12.（多选题）已知直线 过点 ，且与 轴和 轴围成一个内角为 的直角三角
形，则满足条件的直线 的方程可以是( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 由题意，直线 的倾斜角可以是 或 或 或 ，所以直线 的斜率
或 或 或 ，所以直
线 的方程可以为 或 或
或 ，由 ，整理得
，此时直线过原点，无法与 轴和 轴围成直角三角形.故选 .
13.已知 ， ，若点 在线段 上，则 的最小值为( )
A
A. B.3 C.7 D.8
[解析] 直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
即
所以线段 的方程为 ，所以
，因此， 的最小值为 .故选A.
14.在平面直角坐标系中， 为坐标原点，过点 作直线 分别与 轴正半轴、
轴正半轴交于点 ， .求 面积的最小值及此时直线 的方程.
解 因为点 在第一象限，且直线 分别与 轴正半轴、 轴正半轴相交，所以直
线 的斜率 ，则设直线 的方程为 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，所以
.
因为 ，所以 , ，
所以 ，当且仅当
，即 时等号成立.所以 面积的最小值为6.此时直线 的方程
为 ，即 .
C层 拓展探究练
15.有一根蜡烛,点燃 后，蜡烛长为 ；点燃 后，蜡烛长为 .
已知蜡烛长度 与燃烧时间 可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽
共耗时____ .
35
[解析] 根据题意，不妨设直线方程为 ，则 解得
所以直线方程为 ，当 时，即 ，解得
，所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时 .
（1）若 ， 的交点坐标为 ，同时 过点 ， 过点 ，求出
， 满足的关系；
解 依题意直线 ，直线 ，
又 过 ，所以 且 ，即 且 .又 过
，所以 且 ，即 且 .
若选①，则 ，所以 ，即 且 ，
；
若选②，则 ，所以 ，即 且 ， .
16.若两条相交直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，斜率均存在，分别为 ， ，且 ，若 ， 满足___（从 , 两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答）.
（2）在（1）的条件下，若直线 上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单
位长度，仍在该直线上，求实数 ， 的值.
直线 ，将直线 向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长
度得到直线 ，即 ，所以
，解得 ，此时直线 ，所以 ，
解得 .
若选①，则 ，此时直线 ，所以 ，解得
；
若选②，则 ，此时直线 ，所以 ，解得
.(共18张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.直线的点斜式方程
已知直线 经过点 ，且斜率为 ，则直线 的方程为 .
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程.
当直线 的倾斜角为 时（如图1）， ，即 ，这时直线 与 轴
平行或重合，直线 的方程是 ，即 .
图1
当直线 的倾斜角为 时（如图2），直线斜率不存在，这时直线 与 轴平行
或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时直线 上每一点的横坐标都等于 ，所
以直线 的方程是 ，即 .
图2
知识点2.直线的斜截式方程
我们把直线 与 轴的交点 的纵坐标 称为直线 在 轴上的截距.如果直线 的斜率为 ，且在 轴上的截距为 ，那么方程为 ，即 叫作直线的斜截式方程.当 时， 表示过原点的直线；当 且 时， 表示与 轴平行的直线；当 且 时， 表示与 轴重合的直线.
名师点睛
（1）纵截距不是距离，它是直线与 轴交点的纵坐标，可为正数、负数或零.纵
截距也可能不存在，比如当直线与 轴垂直时.
（2）由于有些直线斜率不存在，即有些直线在 轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线的点斜式方程
例1 根据条件判断下列直线能否用点斜式表示，若能，写出直线的点斜式方程：
（1）过点 ，斜率 ；
解 由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为 ．
（2）过点 ，倾斜角为 ；
由题意知，直线的斜率 ，故所求直线的点斜式方程为
．
（3）过点 ，且与 轴平行；
因为直线与 轴平行，所以斜率不存在．由于直线上所有点的横坐标都是 ，故这条
直线的方程为 ，该直线不能用点斜式表示．
（4）过点 ，且与 轴垂直.
