(共17张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.圆 的圆心和半径分别是( )
A
A. , B. , C. ,2 D. ,2
2.以 为圆心，4为半径的圆的方程为( )
C
A. B.
C. D.
3.已知圆的方程是 ，则点 满足( )
C
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
4.圆心在 轴上，半径为 ，且过点 的圆的方程为( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
5.[2023海安月考] 已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则
外接圆的标准方程为_ _____________________.
6.[2023新海月考] 与圆 同圆心，且面积等于圆 面积的一半的圆
的方程为_ _________________.
7.求满足下列条件的圆的标准方程.
（1）圆心在 轴上，半径为5，且过点 ；
解 设圆的标准方程为 因为点 在圆上，所以
，解得 或 ，所以所求圆的标准方程为
或 .
（2）经过点 ， ，且以线段 为直径；
解 设圆的标准方程为 ，由题意，得 ，
.又因为点 在圆上，所以 .所以所
求圆的标准方程为 .
（3）圆心在直线 上，且与直线 相切于点 ；
解 设圆心为 .因为圆与直线 相切于点 ，所以
，解得 .所以所求圆的圆心为 ，半径
.所以所求圆的标准方程为 .
（4）圆心在直线 上，且过点 ， .
解 设点 为圆心，因为点 在直线 上，故可设点 的坐标为
.又该圆经过 ， 两点，所以 ，所以
，解得 ，所以圆心坐
标为 ，半径 . 故所求圆的标准方程为 .
B层 能力提升练
8.方程 所表示的曲线是( )
D
A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆 D.两个半圆
9.圆 关于直线 对称的圆的方程为( )
A
A. B.
C. D.
10.（多选题）已知圆 为常数， 不经过第二象限，则实
数 的值可以为( )
CD
A. B.0 C.2 D.4
11.（多选题）设有一组圆 ，下列命题正确的是
( )
ABD
A.不论 如何变化，圆心 始终在一条直线上
B.所有圆 均不经过点
C.经过点 的圆 有且只有一个
D.所有圆的面积均为
[解析] 圆心坐标为 ，在直线 上，故A正确；令 ，化简得 ，因为 ，所以 无实数根，故B正确；由 ，化简得 ，因为 ，所以 有两个不相等的实根，所以经过点 的圆 有两个，故C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为 ，故D正确.故选 .
12.（多选题）直线 分别与 轴、 轴交于 ， 两点，点 在圆
上，则 面积的可能取值是( )
BCD
A. B.2 C.4 D.6
[解析] 在 中，令 ，得 ；令 ，得 ，所以
， ，所以 ，由 知，圆心为 ，半
径 ，所以圆心 到直线 的距离 ，所以点
到直线 的距离 满足 ，即 ,所以
面积的范围为 ,即 .所以三角形的
面积可以为2,4,6.故选 .
13.已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则 的方
程为_ ____________.
14.[2023南通期中] 设 是圆 上的动点， 是直线 上的
动点，则 的最小值为___.
4
15.已知矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为
，点 在 边所在直线上.
（1）求 边所在直线的方程；
解 因为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直，所以直线 的斜率为 .
又因为点 在直线 上，所以 边所在直线的方程为 ，即 .
（2）求矩形 外接圆的方程.
解 由 得
所以点 的坐标为 .因为矩形 的两条对角线的交点为 ，所以 为矩形 外接圆的圆心.又 ，所以矩形 外接圆的方程为 .
16.有一种大型商品， ， 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品
运回来，每千米的运费 地是 地的2倍.若 ， 两地相距10千米，顾客选择 地或
地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，则不同地点的居民应如何选择购买此商
品的地点？
解 以直线 为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
设 ，则 .
在坐标平面内任取一点 ，设从 地运货到 地的运费为 元/千米，则从 地
运货到 地的运费为 元/千米.若 地居民选择在 地或 地购买此商品均一样，则
，整理得圆 .即圆 上
的居民可随意选择 ， 两地之一购物；圆 内的居民应在 地购物；圆 外的居民
应在 地购物.
C层 拓展探究练
17.已知圆 ，点 与 ， 为圆 上的动点，当
取最大值时，点 的坐标是_ ________.
，
[解析] 设 ，则
， 的几
何意义是点 到原点的距离，
由已知，圆心 ，半径为1， 到 的距离 ，所以 的最大值是
，所以 的最大值为 由直线 与圆
，可得 ，所以 或 ，
所以当 取最大值时，点 的坐标是 ， .
18.已知抛物线 ： ，过点 的直线 交 于 , 两点，圆 是以线段
为直径的圆.
（1）证明：坐标原点 在圆 上；
证明 设 , ，直线 .由 可得
，则 .又 , ，故 .因此
的斜率与 的斜率之积为 ，所以 .故坐标原点 在圆 上.
（2）设圆 过点 ，求直线 与圆 的方程.
解 由（1）可得 , .故圆心 的坐标
为 ，圆 的半径 .由于圆 过点 ，因此
，故 ，即
，由（1）可得 , ，
所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为
，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为
.
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 , ，圆 的半
径为 ，圆 的方程为 .(共18张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.圆的方程为 ，则圆心坐标为( )
D
A. B. , C. D. ,
2.已知点 ，圆的一般方程为 ，则点 与圆的位置关
系是( )
C
A.点 在圆外 B.点 在圆内且不是圆心
C.点 在圆上 D.点 是圆心
3.[2023泰州调研] 如果 是圆的方程，那么实数 的取值范围
是( )
B
A. B. C. D.
4.若直线 始终平分圆 的周长，则 的值为( )
C
A.4 B.6 C. D.
5.[2023海州月考] 过三点 ， ， 的圆的方程是( )
A
A. B.
C. D.
6.经过点 和 ，且圆心在 轴上的圆的一般方程为_________________.
7.求经过两点 ， ，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的一般方程.
解 设所求圆的方程为 ，令 ,得 ，所
以圆在 轴上的截距之和为 令 ,得 ，所以圆在
轴上的截距之和为 .由题意，得 ，
所以 .①
又 ， 在圆上，
所以 ，②
，③
由①②③解得 ， ，
故所求圆的一般方程为 .
8.（2023淮阴质检）已知圆 ，圆心在直线
上，且圆心在第二象限，半径为 ，求：
（1）圆 的一般方程；
解 圆的标准方程为 ，圆心为 , ，半径为
，所以
解得 或
又圆心在第二象限，所以
所以圆的一般方程为
（2）圆 关于直线 的对称圆方程.
