(共18张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.若椭圆 上一点 到焦点 的距离为2，则点 到焦点 的距离为( )
D
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 为短轴的一个端点，则
的周长为( )
B
A.20 B.18 C.16 D.9
3.“ ”是“方程 表示椭圆”的( )
A
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.[2023启东检测] 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ，点 在椭圆上，
若 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
5.已知 的周长为20，且顶点 ， ，则顶点 的轨迹方程是
_ __________________.
6.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最大
值为___.
9
7.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为 ， ，椭圆上任意一点 到两个焦点的距离之
和等于26；
解 因为椭圆的焦点在 轴上，可设椭圆的标准方程为 ，由椭
圆的定义可得 ，则 ，故 ，所以椭圆的标准方程为
.
（2）经过点 ，且与椭圆 有共同的焦点.
椭圆 的标准方程为 ，该椭圆的焦点为 ，
.
设所求椭圆的标准方程为 ，由椭圆的定义，可得
，则 ， .故所求椭圆的标准方程为
.
B层 能力提升练
8.（多选题）椭圆 的左焦点为 ，点 是椭圆 上的动点，则 的值可
能是( )
BC
A.1 B.3 C.6 D.10
9.椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ， 的面
积为 ，且 ，则椭圆的方程为( )
D
A. B. C. D.
10.已知 ， 是椭圆 的两个焦点，过点 且垂直于 轴的直线交 于
， 两点，且 ，则椭圆 的标准方程为( )
B
A. B. C. D.
11.设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，若线段 的中点在
轴上，则 的值为( )
D
A. B. C. D.
12.设 , 为椭圆 的焦点，若在椭圆 上存在点 ，满足
，则实数 的取值范围为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆的性质知，当点 在椭圆的左、右顶点时， 最大，所以椭圆
上存在一点 使 ，只需点 在椭圆的左、右顶点时
， 此时， ，即 .又 ,
，所以 ，解得 .因为 ，所以 .故选A.
13.动圆 过定点 ，且内切于定圆 ，动圆的圆心 的
轨迹方程为_ __________.
[解析] 由圆 的方程知其圆心为 ，半径 .
因为 ，即点 在圆 内部，所以动圆 在圆 内部.设圆
的半径为 ，则 ，所以 ，即
.又 ，所以 ，所以动圆的圆心 的轨迹是以
, 为焦点的椭圆，此时 ， ，所以 ，所以动圆的圆心
的轨迹方程为 .
14.[2023淮阴调研] 已知点 和 ， 是椭圆 上的动点，则
的最大值为_ __________.
[解析] 椭圆 ，所以 为椭圆右焦点，设左焦点为 ，则由椭圆定
义 ，于是 .当点 不在直线 与
椭圆交点上时， ， ， 三点构成三角形，于是 ，而当点 在直
线 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有 ，在第三象限交点
时，有 .显然当点 在直线 与椭圆第三象限交点时， 有
最大值，其最大值为
.
15.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ， 为 的上顶点， 为
上异于上、下顶点的动点， 为 正半轴上的动点.
（1）若点 在第一象限，且 ，求点 的坐标；
解 设 ,联立 与 ，可得 ， .
（2）设 ，若以 ， ， 为顶点的三角形是直角三角形，求点 的横坐标；
设 ，当 时， ，
或 .
当 时， ， ， .
综上，点 的横坐标为 或1或 .
（3）若 ，直线 与 交于另一点 ，且 ， ，求直
线 的方程.
设 ，线段 的中垂线与 轴的交点即 ， .
因为 ，所以 ， .因为 ，所以 ， ，
代入并联立椭圆方程，解得 ， ，所以 ， ，所以直线
的方程为 .
C层 拓展探究练
16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆
锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周
长为72的矩形 截某圆锥得到椭圆 ，且 与矩形 的四边相切.设椭圆
在平面直角坐标系中的方程为 ，下列选项中满足题意的方程为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆方程为 ，排除 .矩形 的四边与椭圆相
切，则矩形的周长为 ， .在椭圆
中， , ， ,不满足题意；在椭圆 中， ,
， ,满足题意.故选C.
17.（多选题）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多
代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问
题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函
数 ，下列结论正确的是( )
BC
A. 无解 B. 的解为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
[解析] 如图， .
设 ， ， ，则 .
若 ，则 ，则点 的轨迹是
以 ， 为焦点的椭圆，此时 ， ，即 ，
，即椭圆方程为 ，当 时， ，解得
，得 ，故A错误，B正确；
点 关于直线 的对称点为 ，则
，当 , , 三点共线时， 最
小，此时
， 无最大值，故C正
确，D错误.故选 .(共22张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.2.会用椭圆的定义解决问题.3.会求椭圆的标准方程.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.椭圆的定义
平面内到两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫作椭
圆，两个定点 , 叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
名师点睛
（1）当 时，动点 的轨迹为线段 ；当 时，
动点 不存在，无轨迹.
（2）椭圆的定义的集合语言表述： .