由题意可知，该直线的斜率不存在，所以直线的方程为 ，该直线不能用点斜式表示．
规律方法 求直线的点斜式方程的思路
提醒：只有在斜率存在的情况下，方程才能用点斜式表示.
跟踪训练1 若直线 过点 ，分别求满足下列条件时的直线的方程:
（1）倾斜角为 ；
解 直线的斜率 ，所以所求的直线方程为 ．
（2）平行于 轴；
平行于 轴的直线的斜率 ，故所求的直线方程为 ．
（3）过原点.
过点 与 的直线的斜率 ，故所求的直线方程为 ．
【题型二】直线的斜截式方程
例2 根据下列条件，分别写出直线的斜截式方程：
（1）过点 ，且在 轴上的截距为6；
解 由题意可知，直线的斜率存在且过点 ，则设直线的方程为 .又因为直线过点 ，所以 ，解得 ，所以直线的斜截式方程为 ．
（2）过点 ，且在 轴上的截距为3.
由题意可知，直线的斜率不为0且过点 ，则设直线的方程为 .又因为直
线过点 ，所以 ，解得 ，所以直线的方程为
，故所求直线的斜截式方程为 ．
规律方法 求解直线的斜截式方程的策略
（1）求直线的斜截式方程，只要分别求出直线的斜率和在 轴上的截距，代入方
程即可.
（2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的
斜截式方程.
跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在 轴上的截距是5；
解 由直线的斜截式方程可知，所求直线的斜截式方程为 ．
（2）倾斜角为 ，在 轴上的截距是 ；
因为倾斜角为 ，所以斜率 ．由斜截式方程可得，所求直线
的斜截式方程为 ．
（3）倾斜角为 ，和 轴的交点与原点间的距离为3.
因为直线的倾斜角为 ，所以其斜率 ．因为直线和 轴的交点与原点间的距离为3，所以直线在 轴上的截距 或 ,所以所求直线的斜截式方程为 或 ．
【题型三】点斜式、斜截式方程的综合应用
例3 已知直线 过点 ，且与 轴和直线 围成的三角形的面积为2，求直线
的方程.
解 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，经检验，符合题目要求.当直线
的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 当 时，
显然不符合题意；当 时，令 ，得 .由三角形的面积为2，得
，解得 ，故直线 的方程为 ，即 .
综上，直线 的方程为 或 ．
题后反思
本题考查利用待定系数法求直线的点斜式方程，注意要对直线的斜率是否存在进行讨论.
跟踪训练3 已知直线 的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线 的
方程.
解 设直线 的方程为 ，当 时， ；当 时， 由已
知得, ，即 ，所以 ．故直线 的方程为
或 ．(共18张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解两条直线平行的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行.3.能利用两条直线平行的条件解决问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.两条直线平行与斜率之间的关系
设有两条不重合的直线 , ,倾斜角分别为 , ,斜率（存在时）分别为 , ，
则对应关系如下:
前提
对应关系
图 示
名师点睛
（1） 成立的前提:
①两条直线的斜率都存在; 与 不重合.
（2）当两条直线 与 不重合且斜率都不存在时, 与 的倾斜角都是 ,则
.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论: 或 , 的斜率都不存在.
知识点2.平行直线系方程
在直线 中,当斜率 一定而 变化时,表示平行直线系方程,与直线 （ , 不全为0）平行的直线系方程是 （ ， 是参变量）.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】两条直线平行的判定
例1 （多选题）下列直线 与直线 平行的有( )
AC
A.直线 过点 ， ，直线 过点 ，
B.直线 过点 ， ，直线 过点 ，
C.直线 过点 ， ，直线 的倾斜角为 且不过原点
D.直线 过点 ， ，直线 的斜率为0
[解析] A选项中， ， ，且两条直线不重合，故
；B选项中， ， ，因为 ，所以两条
直线不平行；C选项中， ， ，且两条直线不重
合，故 ；D选项中，直线 的斜率不存在，直线 的斜率为0，所以两条直线
不平行.故选 ．
规律方法 由直线方程判断两条直线平行的方法
方程形式 斜截式 一般式
方程
平行
重合
跟踪训练1 直线 与直线 的位置关系是( )
C
A.相交但不垂直 B.平行 C.重合 D.垂直
【题型二】由直线平行求参数
例2 已知直线 , ，求满足下列条件的
的值或取值范围：
（1） 与 相交；
解 因为 与 相交，所以 ，所以 且 ．故当
且 时， 与 相交．
（2） ；
因为 ，所以
解得 ．故当 时， ．
（3） 与 重合.