由（1）知圆心为 ，设它关于直线 的对称点为 ，
则 解得 所以对称圆方程为 .
B层 能力提升练
9.已知圆 的圆心在直线
上，则该圆的面积为( )
A
A. B. C. D.
10.当 取不同的实数时，由方程 可以得到不同的圆，则
( )
A
A.这些圆的圆心都在直线 上
B.这些圆的圆心都在直线 上
C.这些圆的圆心都在直线 或 上
D.这些圆的圆心不在同一条直线上
11.若点 是圆 内一点，则过点 的最长弦所在
的直线方程是( )
C
A. B. C. D.
12.已知圆 关于直线 对称，则有
( )
B
A. B. C. D.
13.若曲线 上所有的点均在第二象限内，则 的
取值范围为( )
C
A. B. C. D.
14.已知直线 ，圆 ，则 与 在同一平面
直角坐标系中的图形可能是( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由 ，得 ，所以圆心
，半径为 ，由此可知圆 过坐标原点，所以排除B，C；由选项A，
D可知 , ，所以直线 过第一、三、四象限，故选A.
15.已知圆 过点 , , ，点 , 在圆 上，则 面积的最大值
为_ __.
[解析] 设圆 的方程为 ，将 , , 代入
可得，
解得 故圆 的一般方程为
，
即 ，
故 的面积 ,
所以 面积的最大值为 .
16.由曲线 围成的图形的面积为_ ______.
[解析] 曲线 可化为
，
当 , 时，方程化为 ，易知曲线关
于 轴、 轴、原点均对称，由题意，作出图形如图中实线所示，
则此曲线所围成的图形由一个边长为 的正方形与四个半径为
的半圆组成，故所围成图形的面积是 .
17.已知关于 ， 的二元二次方程 .
（1）当 在什么范围内取值时，方程表示圆？
解 若方程 表示圆，
则 ,整理可得 ，解得 .所以当 在 , 内取值时，方程表示圆.
（2）当 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程.
由 可得
，
设圆的半径为 ，则 ，所以当 ,
时， ，所以 ，此时圆的方程为
，即 .
综上，当 时，方程表示的圆的半径最大，半径最大时圆的方程为
.
C层 拓展探究练
18.如图， 是边长为1的正三角形，点 在 所在的平面内，且
（ 为常数），下列结论正确的是( )
C
A.当 时，满足条件的点 有且只有一个
B.当 时，满足条件的点 有三个
C.当 时，满足条件的点 有无数个
D.当 为任意正实数时，满足条件的点 总是有限个
[解析] 如图，以 边所在直线为 轴， 中点为原点，建立平面
直角坐标系，则 , ， ， ， ， .
设 ，可得 ， ，
.
因为 ，所以
，
化简得 ，即 ，配方，得
当 时，方程①的右边小于0，故不能表示任何图形；
当 时，方程①的右边为0，表示点 ， ，恰好是正三角形的重心；
当 时，方程①的右边大于0，表示以 ， 为圆心，半径为 的
圆，由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.故选C.
19.已知二次函数 的图象与坐标轴有三个不同的交点，经过
这三个交点的圆记为 ，求圆 经过定点的坐标（其坐标与 无关）.
解 二次函数 的图象与坐标轴有三个不同的交点，记为
, , ，易知 ， , 满足 ， ，
， .设圆 的方程为 ，则
，得 ， ，所以 ，
从而 ，代入③，得 ，所以圆 的方程为
，整理得 ，
由 解得 或
所以圆 过定点 和 .(共20张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.直线 与圆 的位置关系是( )
A
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
2.直线 截圆 截得的弦长为( )
D
A. B.2 C. D.4
3.过点 作圆 的切线 ，则切线 的方程为( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
4.[2023无锡月考] 若直线 与圆 相切，则
( )
D
A.3 B. C. 或1 D.3或
5.（多选题）已知圆 ，下列命题正确的是( )
AC
A. 为过点 的圆 的一条切线
B. 为过点 的圆 的一条切线
C. 为过点 的圆 的一条切线
D. 为过点 的圆 的一条切线
6.圆心为 ，且截直线 所得弦长为 的圆的方程为__________
______________________.
（ ）
（ ）
7.已知圆 ，直线
（1）当 为何值时，直线 与圆 相切？
解 由 可得 ，所以圆心为 ，半径
.
因为直线 与圆 相切，所以圆心到直线的距离为 ，解得 ，
所以当 时，直线 与圆 相切.
（2）当直线 与圆 相交于 ， 两点，且 时，求直线 的方程.
圆心到直线的距离为 ，所以弦长 ，
整理可得 ，解得 或 ，所以直线 的方程为
或 .
B层 能力提升练
8.直线 与圆 的位置关系是( )
C
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
9.[2023新高考Ⅰ] 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，
则 ( )
B
A.1 B. C. D.
10.已知直线 与圆 相交于 , 两点，则“ ”是“
”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则
反射光线所在直线的斜率为( )
D
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在
直线的斜率为 ，则反射光线所在直线方程为 ，即
.又因为光线与圆 相切，所以
,整理，得 ，解得 或 .故选D.
12.[2023连云港调研] 不论 为何值，直线 都与圆相交，则该圆的
方程可以是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] ，即 ，所以直线恒过点 .对于
A，圆心为 ，半径为5，点 与圆心的距离为
，
即点 不在该圆内；
对于B，圆心为 ，半径为5，点 与圆心的距离为
，
故点 在该圆内；
对于C，圆心为 ，半径为5，点 与圆心的距离为
，
故点 不在该圆内；
对于D，圆心为 ，半径为5，点 与圆心的距离为
，
故点 在该圆上，可能相切也可能相交.故选B.
13.已知直线 是圆 的一条对称轴，过
点 向圆 作切线，切点为 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由圆 ，可知该圆的圆心坐标为 ，半径为2.
因为直线 是圆 的一条对称轴，所以圆心
在直线 上，所以 ，解得 .因为过点
向圆 作切线，切点为 ，所以 ，所以
.故选C.
14.（多选题）已知直线 与圆 ，点 ，则下列
说法正确的是( )
ABD
A.若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B.若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
C.若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
D.若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
[解析] 圆心 到直线 的距离 .
若点 在圆 上，则 ，所以 ，则直线 与圆 相
切，故A正确；
若点 在圆 内，则 ，所以 ，则直线 与圆 相
离，故B正确；
若点 在圆 外，则 ，所以 ，则直线 与圆 相
交，故C错误；
若点 在直线 上，则 ，即 ，所以
，直线 与圆 相切，故D正确.故选 .