知识点2.椭圆的标准方程
焦点位置
标准方程
图形
焦点坐标
名师点睛
（1）两种椭圆 ， 的相同点:形状、大小都相同,
都有 , ;两种椭圆 ， 的不同点:
位置不同,焦点坐标也不同.
（2）给出椭圆方程 ,判断椭圆的焦点位置的方法:
椭圆的焦点在 轴上 标准方程中含 项的分母较大;椭圆的焦点在 轴上 标准
方程中含 项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法,可简记作:焦点位
置看大小,焦点跟着大的跑.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
（1）焦点在 轴上，且经过两个点 和 ；
解 因为椭圆的焦点在 轴上,
所以设它的标准方程为 .
又因为椭圆经过点 和 ,
所以 解得
所以所求椭圆的标准方程为 .
（2）两个焦点的坐标分别是 ， ，且经过点 ， ；
因为椭圆的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为 .
由椭圆的定义知, ,
所以 .
又因为 ,所以 ,
所以所求椭圆的标准方程为 .
（3）经过点 ， ， ， .
设椭圆的方程为 ,因为椭圆经过点 , , ,
,
所以 解得
所以所求椭圆的方程为 ,
故椭圆的标准方程为 .
规律方法 求解椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定 ， 的值，结合焦点位置写出椭圆的方程.
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系
数即可，即“先定位，后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在 轴上
和焦点在 轴上分类讨论，但要注意 这一条件.
（3）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成
， 且 的形式，其优点为：①列出的方程组中分母
不含参数；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在 轴上，且经过点 和点 ；
解 由题意，得 ， .因为焦点在 轴上，所以椭圆的标准方程为
．
（2）焦点在 轴上，与 轴的一个交点为 ，点 到距它较近的一个焦点的
距离等于2.
由题意，得 ， ，所以 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 ．
【题型二】椭圆定义的应用
例2（1） 已知椭圆 的左焦点为 ， 是椭圆上异于顶点的任意一点，
为坐标原点.若 是线段 的中点，则 的周长为( )
A
A.8 B.16 C.32 D.48
[解析] 由椭圆 ，得 ， ， .
如图，设椭圆的右焦点为 ，连接 .由 是线段 的中点，可
得 为 的中位线，所以 由椭圆的定义可知
，则 ，所以 的周长为
．故选A．
（2）[2023常州期中] 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , ，点 在椭圆
上.若 ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆方程 ，可得 ， ， ，所以
， .
又由椭圆的定义，可得 .因为 ，所以 .
在 中，由余弦定理,得 ，
即 ，解得 .因为
，所以 .故选C.
题后反思
设 是椭圆上一点， ， 为椭圆的焦点，当点 , ， 不在同一条直线上时，
它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.
（1）焦点三角形的周长
（2）在 中，由余弦定理可得
.
跟踪训练2 已知 是椭圆 上一点， , 为椭圆的两焦点，且
，则 的面积为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆的标准方程，可得 ， ，所以 .设 ， ，
由椭圆的定义，可得 .①
在 中， ，
由余弦定理，可得 ，整理，
得 .②
把①两边平方，得 .③
，得 ，
所以 ．故选A.
【题型三】与椭圆有关的轨迹问题
例3（1） [2023宿迁月考] 若动点 满足关系式
，则动点 的轨迹方程为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 动点 满足关系式 ，则该等式表
示点 到两个定点 ， 的距离之和为8，而 ，即
动点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆， ,又 ,则 ，
所以动点 的轨迹方程为 ．故选B．
（2）已知两圆 ， .动圆 在圆 内部
且和圆 相内切，和圆 相外切，则动圆的圆心 的轨迹方程是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设动圆的圆心为 ，半径为 .因为动圆 与圆
内切，与圆 外切，所以 ， ，所以
.由椭圆的定义知，动圆的圆心 的轨迹是以 ，
为焦点的椭圆，则 ， ，所以 ，所以动圆的圆心 的轨
迹方程为 .故选D．
规律方法 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤
跟踪训练3（1） 方程 化简的结果是
_ __________.
（2）一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，
则动圆圆心的轨迹方程为_ __________.
[解析] 圆 的圆心为 ，半径为2；圆
的圆心为 ，半径为10.设动圆的圆心为 ，半径
为 ,则 ， .于是 ，所以动圆圆心
的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，所以 ， ，
，所以动圆圆心 的轨迹方程为(共19张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.已知 ， 为平面内两个定点， 为动点，若 （ 为大于零的常
数），则动点 的轨迹为( )
D
A.双曲线 B.射线
C.线段 D.双曲线的一支或射线
2. 是双曲线 左支上一点， ， 分别是左、右焦点，则
( )
D
A.4 B. C.8 D.
3.已知双曲线过点 和 ，则双曲线的标准方程为( )
B
A. B. C. D.
4.[2023宿迁月考] 与椭圆 ： 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为
( )
C
A. B. C. D.
5.（多选题）若方程 表示双曲线，则实数 可能是( )
ABC
A.8 B.4 C.0 D.