因为 与 重合，所以
解得 ．故当 时， 与 重合．
题后反思 由直线平行求参数的方法
首先研究斜率是否存在.若斜率存在,根据斜率相等、截距不相等列出关于参数的方程或方程组求解；若斜率都不存在，需排除直线重合的情况.
跟踪训练2 已知集合 与集合
, 满足 ，求实数 的值.
解 因为 ， ， ，所以直线 与
有公共点.因为 ，所以两条直线重合，
所以 ，得 ，解得 或 .
【题型三】由平行关系求直线方程
例3（1） [2023徐州调研] 过点 且与直线 平行的直线方程为
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题可得，设平行于直线 的直线的方程为
.因为所求直线过点 ，所以 ，解得
，所以所求直线的方程为 ．故选D．
（2）已知直线 ，其中 ， 不全为0，且直线 ，求证：直线
的方程总可以写成 .
证明 由题意，直线 ，其中 ， 不全为0，且直线 ，当
时，直线 的方程可化为 ，可得直线 的斜率为 ，所以直
线 的方程可写成 ；当 时，由 ，得直线 的方
程可化为 ，则直线 的方程为 ，即
.综上，直线 的方程总可以写成 .
规律方法 与已知直线平行的直线方程的求法
（1）若直线 与已知直线 平行，则可设 的方程为
，然后利用待定系数法求参数 ，从而求出直线 的方程.
（2）若直线 与已知直线 平行，则可设 的方程为
，然后利用待定系数法求参数 ，从而求出直线 的方程.
跟踪训练3 求与直线 平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角
形面积是24的直线方程.
解 因为直线 的斜率为 ,所以设所求直线方程为 ,令
,得 ；令 ,得 .由题意, , ,所以 ,所以
,所以 ,故所求直线方程为 ,即 .(共17张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.若经过点 和 的直线 与斜率为 的直线互相垂直，则 的值是
( )
A
A.2 B. C. D.4
2.以 ， 为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A
A. B. C. D.
3.[2023靖江质检] 已知直线 与直线 垂直，
则 ( )
D
A.3 B.1或 C. D.3或
4.已知直线 过点 且与直线 垂直，则 的方程是( )
B
A. B. C. D.
5.已知 ， ， ， 四点，若顺次连接 ， ， ， 四点，
则四边形 的形状是( )
D
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形
6.直线 ， ，则“ ”是“ ”的
( )
B
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知直线 过点 ，且与直线 垂直，其中 ， 不全为0，
求证：直线 的方程为 .
证明 由直线与 垂直可得所求直线的方程为 .因为直线 过点 ，所以 ,即 ,所以直线 的方程为 ,即
B层 能力提升练
8.[2023常州月考] 若原点在直线 上的射影是 ，则直线 的方程为( )
C
A. B.
C. D.
9.已知等腰直角三角形 的斜边所在的直线是 ，直角顶点是
，则两条直角边 ， 的方程是( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.[2023长沙调研] 已知直线 ，
互相垂直，则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
11.若 ， ， 分别是 的三个内角 ， ， 的对边，则直线
与直线 的位置关系是( )
C
A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定
[解析] 易知直线 的斜率为 ，直线
的斜率为 .
在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，所以两条直线垂
直.故选C.
12.已知点 ， ， .若 为直角三角形，则必有( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 若点 为直角顶点，则点 在 轴上，则 必为0，此时点 ， 重合，不符
合题意；
若点 为直角顶点，则 ；
若点 为直角顶点，根据斜率关系可知 ，所以 ，
即 .以上两种情况皆有可能，所以必有 成立.