15.若直线 与圆 交于 ， 两点，则弦长
的最小值为___.
2
16.已知集合 ， .若
，则实数 的取值范围是_ _____________.
（ , ］
结合图形不难求得，当 时，直线 与半圆 有公共点.
[解析] 数形结合法，注意 ， 等价于
，它表示的图形是圆 在 轴上方的
部分（如图所示）.
17.[2023扬州调研] 已知圆 与直线 相
交于 , 两点且 .
（1）求 的值；
解 的圆心为 ，半径 ，圆心到直
线 的距离 ，则 ，解得
，所以 的值为1.
（2）过点 作圆 的切线，切点为 ，再过点 作圆 的切
线，切点为 ，若 ，求 的最小值（其中 为坐标原点）.
由（1）知圆 的圆心为 ，半径 ，设 ，由切线的性质，得
，圆 的圆心为
，半径 ，同理， .
因为 ，所以 ，化简得
，又点 到直线 的距离为 ，点
到直线 的距离为 ，故直线 与两圆都无公共点，
点 的轨迹为直线 ，所以 的最小值即为原点到直线
距离 .
C层 拓展探究练
18.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则
称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”，
否则称为“平行相交”.已知直线 ， 和圆
： 的位置关系是“平行相交”，则 的取值范围为
( )
D
A. ， B.
C. ， D. ， ，
[解析] 圆 的标准方程为 ，由两直线平行可得 ，
解得 或 .又当 时，直线 与 重合，故舍去.此时两平行直线方程
分别为 和 .由直线 与圆
相切，得 ，由直线 与圆 相切，得
，当两直线与圆都相离时， ，所以“平行相交”时， 满足
故 的取值范围是 .故选D.
19.如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为
的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 的 处出
发，径直驶向位于海监船正北 的 处岛屿，速度为 .
（1）求外籍船航行路径所在的直线方程.
解 如图，以 为原点，东西方向为 轴，南北方向为 轴，建立平面
直角坐标系.则 ， ，圆 ，则直线
，即 .
故外籍船航行路径所在的直线方程为 .
（2）问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？
设 到直线 的距离为 ，则 ，所以外籍轮船能被海监船监测
到.
设监测时间为 ，则 ，
所以外籍轮船被监测到的持续时间为 .(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解直线与圆的三种位置关系.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.直线 与圆
的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法
知识点2.关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 .
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线与圆位置关系的判断
例1 已知直线方程 ，圆的方程 .求 为
何值时，圆与直线：
（1）相交；（2）相切；（3）相离.
解 将直线方程 代入圆的方程化简整理，得
．因为 ，所以:
（1）当 ，即 或 时，直线与圆相交．
（2）当 ，即 或 时，直线与圆相切．
（3）当 ，即 时，直线与圆相离．
题后反思
直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数.因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
跟踪训练1 直线 与圆 的位置关系是( )
A
A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交
【题型二】直线与圆相切问题
例2 过点 作圆 的切线，求此切线方程.
解 因为 ，所以点 在圆外，故切线有两条．
若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 ，则切线方程为 ，即
．设圆心为 ，
因为圆心 到切线的距离等于半径1，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ,所以切线方程为 ，
即
若直线斜率不存在，圆心 到直线 的距离为1，这时直线 与圆相切，
所以另一条切线的方程为 ．
综上，所求切线方程为 或 ．
规律方法 圆的切线方程的求法
（1）点在圆上时,求过圆上一点 的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的
斜率 ，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程.若斜率为零或不
存在，则由图形可直接得切线方程为 或 .
（2）点在圆外时,①几何法：当切线斜率存在时，设切线方程为
.由圆心到直线的距离等于半径，可求得 ，即可得切线方程.②代
数法：当切线斜率存在时，设切线方程为 ，与圆的方程联立，消
去 后得到关于 的一元二次方程，由 求出 ，可得切线方程.
注意验证过点的直线斜率不存在时，是否与圆相切.
跟踪训练2 [2023扬州调研] 过点 作圆 的切线 ，则
的方程为( )
C
A. B. 或
C. D. 或
【题型三】直线与圆相交问题
例3 已知直线 与圆 相交于 ， 两点，且
，求 的值.
解 圆 的圆心为 ，半径 .因为直线
与圆 相交于 ， 两点，且 ，所以圆心到直线的距离
，即 ，解得 （舍去）
或 ,所以 的值为 .
规律方法 求圆中弦长常用的两种方法
（1）利用圆的半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 之间的关系
解题.
（2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，则直接用两点间距离公式计
算弦长.
跟踪训练3 圆 与直线 的位置关系为( )
C
A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能
【题型四】直线与圆位置关系的实际运用
例4 [2023镇江调研] 已知在某滨海城市 附近的海面出现台风活动，据监测，目前台
风中心位于城市 的东偏南 方向，距城市 的海面点 处，并以
的速度向西偏北 方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的
圆形区域，半径为 ，则城市 受台风影响的时间为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图， ， ，台风中心沿 方向
以 的速度移动，台风中心距离城市 的最短距离为
又以台风中心为圆心的圆形
区域的半径为 ，所以台风中心在以城市 为圆心，半径为
的圆内时，城市 受台风影响．以城市 为圆心，半径为 的圆
截直线 所得弦长为 ， 则城市 受台风影响的
时间为 故选B.
规律方法 解决直线与圆的实际应用题的步骤
1 审题 从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知
2 建系 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素
3 求解 利用直线与圆的有关知识求出未知量
4 还原 将运算结果还原到实际问题中
跟踪训练4 [2023南通调研] 某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的
圆形区域，一名工作人员持手机以50米/分的速度从设备正东方向 米的 处出发，
沿 处西北方向走向位于设备正北方向的 处，则这名工作人员被持续监测的时长为
( )
C
A.1分钟 B. 分钟 C.2分钟 D. 分钟
[解析] 如图，以设备的位置为坐标原点 ，其正东方向为 轴正方向，
正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系 ，则 ，
，可得 ，圆 ．
记从 处开始被监测，到 处监测结束，因为点 到 的距离为
（米），所以 （米），故监测时
长为 （分钟）．故选C．(共12张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.若圆 与圆 内切，则 ( )
A
A. B. C. D.
2.若两圆 和 有3条公
切线，则 ( )
D
A. 或 B. 或 C. 或2 D. 或2
3.圆 和圆 交于 ， 两点，则 的垂直平分
线的方程是( )
D
A. B. C. D.
4.已知圆 、圆 相切，圆心距为 ，其中圆 的半径为 ，则圆 的半径为
_ _____________.