6.已知动点 ， 的坐标满足方程 ，则点
的轨迹方程是( )
C
A. B.
C. D.
7. ，且 的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为 ； 的焦距为
6； 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4.
在以上这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题.
问题：已知双曲线 ，___，求 的方程.
解 选择条件①.
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
.
因为 的左支上的点到右焦点的距离的最小值为 ，所以
，
解得 ，故 的方程为 .
选择条件②.
因为 的焦距为6，所以 .若 ，则 ， ， ，
所以 ，解得 ，则 的方程为 ；
若 ，则 ， ， ，所以 ，
解得 ，则 的方程为 .
综上， 的方程为 或 .
选择条件③.
因为 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以 ，即 .
若 ，则 ，所以 ，解得 ，则 的方程为 ；
若 ，则 ，所以 ，解得 ，则 的方程为
.
综上， 的方程为 或 .
B层 能力提升练
8.若双曲线的方程为 ，其焦点在 轴上，焦距为4，则实数 等于( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
9.（多选题）在平面直角坐标系中，有两个圆 和
，其中 ， 为正常数，满足 或 ，一
个动圆 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( )
BCD
A.两个椭圆 B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线 D.一个椭圆和一个双曲线
10.设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， ， 是两曲线的一个
公共点，则 ( )
B
A. B. C. D.
11.已知有相同焦点 ， 的椭圆 和双曲线 ，
是它们的一个交点，则 的形状是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能
12.如图，已知双曲线以长方形 的顶点 ， 为左、右焦点，且
双曲线过 ， 两顶点.若 ， ，则双曲线的标准方程为
_ __________.
13.已知 ， ，在 中， ，则顶点
的轨迹方程为_ _____________________.
（ ）
[解析] 因为 ， ，所以 .设顶点 ，由
，根据正弦定理可得 ，即
.由双曲线的定义，可得点 的轨迹是以
， 为焦点，以 为长轴长的双曲线的右支，且点 不
在 轴上，所以 ， ，则 .因此,顶点 的轨迹
方程为 .
14.已知圆 与 轴的两个交点 ， 都在某双曲线上，且 ，
两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为_ __________.
[解析] 由圆的方程 知,与 轴的交点坐标为 , .因为
圆与 轴的两个交点 ， 都在某双曲线上，所以双曲线的焦点在 轴上，且 .
又因为 ， 两点恰好将此双曲线的焦距三等分,所以 ，即有 ，所以此
双曲线的标准方程为 .
15.已知 ， 是平面上的两点，若曲线 上至少存在一点 ，使
，则称曲线 为“黄金曲线”.下列五条曲线：
； ； ；
； .
其中为“黄金曲线”的是______.（写出所有“黄金曲线”的序号）
④⑤
[解析] 因为 ， 是平面上的两点，存在一点 ，使 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，方程为 ，
且 .
上不存在 的点 满足方程 ，故①不是“黄金曲
线”；
上 ，不存在 的点 满足方程 ，故②
不是“黄金曲线”；
上不存在 的点 满足方程 ，故③不是“黄金曲
线”；
中， ， ，与双曲线 有交点，满足题意，故④是“黄
金曲线”；
的圆心为 ，半径为3，与双曲线 有交点，满足题意，
故⑤是“黄金曲线”.
16.如图，在以点 为圆心， 为直径的半圆 中，
， 是半圆弧上一点， ，曲线 是满足
为定值的动点 的轨迹，且曲线 过点 .建立适当的平面
直角坐标系，求曲线 的方程.
解 如图，以点 为原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立平
面直角坐标系，则 ， ， ， .依题意得
，所
以曲线 是以 ， 为焦点的双曲线,则 ， ，
所以 ， .故曲线 的方程为 .
C层 拓展探究练
17.（多选题）已知 , 两监测点间的距离为800米，且 监测点听到爆炸声的时间比
监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是( )
BD
A.爆炸点在以 , 为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以 , 为焦点的双曲线的一支上
C.若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监
测点的距离为 米
D.若 监测点的声强是 监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 监
测点的距离为680米
[解析] 依题意， , 两监测点间的距离为800米，且 监测点听到爆炸声的时间比
监测点迟2秒.设爆炸点为 ，则 ，所以爆炸点在以
, 为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若 监测点的声强是
监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则 ，即 ，结合
，可得 ，所以C选项错误，D选项正确.故选 .
18.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光
线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦
点；光线从双曲线的一个焦点出发，被双曲线反射后的反射光线
等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆 ：
D
A. B. C. D.
与双曲线 有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，
在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 次反射后回到左焦点所经过的路
径长为( )
[解析] 由题意得，光线从左焦点出发，经过椭圆反射要回到另一
个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线
的反向延长线过另一个焦点.