故选C.
13.[2023扬州测试] 若三条直线 ， 和
围成直角三角形，则 _ _________.
或
14.已知直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的3倍，且直线 与 垂直，
则直线 的斜率为_ ____.
[解析] 因为直线 ,所以直线 的斜率为 .设 ， 的倾斜角分别为
， ，则 ，
所以 .
因为直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的3倍,所以 ，
所以 ，所以直线 的斜率 .设直
线 的斜率为 ,因为直线 与 垂直，所以 ，所以 .所以直
线 的斜率为 .
15.已知 的顶点 ， ，其垂心为 ，求顶点 的坐标.
解 设 ，因为点 为 的垂心，所以 ， .
又 ， ， ， ,
由
解得
所以点 的坐标为 .
16.如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长
，宽 ，其中一条小路定为 ，另一条小路过点 ，
问如何在 上找到一点 ，使得两条小路所在的直线 与 互相垂
直？
解 如图，以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系.
由 ， ，可得 ， ， .
设点 的坐标为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
即当 时，两条小路所在的直线 与 互相垂直.
C层 拓展探究练
17.过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，则
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 依题意有
解得
所以 .因为当 时， 取最小值 ，
则有 ，所以 的取值范围是 .故选D.
18.在平面直角坐标系中，已知矩形 的长为2，宽为1，边 ， 分别在 轴、
轴的正半轴上，点 与坐标原点重合，将矩形折叠，使点 落在线段 上.若折痕所
在直线的斜率为 ，求折痕所在的直线方程.
解 因为折叠的过程中，点 落在线段 上，特别地，如果折叠后
重合，这时折痕所在的直线斜率为0，然后根据点 和对折后的对
应点关于直线折痕对称，即可求出折痕所在的直线方程.
当 时，点 和点 重合，折痕所在的直线方程为 .
当 时，如图，将矩形折叠后点 落在线段 上的点设为 ，
则点 与点 关于折痕所在的直线对称，由
，即 ，解得 ，故 ，所以折痕所
在的直线与 的交点坐标为 , ，所以折痕所在的直线方程为
，即 .综上，折痕所在的直线方程为
.(共21张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.直线 和 的交点坐标为( )
C
A. B. C. D.
2.（多选题）两条直线 与 的交点坐标就是方程
组 的实数解，下列说法正确的是( )
ABC
A.若方程组无解，则两直线平行 B.若方程组只有一解，则两直线相交
C.若方程组有无数多解，则两直线重合 D.方程解的个数与直线位置无关
3.[2023泰州月考] 若三条直线 ， ， 交于一点，
则 ( )
C
A. B.2 C. D.
4.（多选题）两条直线 与 的交点在 轴上，那
么 的值为( )
BC
A. B.6 C. D.0
5.若直线 与直线 的交点在第一象限内，则实数
的取值范围是_ _______.
,
6.[2023宿迁检测]
（1）求经过两直线 和 的交点且与直线
平行的直线 的方程；
解 依题意，由
解得 所以交点为 ， .
因为直线 与直线 平行，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（2）求经过两直线 和 的交点 ，且与直线
垂直的直线 的方程.
解 方法一 解方程组 得 .
因为直线 的斜率为 ，且 ，所以直线 的斜率为 ，由斜截式可知 的方程
为 ，即
方法二 设直线 的方程为 ，
即 .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
7.[2023如皋月考] 直线 经过两条直线 和 的交点，且___.
（1）求直线 的方程；
解 若选条件①，
联立 解得 即直线 与直线 的交点坐标为 .
设直线 的方程为 ，将点 代入直线 的方程，得 ，
解得 .
所以直线 的方程为 .
若选条件②，
联立 解得 即直线 与直线 的交点坐标为 .
因为直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 经过点 ，
所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即
（2）求直线 与坐标轴围成的三角形面积.
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答.
①与直线 垂直；
②直线 在 轴上的截距为 .