或
5.已知圆 的圆心为 ，若圆 与圆 的公共弦所在直线过点
，则圆 的方程为_ ____________________________.
（ ） （ ）
6.[2023徐州月考] 圆 的方程为 ，圆 的圆心为 .
（1）若圆 与圆 外切，求圆 的方程；
解 圆 的方程为 ，圆心坐标为 ，半径为1，圆 的圆心 .
圆心距为 ，圆 与圆 外切，所求圆 的半径为4，所以圆 的方程为 .
（2）若圆 与圆 交于 ， 两点，且 ，求圆 的方程.
圆 与圆 交于 ， 两点，且 ，所以圆 到直线 的距离为
.当圆 到 的距离为 时，圆 的半径为
.圆 的方程为 .当圆 到 的距离
为 时，圆 的半径为
.
圆 的方程为 .
综上，圆 的方程为 或 .
B层 能力提升练
7.已知圆 ，圆 .
若圆 平分圆 的圆周，则正数 的值为( )
A
A.3 B.2 C.4 D.1
8.已知圆 ，圆 ，则下列不是
， 两圆公切线的直线方程为( )
D
A. B. C. D.
9.[2023扬州调研] 已知圆 与圆 的公
共弦所在直线恒过点 ，且点 在直线 上，则 的取值范围
是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由圆 ，圆 ，得圆 与圆
的公共弦所在直线方程为 ，可得定点 .
又 在直线 上，所以 ，即 ，所以
，所以 的取值范围是 .故选A.
10.已知圆 和两点 ， .若圆 上有且
只有一点 ，使得 ，则 ______.
4或6
[解析] 由题意，两点 ， ，且 ，可得点 落在
以 为直径的圆上，即圆 ，
要使得圆 上有且只有一点 ，使得 ，等价
于圆 与圆 只有一个公共点，即两圆相切，可得两圆的圆心距为
.
当两圆相外切时，可得 ，即 ，解得 ；
当两圆相内切时，可得 ，即 ，解得 .
综上，实数 的值为4或6.
11.已知圆 与圆 相交于点 ， ，则四边形
的面积为_ ____.
[解析] 根据条件易知 ， ，所以 ，把 代入
，得 ，把 代入 ，得 ，所以
.因为 ，所以四边形 的面积为
.
12.在平面直角坐标系 中，圆 与圆 相交
于 ， 两点.
（1）求线段 的长；
解 由圆 与圆 方程相减可知，相交弦 所在直线的方程为
点 到直线 的距离 ，
.
（2）记圆 与 轴正半轴交于点 ，点 在圆 上运动，求 面积最大时的直
线 的方程.
因为 ， .
.
当 时， 取得最大值，此时 .又 ，则直线 的
方程为 .
由 得 或 ，
当点 时， ，此时直线 的方程为 ；
当点 时， ，此时直线 的方程为 .
所以直线 的方程为 或 .
C层 拓展探究练
13.[2023张家港月考] 在平面直角坐标系 中，已知圆 与圆
相交于 ， 两点.若圆 上存在点 ，使得 为
等腰直角三角形，则实数 的值组成的集合为_ ____________________.
, , }
[解析] 由题意,得直线 的方程为 ,当 或
时,设 到 的距离为 ,因为 为等腰直角三角形,所以
,即 ,所以 ,所以 ,解得 ；当
时, 经过圆心 ,则 ,即 .综上，实数 的值组成的集
合为 , , }.(共22张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法，会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.圆与圆的位置关系及其判定
几何法：若两圆的半径分别为 ， ，两圆的圆心距为 .
位置关系 图示
外离
外切
位置关系 图示
相交
内切
内含
续表
代数法：通过两圆的方程组成的方程组的公共解的个数进行判断.
消元，得到一元二次方程，
知识点2.两圆的公切线
（1）定义
与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，包括外公切线和内公切线.
（2）公切线的条数
位置关系 图示 公切线条数
外离 4
外切 3
位置关系 图示 公切线条数
相交 2
内切 1
内含 0
续表
知识点3.两圆公共弦所在直线方程
圆 ，
圆 ，
则 为两圆公共弦所在直线方程.
知识点4.圆系方程
（1）过直线 与圆 的交点的圆系方程
是 .
（2）以点 为圆心的同心圆系方程是 .
（3）与圆 同心的圆系方程是
.
（4）过一定点 的圆系方程是
.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】圆与圆位置关系的判断
例1（1） 圆 ， ，判断
圆 与圆 的位置关系；
解 把圆 的方程化为标准方程，得 ，所以圆 的圆心坐标
为 ，半径 ．
把圆 的方程化为标准方程，得 ，圆 的圆心坐标为 ，
半径 ．
圆 和圆 的圆心距 .又 ，
，
而 ，即 ，所以两圆的位置关系是相交．
（2）试分别确定圆 与
外切、内切、相交、内含、外离时， 的取
值范围.
将两圆的一般方程化为标准方程，得 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半径
．
从而圆心距 ．
当两圆外切时， ，即 ，解得 .
当两圆内切时， ，即 ，解得 .
当两圆相交时， ，即 ，解得 .
当两圆内含时， ，即 ，解得 .
当两圆外离时， ，即 ，解得 ．
规律方法
判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆的圆心距 与两圆的半径 , 的关系，若 ，则两圆外切；若 ，则两圆内切；若 ，则两圆外离；若 ，则两圆内含；若 ，则两圆相交.
根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况.
跟踪训练1 [2023通州调研] 圆 与圆
的位置关系为( )
A
A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定
[解析] 圆 的圆心为 ，半径 .
由 ，得 ，所以圆
的圆心为 ， ，半径 ，所以
.因为
，所以 ，所以
,所以两圆相交．故选A.
【题型二】两圆相切问题
例2 [2023南通质检] 已知半径为 的圆 与圆 外切于点 ，求
圆心 的坐标.
解 由题意知，圆 的圆心为 ，半径 ，设所求圆 的圆心为
，
若圆 与圆 外切于点 ，则必有 ， ， 三点共线且
，
即 解得 或
当 ， 时，圆 与圆 内切，不合题意；
当 ， 时，圆 与圆 外切，符合题意.故点 的坐标是
．
题后反思
处理两圆相切问题时，首先，分两圆内切和外切两种情况；其次，将两圆相切的
问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外
切时）.