如图， ，
，所以光线经过 次
反射后回到左焦点所经过的路径长为 .故选D.(共26张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.双曲线的定义
平面内到两个定点 ， 的距离之差的绝对值等于常数（小于 的正数）的点的轨迹叫作双曲线，两个定点 ， 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
知识点2.双曲线的标准方程
焦点位置
图形
标准方程
焦点
名师点睛
在双曲线的标准方程中, 不一定成立，要注意与椭圆中 , , 的区别.在椭圆中， ；在双曲线中， .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】双曲线定义的理解与运用
角度1 双曲线定义的理解
例1（1） 已知动点 满足 ，则动点 的轨
迹是( )
D
A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的左支 D.双曲线的右支
[解析] 表示动点 到两定点 ，
的距离之差等于2，而 ，由双曲线的定义知，动点 的轨迹是
双曲线的右支．故选D．
（2）[2023南通调研] 已知点 是圆 （ 为坐标原点）上一动点，点
.若线段 的垂直平分线交直线 于点 ，则点 的轨迹是( )
D
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
[解析] 依题意， ， .因为线段 的垂直平分线交直线 于点 ，
于是得 ，当点 在线段 的延长线上时，如图1，
；
当点 在线段 的延长线上时，如图2， .
从而 ，由双曲线的定义知，点 的轨迹是双曲线．故选D．
规律方法
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：（1）列出等量关系，化简得到方程；（2）寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
跟踪训练1 已知圆 和圆 ，动圆 同时与
圆 及圆 外切，则动圆的圆心 的轨迹方程为_ ______________________.
（ ）
[解析] 如图，设动圆 与圆 及圆 分别外切于点 和点 ，根据两
圆外切，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以点 到两定点 ， 的距离的差是常数且小于 ．由双曲线的定义，
得动点 的轨迹为双曲线的左支，其中 ， ，则 ．故点 的轨迹方
程为 ．
角度2 双曲线定义的简单运用
例2 [2023新海月考] 设 , 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线上的一点，
且 ，则 的面积为_ ____.
[解析] 由双曲线 ，可得 ， ，则 ，所以
， .
又 ， ，由余弦定理可得 ，所以
，所以 ．
规律方法 双曲线定义的应用
（1）已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
（2）双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
跟踪训练2 双曲线 的左、右两焦点分别为 ， ，点 在双曲线
上，且 ，则 _ ____.
60
[解析] 双曲线 可化为 ，所以 ， ．
设 ， ，由双曲线的定义，知 .又 ，在
中，由余弦定理得
，
所以 ．
【题型二】求双曲线的标准方程
例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程:
（1）焦点为 ， ，且过点 ；
解 由已知得 ，且焦点在 轴上．因为点 在双曲线上，所以
，
则 ，
故所求双曲线的标准方程为 ．
（2）与双曲线 共焦点，且过点 , .
由 ，得 ，所以 ．设所求双曲线的标准方程为
．依题意， ，所以 ，故所求双
曲线方程可写为 ．
因为点 ， 在双曲线上，所以 ，化简，得
，解得 或 ．当 时，
，不合题意，舍去，所以 ， ．
故双曲线的标准方程为 ．
规律方法 求解双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 ， ， 的方程并求出 ， ， 的值.
（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 的值，由定点位置确定 的值.
提醒：求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论.
跟踪训练3 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）过点 ， ， , 且焦点在坐标轴上；
解 设双曲线的标准方程为 .
因为 ， 两点在双曲线上，
所以 解得
所以所求双曲线的标准方程为 .
（2） ，经过点 ，且焦点在 轴上.
因为焦点在 轴上， ，所以设所求双曲线方程为 （其中
）.
因为双曲线经过点 ，所以 ，解得 或 （舍去），所以
所求双曲线的标准方程为 .
【题型三】双曲线在实际问题中的简单运用
例4 如图，某野生动物保护区监测中心设置在点 处，正西、正
东、正北处有三个监测点 ， , ，且 ，
一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点
均收到求救信号， 点接收到信号的时间比 点接收到信号的时
间早 （注：信号每秒传播 ）.
（1）以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系（如图），根据题设条件求观
察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
解 设观察员可能出现的位置的所在点为 .
因为 点接收到信号的时间比 点接收到信号的时间早 ，故
，
故点 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线的标准方程为 .
由题意可知 ， ，所以 , ,
，
故点 的轨迹方程为 ．
（2）若已知 点与 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点的坐标，以及与监
测中心 的距离.
因为 ， ，设 的垂直平分线方程为 ，所以 ，
解得 ,则 的垂直平分线方程为 ，
与 联立，可得 ，故 ， ，故观
察员遇险地点的坐标为 ，与监测中心 的距离为
规律方法 利用双曲线解决实际问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系.
（2）求出双曲线的标准方程.
（3）根据双曲线的标准方程及定义解决实际应用问题.
提示：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念外，还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用.
②实际应用问题时要注意其实际意义以及在该意义下隐藏的变量范围.
跟踪训练4 如图， 地在 地的正东方向 处， 地在 地的
北偏东 方向 处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点
到 地的距离比到 地的距离远 ，则曲线 的方程是
_ _____________________；现要在曲线 上选一处 建一座码头，
（ ）
向 ， 两地转运货物，那么这两条公路 ， 的路程之和最短是_ ________ .