解 在直线 的方程 中，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以直线 与 轴的交点坐标为 , ，与 轴的交点坐标为 ，
所以直线 与坐标轴围成的三角形面积为 .
B层 能力提升练
8.曲线 与 的交点的情况是( )
A
A.最多有两个交点 B.两个交点 C.一个交点 D.无交点
9.在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点，称为整点.设 为整数，当直线
与直线 的交点为整点时， 的值可以取( )
A
A.8个 B.9个 C.7个 D.6个
10.[2023南通质检] 若三条直线 ， 与 共有
两个交点，则实数 的值为( )
C
A.1 B. C.1或 D.
11.若直线 与直线 的交点位于第二象限，则直线 的倾斜角
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 联立方程组
解得
因为两直线的交点位于第二象限，所以 且 ，解得 .
设直线 的倾斜角为 ，其中 ，即 ，解得 ，
即直线 的倾斜角的取值范围是 , .故选D.
12.[2023苏州调研] 若曲线 及 能围成三角形，则 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 曲线 由两条射线构成，它们分别是射线 , 及射线
, .
因为方程组 的解为 ，所以射线 , 与直线
有一个交点.
若曲线 及 能围成三角形，则方程组 必有一个解，
故 ，因此 .故选C.
13.如果三条直线 ， 和 将平面分为六个部分，
那么实数 的取值集合为_ __________.
[解析] 若三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线将平面分为七个部分；
如果这三条直线将平面分为六个部分，那么包括两种情况能够成立，
①是直线 过另外两条直线的交点，
由直线 和 的交点是 ，代入解得 .
②是直线 与另外两条直线平行，
当直线 和 平行时，只需 ，解得 ；当直线 和 平行时，只需 ，解得 .
综上， 的取值集合是 .
14.[2023太仓调研] 已知直线 ， 相交于点 ，其中
.
（1）求证： ， 分别过定点 ， ，并求点 ， 的坐标.
证明 在直线 的方程中，令 可得 ，则直线 过定点 ；在直线 的方程中，令 可得 ，则直线 过定点 .
（2）当 为何值时， 的面积 取得最大值？并求出最大值.
解 联立直线 ， 的方程 解得 即点 , ,
则 ，
.
因为 ，所以 .
因为 且 ，所以当 时， 取得最大值，即 .
C层 拓展探究练
15.已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，则关
于 和 的方程组 的解的情况是( )
B
A.无论 , , 如何，总是无解 B.无论 , , 如何，总有唯一解
C.存在 , , ，使之恰有两解 D.存在 , , ，使之有无穷多解
[解析] 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点， 的斜率存在，即 ，且 , ，
所以 .
由
,得 ，即 ，所以方程组有唯一解.故选B.
16.已知点 ， ， ，直线 将 分割为面积
相等的两部分，求 的取值范围.
解 由题意,得 的面积为 ，直线 与 轴的交点
为 , .
由直线 将 分割为面积相等的两部分，可得 ，故
，故点 在射线 上.
设直线 和 的交点为 ，则由 可得点 的坐标为 , .
①若点 和点 重合，如图，则点 为线段 的中点，故 ， ，把 , 两点的坐标代入直线 ，求得 .
②若点 在点 和点 之间，如图,此时 ，点 在点 和点 之间，由题意可得
的面积等于 ，即 ，即 ，可得
， 求得 ，故有 .
③若点 在点 的左侧，如图，则 ，由点 的横坐标 ，求得 .
设直线 和 的交点为 ，则由 求得点 的坐标为 , ，
此时，由题意可得 的面积等于 ，即 ，即
，化简可得
由于此时 ， ，
所以 .
两边开方可得 ，
所以 ，化简可得 ，
故有 .综上， 的取值范围是 ， .(共16张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.已知 ， ，则 等于( )
A
A.5 B. C. D.4
2.点 关于 轴的对称点 到原点的距离为 ( )
C
A.2 B.1 C. D.5
3.[2023新海月考] 设点 在 轴上，点 在 轴上， 的中点是 ，则 等
于( )
C
A.5 B. C. D.