本题易错点是在求解出参数值后，忽略两圆内切也满足三点共线且圆心距为 的情
况，造成增根.
跟踪训练2 已知点 在圆 上.若圆 过点
，且与圆 相切于点 ，则圆 的标准方程为_ ___________________.
（ ）
[解析] 将点 的坐标代入圆 的方程 ，可得
，
所以圆 的方程为 ，化为标准方程可得
，圆心为 .
设圆 的标准方程为 ，圆心为 ，直线 的
方程为 ，即 .把 的坐标代入得 .
又 ，解得 ， ，所以
，故圆 的标准方程为 ．
【题型三】两圆相交问题
例3 已知两圆 和 .
（1）试判断两圆的位置关系；
解 将两圆方程配方化为标准方程，得 ，
，
则圆 的圆心为 ，半径 ；圆 的圆心为 ，半径
．
又 , ， ，所以
,所以两圆相交．
（2）求公共弦所在直线的方程；
将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为 ．
（3）求公共弦的长度.
圆心 到直线 的距离 ，所以两圆的公共弦长为
．
规律方法
（1）若两圆相交，则有一条公共弦.将两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数.
（2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解.
跟踪训练3 [2023常州调研] 圆 与圆 交
于 ， 两点，则 ( )
D
A.6 B.5 C. D.(共35张PPT)
01
第2章测评
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知圆的一般方程为 ，其圆心坐标是( )
C
A. B. C. D.
2.圆 关于 轴对称的圆的方程为( )
A
A. B.
C. D.
3.圆 与 的公切线有且仅有
( )
B
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
4.若过点 的直线 被圆 截得的弦长为8，则直线 的方程为
( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
[解析] 若直线 的斜率不存在，则 的方程为 ，圆心 到 的距离为3，易求
得弦长为8，符合题意；若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，即
，故圆心 到 的距离 ，解得 ，
则 的方程为 .综上，直线 的方程为 或 .
故选C.
5.已知 为圆 上一动点，则点 到直线 的距离的最大
值是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为圆 ，所以圆心坐标为 ，半径为 ，所以圆心到
直线的距离 ，所以圆 上的点到直线 的
距离的最大值为 .故选C.
6.由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为( )
D
A. B. C.4 D.2
[解析] 设 为直线 上任意一点， ，切线长的最小值
为 .故选D.
7.已知圆 和点 ， .若圆 上存在点 ，
使得 ，则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设点 的坐标为 ，因为 ，点 ， ，所以
，化简得 .又因为点 在圆
上，所以圆 与圆 有公共点，
所以 且 ，解得 .故选D.
8.[2023南通质检] 已知 ， 分别是曲线 ,
上的两个动点， 为直线 上的一个动点，则
的最小值为( )
D
A. B. C.2 D.3
[解析] 圆 的圆心 ，半径 ，圆
的圆心 ，半径 .设圆心 关于直线
的对称点为 ，则 解得 故
，所以
.
故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.圆上的点 关于直线 的对称点仍在圆上，且圆的半径为 ，则圆的方
程可能是( )
AD
A. B.
C. D.
10.[2023无锡期中] 已知圆 ，圆 与圆 关于直线
对称，则( )
AD
A.圆心 到直线 的距离为
B.圆心 到直线 的距离为
C.圆 的方程为
D.圆 的方程为
[解析] 根据题意，设圆 的圆心为 ，圆 ，其圆心
为 ，半径为2，所以圆心 到直线 的距离 ，
故A正确，B错误.若圆 与圆 关于直线 对称，则圆 与圆 的圆
心关于直线 对称，且圆 的半径为2，则有 解得
则圆 的方程为 ，故C错误，D正确.故选 .
11.已知直线 ，圆 ，则下列结论正确
的是( )
AD
A.直线 与圆 恒有两个公共点
B.圆心 到直线 的最大距离是
C.存在一个 值，使直线 经过圆心
D.当 时，圆 与圆 关于直线 对称
[解析] 由直线 ，即 ，得
解得 则直线 过定点 ， .圆 可化为
，圆心坐标为 ，半径 .
因为 ，所以点 在圆 内部，所以直线 与圆
恒有两个公共点，故A正确.圆心 到直线 的最大距离为 ，故B错误.当
， 时， ，即直线 不过圆心 ，故C错
误.当 时，直线 为 ，圆 的圆心坐标为 ，半径为1，圆
的圆心坐标为 ，半径为1，两圆的圆心关于直线 对
称，且半径相等，则当 时，圆 与圆 关于直线 对称，故D
正确.故选 .
12.[2023 启东月考] 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现了平面内到两个定点 , 的
距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼奥斯圆”.在平面直角
坐标系中，已知点 , ，点 满足 ，设点 的轨迹为圆 ，则下列
说法正确的是( )
ABD
A.圆 的方程是
B.过点 向圆 引切线，两条切线的夹角为
C.过点 作直线 ，若圆 上恰有三个点到直线 的距离为2，则该直线的斜率为
D.过直线 上的一点 向圆 引切线 ， ，切点分别为 ， ，则
四边形 的面积的最小值为
[解析] 对于A，因为点 , ，点 满足 ，设点 ，则
，化简得 ，即 ，
故A正确；对于B，因为 , ，设两条切线的夹角为 ，所以
，得 ，则 ，故B正确；对于C，易知直线的斜率存在，设直
线 的方程为 ，即 ，因为圆 上恰有三个点到
直线 的距离为2，所以圆心到直线 的距离 ，解得
，故C错误；对于D，由题意可得
，故只需求 的最小值即可，且
为点 到直线 的距离，即 ，所以四边形 的
面积的最小值为 ，故D正确.故选 .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.写一条斜率为1的直线，使它与圆 相切，你写的是________
_________________.
（答案不唯一）
[解析] 圆 的圆心为 ，半径为 ，因为直线
与圆 相切，所以点 到直线 的距离为
，整理得 ，解得 或 ，所以 的值为3或
.故可写直线为 （答案不唯一）.
[解析] 设圆的一般方程为 ，若圆过 ， ，
三点，则 解得 此时圆的一般方程为
；
14.[2023海门月考] 过四点 ， ， ， 中的三点的一个圆的方程
为________________________________________________________________________
______________________________
或 或
或
若圆过 ， ， 三点，则 解得
此时圆的一般方程为 ；若圆过 ， ， 三点，
则 解得 此时圆的一般方程为 ；
若圆过 ， ， 三点，则 解得 此
时圆的一般方程为 .