[解析] 如图,以 所在直线为 轴, 的垂直平分线为 轴建立平
面直角坐标系，
则 ,由双曲线的定义知,点 的轨迹为双曲线的右支.
故 , , , , ,故点 的轨迹方程为
，即曲线 的方程为 .
根据题意知 , ，
当 , , 三点共线时，等号成立.(共17张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.已知点 ，直线 ，若动点 到 的距离等于 ，则点 的轨迹
是( )
C
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
2.顶点在坐标原点，准线方程为 的抛物线的标准方程是( )
B
A. B. C. D.
3.（多选题）对抛物线 ，下列描述正确的是( )
BC
A.焦点坐标为 B.焦点坐标为
C.准线方程为 D.准线方程为
4 . （多选题）对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，
垂足的坐标为.其中满足抛物线方程为的是( )
A.① B.② C.③ D.④
BD
5.已知抛物线 上一点 的纵坐标为 ，该点到准线的距离为6，
则该抛物线的标准方程为( )
D
A. B. 或
C. D. 或
6.若抛物线 的准线与直线 间的距离为3，则抛物线的方程为___________
____________.
或
7.已知点 与点 的距离比它到直线 的距离小2.
（1）求点 的轨迹 的方程；
解 因为点 与点 的距离比它到直线 的距离小2，所以点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，所以点 的轨迹 是以 为焦点，以直线 为准线的抛物线.故轨迹 的方程为 .
（2）若轨迹 上有两点 ， 在第一象限，且 ， ，求证：直线
的斜率是 .
证明 如图，设 , 在准线上的投影分别为 , ，连接 ， ，过点 作
交 于点 .
因为 ，
，
又 ，所以 .
因为 ，所以 .
故直线 的斜率是 .
B层 能力提升练
8.已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，
则 的面积为( )
A
A.2 B. C. D.4
9.已知直线 和直线 ，则抛物线 上一动点 到直
线 和直线 的距离之和的最小值是( )
B
A. B.2 C. D.3
10.已知 是抛物线 的焦点，直线 与抛物线 交于 ，
两点，且 ，则下列结论正确的是( )
A
A. B. C. D.
11.（多选题）在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，
准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足.若直线 的斜率
，则下列结论正确的是( )
BC
A.准线方程为 B.焦点坐标为
C.点 的坐标为 D. 的长为3
[解析] 由抛物线方程为 ，得焦点坐标为 , ，准线方程为 ，故A
错误，B正确.因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
当 时， ，所以 , .因为 ， 为垂足，所以点 的纵
坐标为 ，可得点 的坐标为 , ，故C正确.根据抛物线的定义，可知
，故D错误.故选 .
12.已知点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是点 ，点 的坐标是
，则 的最小值为( )
C
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 易知抛物线的焦点为 ，准线方程为 .如图，连
接 ，延长 交准线于点 ，根据抛物线的定义，知
所以
，当
且仅当 ， ， 三点共线时，等号成立，所以 的最小值
为9.故选C.
13.已知 是抛物线 上的一点， 为抛物线的焦点，若以 为直径
作圆，则这个圆与 轴的关系是( )
B
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上三种情况都有可能
[解析] 如图，过 的中点 作准线 的垂线 ，交直线 于点 ，
交 轴于点 ；过点 作准线 的垂线 ，垂足为 ，交 轴于点
，则 ， ，所以
，所以这个圆与 轴相切.故选B.
14.[课本改编题] 一抛物线形的拱桥如图所示，桥的跨度
米，拱高 米，在建造时每隔4米用一个柱
子支撑，则支柱 的长度为_____米.
3.84
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,使抛物线的焦点
在 轴上.可设抛物线的标准方程为 .
因为桥的跨度 米，拱高 米，所以 , ，
代入标准方程，得 ，解得 ，所以抛物线的标准方程为
.把点 的横坐标 代入 ,得 ，解得
.支柱 的长度为 （米）.
15.[2023宿迁期末] 已知点 为抛物线 上一点，若点 到两定点
， 的距离之和最小，则点 的坐标为______.
,
[解析] 如图，过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 .由抛物线的定
义，知点 到焦点 , 的距离与点 到准线的距离相等，即
，所以 .易知当 ， ， 三点共
线时， 取得最小值，所以 ，此
时点 的坐标为 , .
16.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物
线的某一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与
隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 .
（1）以抛物线的顶点为原点 ，其对称轴所在的直线为 轴，建立
平面直角坐标系 （如图），求该抛物线的方程；
解 根据题意可设该抛物线的方程为 ,结合图象，可得点 的坐标为
因为点 在抛物线上，所以 ，解得 ,所以该
抛物线的方程为 .
（2）若行车道总宽度 为 ，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.
设车辆高为 ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，则
，故 ，代入方程 ，解得
，所以通过隧道的车辆限制高度为 .