4.已知点 ， ， ，且 ，则 的值是( )
C
A. B.2 C. D.
5.[2023南京调研] 已知点 ， ，点 在坐标轴上， ，则满
足条件的点 的个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知等腰梯形 中， ，对角线为 和 .用坐标法证明： .
证明 如图，建立平面直角坐标系，设 ， ， ，则点 的坐标是
，所以 ，
,故 .
B层 能力提升练
7.[2023济宁月考] 光线从点 射到 轴上，经 轴反射后经过点 ，则光
线从点 到点 的路程为( )
C
A. B. C. D.
8.（多选题）[2023徐州月考] 对于 ，下列说法正确的是( )
BCD
A.可看作点 与点 的距离 B.可看作点 与点 的距离
C.可看作点 与点 的距离 D.可看作点 与点 的距离
9.已知 , ，直线 上存在唯一点 ，使得 ，则
的值为( )
B
A. B. 或 C.1或 D.
10.已知 的三个顶点分别是 ， ， ， 是边 上的一
点，且 的面积等于 面积的 ，那么线段 的长等于( )
A
A.5 B. C. D.
[解析] 如图，
由于 的面积等于 面积的 ，故
设 ，由 ，得
，解得 ,
，即 ，所以 .
故选A.
11.（多选题）如图，已知直线 交 轴于点 ，交 轴于
点 ，过 ， 两点的抛物线交 轴于另一点 .若该抛物线的
对称轴上存在点 满足 是等腰三角形，则点 的坐标可以是
( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 直线 与 轴交点为 ，与 轴交点为 ，而 ，
故可设抛物线的方程为 ，将 代入得
，所以抛物线的方程为
，其对称轴为直线 .设 ，当
时， ，解得 ，所
以 或 .所以A选项正确.
当 时， ，解得 或
.由于点 在直线 上，故舍去，所以 ，所以B选项正确，
D选项错误.
当 时， ，解得 ，故
，所以C选项正确.故选 .
12.已知点 ， ，当 取最小值时，实数 的值是_ _.
13.在平面直角坐标系 中，过坐标原点的一条直线与函数 的图象交于 ，
两点，则线段 长的最小值是___.
4
14.函数 的最小值是_ ____.
[解析] ,问题就可以转化
为在平面直角坐标系中，在横轴上找到一点 ,使得该点
到 , 两点的距离之和最小,如图.根据平面内,两
点间线段最短,显然直线 与横轴的交点就是到 , 两点的距离之和最
小的点,即 .
15.在 中， 是 边上任意一点（ 与 , 不重合），且
.用坐标法证明： 为等腰三角形.
证明 如图，作 ，垂足为 ，以 边所在直线为 轴，以 边所在直线为
轴，建立平面直角坐标系.设 , , , 因为
，所以由两点间距离公式可得
，即 .又
，故 ，即 ,所以 ，即 为等腰三角形.
C层 拓展探究练
16.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形
和两个等腰直角三角形组成.若 ， ，现
准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平
方和最小，图中 , , , 是 的五等分点，则转播台应建在
( )
A
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
[解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， .设转
播台建在 处，则
，
所以当 且 时， 最小，所以转播台应建
在 处.故选A.
17.已知直线 ， ，直线 垂直于 ， ，且垂足分
别为 ， .若 ， ，求 的最小值.
解 因直线 垂直于 ， ，则设直线 的方程为 ，
由 得点 ，由 得点 ，而
， ，于是得
，而
表示动点 到定点
与 的距离的和，显然，动点 在直线 上，点 与
在直线 两侧，因此， ，当且仅当点 是直线 与线
段 的交点，即原点时取“ ”，此时 ，从而得
取最小值 ，所以当直线 的方程
为 时， 取最小值 .(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
对称问题是解析几何中比较典型、高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称.
知识点1.点关于点对称
设点 关于点 的对称点为 ，则有 所以
即点 .特别地，点 关于坐标原点 的对称点为
.