15.已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若当
时， 有最大值4，则 ___， ___.
2
1
16.已知圆 ，直线 .若直线 与圆
和圆 均相切于同一点，且圆 经过点 ，则圆 的标准方程为____________
__________.
（ ）
[解析] 圆 ，圆心 ，半径为 .因为圆 与直线
相切，所以 ，解得 ，所以直线 .
由 解得 切点为 .设 ，所以
①，
且 ②，由①②得 , ，所以 ，所以圆 的半径为
，所以圆 的标准方程为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知点 ， ，求：
（1）过点 , 且周长最小的圆的标准方程；
解 当 为直径时，过点 , 的圆的半径最小，则其周长最小，所以圆心为 的中
点 ，半径 为 ，所以圆的标准方程为
.
（2）过点 , 且圆心在直线 上的圆的标准方程.
设圆的标准方程为 ，
由 得
所以圆的标准方程为 .
18.（12分）实数 ， 满足 ，求：
（1） 的最大值和最小值；
（2） 的最大值和最小值.
（1） 表示圆上的点 与点 连线的斜率，设过点 的圆的切线斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，由 ，得 或
，结合图形可知， 的最大值为0，最小值为 .
（2）令 ，即 ，故 表示过圆上的点且斜率等于 的直线在
轴上的截距，当直线 和圆相切时，有 ，所以 ，
故 的最大值为 ，最小值为 .
解 如图，在平面直角坐标系中，方程
表示圆心为 ，半径为2的圆.
19.（12分）[2023镇江期中] 已知圆 ，圆
.
（1）求圆 与圆 的公共弦长；
解 由条件得圆 的圆心为 ，半径 ,将两圆的方程作差即可得出两圆的公
共弦所在的直线方程，
即 ，化简得 ，
所以圆 的圆心 到直线 的距离 ，
则两圆的公共弦长为 .
（2）求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程.
由题意，设过两圆的交点的圆的方程为
, ，则
, .由圆心 , 在直线 上，
则 ，解得 ，所以圆的方程为 ，即
.
20.（12分）已知圆 .
（1）若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程；
解 圆心 的坐标为 ，半径为2，因为直线 被圆 截得的弦长为 ，所以由勾
股定理得到圆心 到直线 的距离 .①当直线 的斜率不存在时， ，显然
满足 ；②当直线 的斜率存在时，设 ，即
，由圆心 到直线 的距离 ，得 ，解得 ，
所以 .综上，直线 的方程为 或 .
（2）若直线 过点 与圆 相交于 ， 两点，求 的面积的最大值，并求
此时直线 的方程.
因为直线 与圆 相交，所以 的斜率一定存在且不为0.设直线 的方程为
，即 ，则圆心 到直线 的距离 .
又因为 的面积
，所以当
时， 取最大值2，由 ，得 或 ，所以直线 的方
程为 或 .
21.（12分）[2023扬州调研] 如图，在平面直角坐标系 中，已知圆
，过点 及点 的圆 与圆 外切.
（1）求圆 的标准方程；
解 由题意知，圆心 在直线 上（圆心 在线段 的垂直平分线上）.设
，圆 的半径为 .因为圆 与圆 外切，且点 为 ，半径为 ，所
以 ，即 ①.又
，即 ②，由①②，得 ，即
，故 ，即 .再代入②可得 ，解得
或 .又 ，所以 ，所以 .故圆 的标准方程为
.
（2）直线 上是否存在点 ，使得过点 分别作圆 与圆 的切线，切点分别为
， （不重合），满足 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由.
存在，设 ，由 可知 ，即 ，所
以 ，即 ，整理
得 ③.
又直线 的方程为 ④，
所以由③④解得 ， 或 ， .由于 ， 两点不重合，故 ，
不符合题意，舍去.故存在点 符合题意.
22.（12分）[2023苏州期末] 如图，已知圆 与 轴的左、
右交点分别为 ， ，与 轴的正半轴交于点 .
（1）若直线 过点 且与圆 相切，求直线 的方程；
解 由圆的方程可得圆心 ，半径为3，由题意可得点 ，
， ，当直线 的斜率不存在时，所以直线 的方程为
，显然与圆 相切；当直线 的斜率存在时，设 的方程为
，整理可得 ，可得圆心 到直
线 的距离 ，由直线与圆相切可得 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 ，即
.综上，直线 的方程为 或
（2）若点 ， 是圆 第一象限内的点，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ，
是线段 的中点，直线 ，求直线 的斜率.
由题意可得 ，设点 ，则由题意可得点 ，所以直线 的方程
为 ，代入圆的方程可得 ，整理可得
，可得 .而 ，所以
， ，所以点 ， . 的方程为
，代入圆的方程，得 ，同理可得
， ，
所以点 ， ，
所以 ，
整理可得 ， ,
解得 ，
所以直线 的斜率为 .(共19张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.轨迹和轨迹方程的定义
平面上一动点 ，按照一定规则运动，形成的曲线叫作动点 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.
知识点2.求轨迹方程的五个步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系，用 表示曲线上任意一点 的坐标；
（2）设点：写出适合条件的点 的集合 ；
（3）列式：用坐标 表示条件 ，列出方程 ；
（4）化简：化方程 为最简形式；
（5）限制说明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
知识点3.求与圆有关的轨迹常用方法
（1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等；
（3）定义法，根据圆、直线等定义列方程；
（4）几何法，利用圆的几何性质列方程.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直接法
例1 [2023南京调研] 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前 公元前190年）的
著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与
两定点距离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗
尼奥斯圆.已知 ， ，圆 上有且仅有一个点
满足 ，则 的值可以为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 设动点 ，由 ，得 ，整理得
.
又点 是圆 上有且仅有的一点，所以两圆相切．
圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆
的圆心坐标为 ，半径为 ，两圆的圆心距为3，当
两圆外切时， ，得 ；当两圆内切时， ， ，得
．故选A．
规律方法
（1）直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，然后化简，从而求出动点轨迹方程的一种方法.
（2）直接法的一般步骤：建系、设点、列式、化简、限制说明.
跟踪训练1 在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，则点
的轨迹方程为( )
B
A. B.
C. D.
【题型二】相关点代入法
例2 [2023靖江月考] 已知点 在圆 上运动， ，点 为线段 的中点.
（1）求点 的轨迹方程;
解 设点 ， .
因为点 是线段 的中点，所以 ， ，则 ， ，即
.
因为点 在圆 上运动，
所以有 ，所以点 的轨迹方程为 ．
（2）求点 到直线 的距离的最大值和最小值.