C层 拓展探究练
17.如图，正方体 的棱长为1，点 在棱 上，且
，点 是平面 上的动点，且动点 到直线 的距离与
点 到点 的距离的平方差为1，则动点 的轨迹是( )
B
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
[解析] 如图，在正方体 中，作 ，垂足为
，则 平面 ，过 作 ，则 平面
，则 为点 到直线 的距离.由题意得
，由已知得 ，所以 ，
即点 到点 的距离等于点 到 的距离，所以根据抛物线的定义可得，点 的轨
迹是抛物线.故选B.
18.如图，已知点 ，抛物线 的焦点是
， ， 是抛物线上两点，四边形 是矩形.
（1）求抛物线的方程；
解 因为抛物线 的焦点是 ，所以 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 .
（2）求矩形 的面积.
设 ， ，因为四边形 是矩形，所以 ,
，且 ，即 ， ，且
，所以 ， ，且
，所以 ，解得 ， .由抛
物线的定义得 , ，所以矩形 的面积为
.(共21张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程.3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.抛物线的定义
平面内到一个定点 和一条定直线 不在 上 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点 叫作抛物线的焦点，定直线 叫作抛物线的准线.
说明：若在定义中有 ，则动点的轨迹为 的垂线，垂足为 .
知识点2.抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
名师点睛
（1）“ ”是抛物线的焦点到准线的距离，所以
（2）抛物线的焦点所在轴 轴、 轴 由标准方程中的一次项来确定，开口方向
（向左、向右、向上、向下）由一次项系数的符号来确定，可简记为“焦点位置要看一
次项，符号决定开口方向”.
续表
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求抛物线的标准方程
例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点为 ；
解 因为焦点在 轴的负半轴上,所以可设抛物线的标准方程为 ,其中
,即 , ，所以抛物线的标准方程为 .
（2）准线为 ；
因为焦点在 轴的正半轴上,所以可设抛物线的标准方程为 ,其中
,所以 , ，所以抛物线的标准方程为 .
（3）过点 ；
由题意,抛物线方程可设为 或 .因为抛物线过点 ，
所以 或 ,所以 或 ，所以所求抛物线的标准方程为
或 .
（4）焦点到准线的距离为 .
由焦点到准线的距离为 ,可知 , ，所以所求抛物线的标准方程为
或 或 或 .
规律方法
求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即
求出方程中 的值，从而求出方程.
（1）定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程.
（2）待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数的值.
①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线：
根据题设中的条件设出其标准方程 或 或
或 ，并进行求解.
②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：
当焦点在 轴上时，可将抛物线方程设为 ；
当焦点在 轴上时，可将抛物线方程设为 .再根据条件求 .
跟踪训练1 根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1）焦点在 轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6；
解 由焦点到准线的距离为6，得 ．又焦点在 轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为 ．
（2）焦点 在 轴上，点 在抛物线上，且 .
因为抛物线的焦点 在 轴上，且点 在抛物线上，
①当 时，抛物线的方程可设为 ，则 解得
或 所以抛物线的标准方程为 或 ．
②当 时，抛物线的方程可设为 ，
则 解得 或
所以抛物线的标准方程为 或 ．
综上，抛物线的标准方程为 或 或 或 ．
【题型二】抛物线定义的理解及运用
角度1 对抛物线定义的理解
例2 若动点 满足 ，则点 的轨迹是
( )
D
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
[解析] 因为动点 满足 ，即
，
即动点 到定点 的距离等于动点 到定直线 的距
离.又点 不在直线 上，根据抛物线的定义，可得动点 的轨迹
为以 为焦点，以 为准线的抛物线．故选D．
题后反思
抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为 ；一个定点 叫作抛
物线的焦点；一条定直线 叫作抛物线的准线；一个定值，即点 到点 的距离和它
到直线 的距离之比等于1.
跟踪训练2 在平面直角坐标系 中，动点 到直线 的距离比它到定点
的距离小1，则点 的轨迹方程为( )
D
A. B. C. D.
角度2 抛物线定义的运用
例3 已知抛物线 的焦点是 ，点 是抛物线上的动点，点 .
（1）求 的最小值，并求出取最小值时点 的坐标；
解 将 代入 ，得 .而 ，即点 在抛物线 内部.如
图，过点 作 垂直于抛物线的准线 于点 .由抛物线的定义，知
.当 ， ， 三点共线 在线段 上 时， 取得最小
值 ，即 的最小值为 ，此时点 的纵坐标为2，代入 ，得 ，即
点 的坐标为 ，所以 的最小值为 ，点 的坐标为 ．
（2）求点 到点 , 的距离与到直线 的距离之和的最小值.
显然点 ， 在抛物线 外部.设抛物线上点 到准线 的距离为 ,
由抛物线的定义，得 ，当 ， ， 三点共线 在线段
上 时取等号.又 ， ，所以 ，所以所求最小值为2．
题后反思 抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离.因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
（2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离之和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
跟踪训练3 已知定长为3的线段 的端点 ， 在抛物线 上移动，求 的中
点 到 轴距离的最小值.