知识点2.点关于直线对称
设点 关于直线 的对称点为 ，则线段 的中点
在已知直线上且直线 与已知直线垂直，即 解此方程
组可得 ， ，即得点 的坐标.
知识点3.直线关于点对称
直线 关于点 的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点 ， 关于点 的对称点 ， 的坐标，则直线 的方程即为所求的直线方程.
知识点4.直线关于直线对称
（1）若已知直线 与已知对称轴相交，则交点必在与直线 对称的直线 上，
然后求出直线 上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点写出直线 的方程.
（2）若已知直线 与已知对称轴平行，则直线 关于对称轴对称的直线 与直线 平行，可以利用直线 与对称轴间的距离等于直线 与对称轴间的距离求解.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】点关于点对称
例1 过点 作直线 ，使它被直线 和 截得
的线段被点 平分，求直线 的方程.
解 设 与 的交点为 ，则由题意知，点 关于点 的对称点
在 上，将点 的坐标代入 的方程,得
，解得 ，即点 在直线 上，所以直线 的方程为
．
题后反思
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题.
解 由题意知， 是线段 的中点．
设点 ，由中点坐标公式得 解得 故 ．
跟踪训练1 求点 关于点 的对称点 的坐标.
【题型二】点关于直线对称
例2 已知入射光线过点 ，被直线 反射，反射光线过点
，求反射光线所在直线的方程.
解 设点 关于直线 的对称点为 ，则反射光线所在直
线过点 ，
所以 解得
又反射光线过点 ，所以所求直线的方程为 ，即 ．
题后反思
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：（1）两点连线与已知直线垂直；（2）两点所连线段的中点在已知直线上.
光的反射问题实质是点关于直线的对称问题，要注意转化.
跟踪训练2 已知直线 ，求点 关于 的对称点的坐标.
解 设点 关于直线 的对称点为 ，则线段 的中点在直线 上，且直线
垂直于直线 ，
即 解得 所以点 的坐标为 ．
【题型三】直线关于点对称
例3 求直线 关于点 对称的直线方程.
解 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为
由点到直线的距离公式，得 ，即
，解得 （即为已知直线，舍去）或 故所求的对称直线
方程为
题后反思
直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线相互平行，对称中心到两条直线的距离相等求解.
解 设直线 上任意一点 的坐标为 ，则此点关于点 的对称点为
，且点 在直线 上，所以
，即 ，所以所求直线 的方程为
．
跟踪训练3 求直线 关于点 的对称直线 的方程.
【题型四】直线关于直线对称
例4 已知直线 ，求直线 关于 的对称直线的方程.
解 解方程组 得 则点 在所求直线上．在直线
上任取一点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，则 解得
点 也在所求直线上．
由两点式，得直线方程为 ，化简得 ，即为所求直线方程．
规律方法 求直线 关于直线 对称的直线 的两种处理方法
（1）在直线 上取两点（一般取特殊点），利用求点关于直线的对称点的方法求
出这两点关于直线 的对称点，再用两点式写出直线 的方程.
（2）设点 是直线 上任意一点，其关于直线 的对称点为 （点
在直线 上），根据点关于直线对称建立方程组，用 ， 表示出 ， ，再代入
直线 的方程，即可得直线 的方程.
解 由题意知，直线 与直线 相交.
由 得 即交点为 ．
在直线 上取一点 ，则点 关于直线 对称的点 满足
解得 ．由直线的两点式方程，得 ，即直线 的方程为
．
跟踪训练4 求直线 关于直线 对称的直线 的方程.(共20张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 直线方程的求法及应用
1.直线方程的几种形式的转化
2.通过求直线方程，提升学生逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.
【典例1】 求适合下列条件的直线方程：
（1）过点 ，且在两坐标轴上的截距相等；
解 设直线 在 轴、 轴上的截距均为 ，若 ，则 过点 和点 ，所以
的方程为 ，即 ．
若 ，则设 的方程为 .