由（1）知点 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆，
点 到直线 的距离 ，故点 到直线
的距离的最大值为 ，最小值为 ．
规律方法
一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个、两个或者多个点的运动，可以通
过对这些点设坐标来寻求代换关系.
（1）求谁设谁，设所求点的坐标为 ；
（2）所依赖的点称之为“参数点”，设为 或 ， 等；
（3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入；
（4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值；
（5）代入方程，消去参数值.
跟踪训练2 已知点 在圆 上运动，点 ，线段
的中点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程.
解 设 ，则 .因为点 在圆 上，所以
，整理得 ，所以曲
线 的方程为 ．
（2）过点 是否存在直线 与曲线 有且只有一个公共点？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
当 斜率不存在时， 符合条件；当 斜率存在时，设直线 的方程为
，则 ，解得 ,所以直线 的方程为 ，
即 ，所以满足条件的直线 存在，直线 的方程为 或 ．
【题型三】定义法
例3 已知等腰三角形 的底边 对应的顶点是 ，底边的一个端点是 ，
求底边的另一个端点 的轨迹方程.
解 设 ，由题意知， .因为 是以 为
底边的等腰三角形，所以 ，即点 在以点 为圆心， 为半径的圆
上.又点 ， ， 构成三角形，即三点不共线，则点 的轨迹中不包括点 及点
关于点 对称的点 ，所以点 的轨迹方程为 （去掉
， 两点）．
规律方法
（1）若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义法直接求.
（2）运用定义法求轨迹方程的一般步骤:
①定型，即研究动点轨迹的类型符合哪种常用曲线的定义；
②定位，即研究动点轨迹的中心位置等；
③定方程，即用待定系数法求轨迹方程；
④检查，即检查轨迹方程的完备性与纯粹性.
跟踪训练3 [2023新海调研] 设 为圆 上的动点， 是圆的切线且
，则点 的轨迹方程是( )
B
A. B. C. D.
【题型四】几何法
例4 [2023泰州调研] 已知圆 ，圆 ，若圆
上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，使得 ，则实
数 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题可知圆 的半径为 ，圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，使得 ，则 ，在 中， ，所以点 在圆 上.由于点 也在圆 上，故两圆有公共点．
又圆 的半径等于1，圆心坐标 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．故选D．
题后反思
（1）利用圆的几何性质求解，通过条件想办法确定圆心和半径；
（2）三角形中最常用的几何性质有直角三角形斜边中线定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等；
（3）对于平面四边形，若两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则平面四边形的四个顶点共圆，这一性质是平面四边形中的常用性质.
跟踪训练4 如图， 为圆 外一动点，过点 作圆 的
切线 ， ，切点分别为 ， ， ，直线 与
相交于点 ，点 ，则 的最小值为( )
A
A. B.2 C. D.(共21张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.圆的最值问题涉及的几种类型
（1）圆上动点到定点距离的最值；
（2）圆上的点到直线距离的最值；
（3）圆的切线长最值；
（4）过圆内定点的弦长最值；
（5）与斜率、距离、截距有关的圆的最值.
知识点2.圆的最值问题的求解策略
求解与圆有关的最值问题，通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】圆上动点到定点距离的最值
例1 [2023镇江调研] 已知点 ，点 是圆 上的动点，点
是圆 上的动点，则 的最大值是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 圆 的圆心为 ，半径为 ；圆
的圆心为 ，半径为 .
因为点 ，点 是圆 上的动点，点 是圆
上的动点，所以 的最大值是
．故选D．
题后反思 圆上动点到定点距离的最值问题
（1）圆外一点 到圆 上点的距离的最大值等于 ，最小值等于 .
（2）圆内一点 到圆 上点的距离的最大值等于 ，最小值等于 .
跟踪训练1 已知圆 ，则当圆 的面积最
小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )
D
A. B.6 C. D.
[解析] 根据题意，圆 ，变形可得
，其圆心为 ，半径
，当圆 的面积最小时，必有 ，此时
，圆心 ，所以圆心 到坐标原点的距离 ，则圆上的
点到坐标原点的距离的最大值为 ．故选D．
【题型二】圆上的点到直线距离的最值
例2 [2023通州月考] 已知动点 在曲线 上，则动点 到直线
的距离的最大值与最小值的和为___.
4
[解析] 设曲线 的圆心为 ，半径 ，圆心 到直
线 的距离为 ，动点 到直线 的距离的最大值
为 ，动点 到直线 的距离的最小值为 ，所
以动点 到直线 的距离的最大值与最小值的和为
题后反思
圆 上的动点 到直线 距离的最大值等于点 到直线 距离的最大值加上半径.当
直线 与圆 相离时，最小值等于点 到直线 距离的最小值减去半径;当直线 与圆
相交时，最小值等于半径减去点 到直线 距离的最大值.
跟踪训练2 P为 上一点， 为直线 上一
点，则线段 长度的最小值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点 到直线 上
的点 的最小距离 .故选A．
【题型三】圆的切线长的最值
例3 [2023如东月考] 设 为已知直线 上的动点，过点 向圆
作一条切线，切点为 ，则 的最小值为_ ___.
[解析] 圆 的圆心为 ，半径 .由题意，得当
最小时， 连线与直线 垂直，所以 .由勾股
定理，得 ，所以 的最小值为 ．
规律方法 求解圆的切线问题的常用方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一为一个，转
化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长的最值问题转化成圆心到直线的距离问题.如图，已知圆
和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆的切线，切线长的最小值为 .
跟踪训练3 若圆的半径为1，且圆心为坐标原点，过该圆上一点 作圆
的切线，切点为 ，则 的最小值为( )
B
A. B. C.2 D.4
[解析] 由题意可知，点 在圆 上，圆 的圆心为
，半径 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，则
．
当 最小时， 最小.又点 在圆 上，则 的最小值为
,则 的最小值为 .故选B．
【题型四】过圆内定点的弦长的最值
例4 [2023苏州质检] 已知圆 ，已知直线
与圆 的交点分别为 ， ，当直线 被圆 截得的弦
长最小时， ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 直线 ，即 ，所以直线
过定点 ， ，圆 的半径 ，
点 在圆 内，所以当直线与 垂直时， 最短，此时
．故选C ．
题后反思
如图，已知圆 及圆内一定点 ，则过点 的所有弦中最长的为直径，最短的为
与该直径垂直的弦 .