解 如图,设点 是抛物线 的焦点,过 , 两点分别作其准线的垂
线 , ,过 的中点 作准线的垂线 , , , 为垂足,则
.由抛物线的定义,知 , ,
所以 .
设点 的横坐标为 , ,则 .
当线段 过焦点 时,等号成立,此时点 到 轴距离的最小值为 .
【题型三】抛物线简单的实际应用
例4 如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形
的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛
物线的焦点处，容器由若干根等长的钢筋焊接在一起的架子支撑.已知
镜口圆的直径为 ，镜深 ，若把盛水和食物的容器近似地看作
点，求每根钢筋的长度.
解 如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶
点）与原点重合， 轴垂直于镜口圆的直径．
由已知，得点 的坐标是 .
设抛物线的标准方程为 ，则 ，解得 ，所以所求抛
物线的标准方程是 ，焦点坐标是 ．
因为盛水和食物的容器在焦点处，所以 ， 两点间的距离即为每根钢筋的长．
.故每根钢筋的长度是 ．
题后反思 抛物线简单的实际应用
首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中反光镜是抛物线形，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤：
（1）建系：建立适当的坐标系；
（2）假设：设出合适的抛物线标准方程；
（3）计算：通过计算求出抛物线的标准方程；
（4）求解：求出需要求的量；
（5）还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
跟踪训练4 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知
灯口直径是 ，灯深 ，则光源到反射镜顶点的距离是( )
B
A. B. C. D.(共21张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.椭圆中的焦点三角形
（1）焦点三角形的概念
设 是椭圆上一点， , 为椭圆的焦点，当点 , , 不在同一条直线上时，
它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.
（2）焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长 .
②在 中，由余弦定理可得
③设 ， ，则
.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】椭圆定义与焦点三角形
例1 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，
.
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
解 设 ， ，在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
当且仅当 时取等号，所以 ．
又 ，所以 ．
（2）求证： 的面积只与椭圆的短轴长有关.
证明 由（1）知， ，所以 ，所以
，即 的面积只与椭圆的短轴长有关．
题后反思
在椭圆中，由焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结
合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把
或 看成一个整体，利用基本不等式或函数求解.
跟踪训练1 设 是椭圆 上一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，且
.
（1）求 的面积；
解 由椭圆的方程知， ， ，所以 ，所以 ， ．
在 中， ，即
．①
由椭圆的定义知， ，
所以 ．②
，得 ，
所以 ，所以 ．
（2）求点 的坐标；
设 ，则 ，
由（1）可得 .
于是 ，所以 ，
将 代入椭圆方程，得 ，解得 ，所以 ，所以点
的坐标为 或 ．
（3）求 的值.
由（1）得 ， ，
由（2）可知点 的坐标为 或 , ，
所以 ， 或
， ，
故 ．
【题型二】与椭圆定义有关的最值问题
角度1 椭圆上动点到两定点距离的最值问题
例2（1） [2023苏州调研] 已知点 ， 是椭圆 的左焦点， 是椭圆
上任意一点，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设 是椭圆 的右焦点，则 .
又因为 ，
， ，
所以 ，即 .故选A．
（2） ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，设点
，则 的最小值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由椭圆方程得 ， .如图，连接 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以
．故选A．
题后反思
定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题中的条件能转化为动点到两定点的距离之和为常数的问题，那么可考虑利用椭圆的定义解题.
跟踪训练2（1） 已知椭圆 ， 是椭圆的左焦点， 是椭圆上一点，
是椭圆内一点，则 的最小值为( )
A
A.3 B. C. D.
[解析] 由椭圆的方程可得 ，焦点 .点 在椭圆内部，设右焦点为 ，
则 ，所以
，当且仅当
， ， 三点共线时取等号.故选A．
（2）已知 是椭圆 的左焦点， 是此椭圆上的动点， 是一定
点，则 的最大值是_ ______.
[解析] 椭圆 的标准方程为 ，设右焦点为 ，根据椭圆的
定义，可得 ，所以 取得最大值，即 最
大. ，当 ， ， 三点
共线时，等号成立，所以 的最大值是 ．
角度2 椭圆上动点到一定点距离的最值问题
例3 已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点 到椭圆中心 的距离的
取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 不妨设椭圆的焦点在 轴上，则该椭圆的标准方程为 设点 ，
则 ，且有 ，所以
．故选A．
规律方法 椭圆上的点到某一定点的距离的最大值与最小值问题的解题策略
（1）椭圆上的点 到中心点 的距离的取值范围为
（2）椭圆上的点 到焦点 的距离的取值范围为
（3）椭圆上的点 到某一定点距离的最大值、最小值问题一般通过建立二次函数，
利用椭圆的定义求解.