因为 过点 ，所以 ，所以 ，所以 的方程为 ．
综上，直线 的方程为 或 ．
（2）直线过点 ，且倾斜角为直线 的倾斜角的一半；
解 由 ，得此直线的斜率为 ，所以倾斜角为 ，从而所求直
线的倾斜角为 ，故所求直线的斜率为 ．又直线过点 ，所以所求直线
方程为 ，即
（3）在 中，已知 ， ，且 的中点 在 轴上， 的中点
在 轴上，求直线 的方程.
解 设 ，则 ， , ．因为点 在 轴上，所以
，所以 ．因为点 在 轴上，所以 ，所以 ，即
，所以 ， ，所以直线 的方程为 ，即
规律方法 求直线方程的两种思路
跟踪训练1 已知 ， ， ， ， 轴为 边的中线.
（1）求 边所在直线方程；
解 ， ，设 交 轴于点 ，则根据条件可知 为
等边三角形，则 ， 为 的中点，则 ，则 ，故
边所在直线方程为 ，即 ．
（2）求 的平分线所在直线方程.
解 因为 ，所以 ，
，所以 的平分线的斜率为
，故 的平分线所在直线方程为
，即 ．
要点二 两条直线平行与垂直
1.通过直线平行、垂直的判定，提升数学运算、逻辑推理的素养.
2.由平行、垂直关系求参数或直线方程，在两直线位置关系的分析过程中，培养数据分析、数学建模素养.
【典例2】（1） （多选题）[2023东海质检] 已知直线 ，
，则( )
AB
A.当 变化时， 的倾斜角不变 B.当 变化时， 过定点
C. 与 可能平行 D. 与 不可能垂直
[解析] 对于A，直线 的斜率为 ，当 变化时， 的倾
斜角不变，故A正确；对于B，直线 恒过定点 ，故B正
确；对于C，假设 与 平行，则 ，即 ，这与
相矛盾，所以 与 不可能平行,故C错误；对于D,假设 与 垂直，
则 ，即 ，所以 与 可能垂直,故D错误．故选 ．
（2）过点 ，且与 轴垂直的直线方程为__________;过点 ，且平行于过
两点 和 的直线方程为_ ________________.
[解析] 因为直线过点 ，且与 轴垂直，所以所求直线方程为 ．
由题意可知所求直线的斜率为 ，所以直线方程为 ，即
规律方法 由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
解 由斜率公式，得 ， ， ，
， ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以四边形 为平行四边形．又 ，所以 ．又 ，所以 与 不垂直，所以四边形 为矩形．
跟踪训练2 在平面直角坐标系 中，四边形 的顶点坐标分别为 ，
， ， ，其中 且 .试判断四边形 的形状.
要点三 距离问题
1.在公式推导过程中，培养直观想象、数学运算的素养.
2.在用两点间距离公式、中点公式、点到直线距离公式求解相关问题的过程中，提高数学运算的素养.
3.在处理代数结构时联想到距离公式，提升数学建模、直观想象的素养.
【典例3】（1） 若动点 ， 分别在直线 和 上移动，
则 的中点 到原点距离的最小值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为点 在直线 上，点 在直线 上， 是 的中点，所以点 在到两
直线 与 距离相等的平行线上.因为直线 和 ，
所以点 所在直线方程为 ，则 的最小值为 ．故
选C．
（2）设 ，已知直线 ，过点 作直线 ，且
，则直线 与 之间距离的最大值是_ ____ .
[解析] 由直线 ，整理得
，故 解得 即直线 恒过点
.因为过点 作直线 ，且 ，则最大距离
．
规律方法 距离公式综合应用的三种常见类型
（1）求最值的问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题；
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题；
③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值.
（2）求参数的问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.
（3）求方程的问题
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系（平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系），巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.
跟踪训练3（1） [2023泰州调研] 已知直线 ， 分别过点 ， ，若
它们分别绕点 ， 旋转，但始终保持平行，则 ， 之间的距离 的取值范围是
( )
A
A. B. C. .
（2）在函数 的图象上求一点 ，使点 到直线 的距离最短，则点
的坐标为_ _____.