跟踪训练4 当圆 的圆心到直线 的
距离最大时， ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为圆 的圆心为 ，半径 ，直线 过定点 ，所以当 与直线 垂直时，圆心到直线 的距离最大，此时有 ，即 ，解得 ．故选C．
【题型五】与斜率、距离、截距有关的圆的最值
例5 已知点 在圆 上运动.试求：
（1） 的最值；
解 设圆 的圆心为 ，半径 ，点 在圆上，所以
表示点 到定点 的距离的平方.
因为 ，所以 ，即 ，所以
，即 的最大值为9，最小值为1．
（2） 的最值.
点 在圆上，则 表示圆上的点 与点 的连线的
斜率.
如图，根据题意画出图形，当点 与点 或点 重合时，直
线 与圆 相切.
设直线 的解析式为 ，即 ，所以圆心 到
直线 的距离 ，即 ，解得 ，所以 ，即
，所以 的最大值为 ，最小值为 ．
规律方法
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意
义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
（1）形如 的最值问题，可转化过定点 的动直线斜率的最值问题求解.
（2）求形如 的最值，可转化为求动直线截距的最值.具体方法是：
①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在 轴上的截距取得最值；
②把 代入圆的方程中，消去 得到关于 的一元二次方程，由
求得 的范围，进而求得最值.
（3）求形如 的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的
最值，即把 看作是点 与圆上的点 连线的距离的平方，
利用数形结合法求解.
跟踪训练5 已知实数 ， 满足方程 ,则 的取值范围为
__________； 的最小值为_ ________； 的取值范围为_________________.
[解析] 圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
半径为 ．设 ，可得 ，则直线 与圆
有公共点，则 ，解得 ，则 的取值范围
为 .
设 ，可得 ，则直线 与圆 有
公共点，则 ，解得 ， 则 的最小值为
.
设 ，如图，由于 ，则原点在圆
外.
因为圆 与圆 有公共点，圆心距为 ，故
，解得 ，故 ，
即 的取值范围为(共20张PPT)
1
网络构建·知识导图
2
要点归纳·典例提升
01
网络构建·知识导图
02
要点归纳·典例提升
要点一 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为 .若 ，则直线和圆相
交；若 ，则直线和圆相切；若 ，则直线和圆相离.
（2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方
程，其判别式为 直线和圆相切； 直线和圆相交； 直
线和圆相离.
2.研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养.
【典例1】 [2023扬州调研] 已知圆 .
（1）若圆 截 轴所得弦的弦长等于半径的一半，求 的值；
解 将圆 的方程化为标准方程为 ，所以圆心为 ，
半径 ．因为圆 截 轴所得弦的弦长等于半径的一半，所以
，所以 ，即 ，解得 ．
（2）当 时，若圆 的切线在 轴和 轴上的截距相等，求此切线方程.
当 时，将圆 的方程化为标准方程为 ，其圆心为
，半径 ．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为 ，所以圆心到切线的距离
为 ，即 ，解得 ，所以切线方程为
或 ．
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为 ，所以圆心到切
线的距离为 ，即 ，解得 或 ，所以切线方程为
或
综上，所求切线方程为 或 或 或
.
规律方法 直线与圆问题的类型
（1）求切线方程：可以利用待定系数法结合图形求得.
（2）求截得弦长：常用几何法（垂径定理），也可用代数法结合弦长公式求解.
跟踪训练1 [2023海安检测] 已知圆 和直线 相切于点
.
（1）求圆 的标准方程及直线 的一般式方程；
解 把点 代入圆 的方程，可得 ，解得 ，所以圆
的方程为 ，即 ，所以圆心为
，所以直线 的斜率为
由圆的几何性质可知 ，则直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为
，即 .
（2）已知直线 经过点 ，并且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程.
由（1）可知，圆 的直径为 ，故直线 经过圆心 ，且直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 ．
要点二 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系：一般利用圆心间的距离与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系.
2.圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养.
【典例2】（1） 已知圆 过圆 与圆 的公共点.若圆 ， 的公共弦恰好是圆 的直径，求圆 的面积.
解 和 两式相减，化简可得
，即为圆 , 的公共弦所在直线方程.
又 到 的距离 ，故公共弦长为
，故圆 的半径为 ，圆 的面积为 ．
（2）求半径为4，且与圆 和直线 都相切的圆的方程.
所求圆与直线 相切且半径为4，则设圆心为 或 ．
圆 的圆心坐标为 ，半径为3．
若两圆相切，则 或
①当圆心为 时， 或 （无解），
解得 ，故所求圆的方程为 或
；
②当圆心为 时， 或 （无
解），解得 ，故所求圆的方程为 或
．
综上，半径为4，且与圆 和直线 都相切的圆的方程为
或 或
或 ．
题后反思
（1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，那么两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在直线方程.两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.求公共弦长时，几何法比代数法简单易求.
（2）对于典例 两圆相切有两种情况：内切和外切，解题过程中若只考虑了两圆相切的某一种情况，会造成漏解.
跟踪训练2 （多选题）已知圆 和圆
的交点为 ， ，则( )
ABD
A.圆 和圆 有两条公切线
B.直线 的方程为
C.圆 上存在两点 和 使得
D.圆 上的点到直线 的最大距离为
[解析] 对于A，因为两圆相交，所以有两条公切线，故A正确；对于B，将两圆方程作
差可得 ，即直线 的方程为 ，故B正确；对于C，
直线 过圆 的圆心 ，所以线段 是圆 的直径，故圆 中不存在比
长的弦，故C错误；对于D，圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆心到直线
的距离为 ，所以圆 上的点到直线 的最大距离为
，故D正确．故选 ．
要点三 “隐圆”问题的简单运用
有类题目在条件中并未直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但是通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解.这类题目构思巧妙，综合性强,关键在于能否把“隐圆”找出来.
【典例3】 [2023南通月考] 在平面直角坐标系 中，已知点 ， .如果
圆 上总存在点 使得 ，那么圆心 的横坐
标 的取值范围是_ _______.
，
[解析] 设 ，由 ，得 ，
化简为 ，其表示以 为圆心，半径为2的圆，
如图，则圆 与圆 有公共点，得 ，解得
，所以 的取值范围是 ， ．
题后反思
由两定点 ， ，动点 满足 确定隐形圆（阿波罗尼奥斯
圆）.
本题条件中 可确定点 的轨迹是一个圆.
跟踪训练3 [2023无锡调研] 若圆 上总存在两个点到原点
的距离为1，则实数 的取值范围是_ _________.
，