跟踪训练3 已知 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆
的切线，设其中一个切点为 ，则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
【题型三】椭圆定义与离心率结合问题
例4（1） [2023无锡期中] 已知椭圆 的上焦点为 ，过原点 的直线 交 于点 ,
，且 .若 ，则 的离心率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 设椭圆 的下焦点为 ，显然 .因为过原点 的直线 交 于点 ，
，所以 ，因此，四边形 是平行四边形.又因为 ，所以
，所以 是以 为斜边的直角三角形.因为 ，
所以 ， .因为四边形 是平行四边
形，所以 .由椭圆的定义可知
.故选A．
（2）椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭
圆的中心，且与椭圆交于点 .若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意，得 ， ，所以
，所以 ，所
以离心率为 ．故选C．
题后反思
利用 ， 利用椭圆定义去转换， 利用焦距表示，再结合平面几何、三
角函数、不等式以及函数的内容，往往可以解决许多离心率问题.
跟踪训练4（1） [2023徐州质检] 已知 , 分别是椭圆 的左、
右焦点， 为椭圆上一点，且 .若 ，则椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设 ，则 .由椭圆的定义知 .因为
，所以 ，即 ，所以 ，所以
，所以椭圆的离心率为 ．故选C．
（2）过椭圆的右焦点 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于 ， 两点， 为椭圆的左焦
点.若 为正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如图，易知 ，
．
由椭圆的定义，可得 ，则该椭
圆的离心率为 ．故选A.(共23张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.直线与椭圆的位置关系
位置关系 判断方法（代数法）
相交
相切
相离
知识点2.直线与椭圆相交
（1）弦长公式
若直线与椭圆相交于 ， 两点，则弦长
.
（2）点差法
若直线与椭圆交于 ， 两点，弦 的中点坐标为 ，则：
焦点位置
点差法结论
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线与椭圆的位置关系的判断
例1 设直线与椭圆的方程分别为 与 ，求 为何值时，
（1）直线与椭圆有一个公共点；
（2）直线与椭圆有两个公共点；
（3）直线与椭圆无公共点.
题后反思
判断直线与椭圆的位置关系，可以直接将直线方程和椭圆方程联立，通过消元得
到关于 （或 ）的一元二次方程，然后利用判别式判断；有些题目需要注意直线所
恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围.
解 联立 得 ，
.
（1）当 ，即 时,直线与椭圆有一个公共点.
（2）当 ，即 时,直线与椭圆有两个公共点.
（3）当 ，即 或 时，直线与椭圆无公共点．
跟踪训练1 若直线 与椭圆 恒有两个公共点，则 的取值
范围为( )
C
A. B. C. D. ,
[解析] 联立
得 .
要使得直线 与椭圆 恒有两个公共点，则
.
因为 ， ,所以 ， ， .
又 ，所以 且 ,
所以 的取值范围为 ．故选C．
【题型二】直线与椭圆相交的弦长问题
例2 已知椭圆的长轴长是 ，焦点坐标分别是 ， .
（1）求椭圆的标准方程；
解 由已知得 ，则 ．又因为 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ．
（2）如果直线 与该椭圆交于 ， 两个不同的点，且 ，求 的
值.
解 联立
消去 ，得 .
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以
，解得 .
由根与系数的关系,得 ，
,
所以 ,解得
．
规律方法 求解直线被椭圆截得的弦长的方法
（1）直接利用两点间的距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点
坐标，再利用两点间的距离公式求弦长.
（2）弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长.
设直线与椭圆交于 ， 两点，则有
（ 为直线的斜率）.
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
跟踪训练2 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，
短轴长为2，离心率为 ，过左顶点 的直线 与椭圆交于另一点 .
（1）求椭圆 的方程；
解 由题意,得 解得
所以椭圆 的方程为 ．
（2）若 ，求直线 的倾斜角.
解 由题意知直线 的斜率存在，易得左顶点为 .
设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程，得 .
因为一个根为 ，所以另一个根为 ，所以
，化简，得 ，即 ，
解得 .
故直线 的倾斜角为 或 ．
【题型三】中点弦与点差法
例3（1） [2023苏州调研] 已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆相交于
， 两点且弦 被点 平分，则直线 的方程为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设点 ， ，由已知可得 两式作差
得
，
即 ，
所以直线 的斜率为 ，因此，直线 的方程为
，即 ．故选C．
（2）[2023南京期中] 已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的
直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， .若 为线段 的中点， 为
坐标原点，直线 的斜率为 ，则椭圆 的方程为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 直线 过点 ，令 ，则 ，所以 ，即
．
设 ， ，则 ， ，两式相减并化简，得
，
所以 ， , ， ，
，所以椭圆 的方程为 ．故选D．
题后反思
涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系.
跟踪训练3 [2023扬州期末] 已知椭圆 的右焦点为 ，
过点 的直线交椭圆于 , 两点.若 的中点坐标为 ，则 的方程为
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设点 ， ，则 两式作差得 ，
整理，得 .
设线段 的中点为 ，则 .
又 ， ，
所以 ，
所以 解得
因此，椭圆 的方程为 ．故选D．
【题型四】直线与椭圆相切
例4（1） 已知椭圆 ，点 在椭圆上，则该椭圆在点 处的切线方程
为_ _____________.
[解析] 由题意可知切线的斜率存在，设切线方程为 ，联立
得 ，
整理，得 ，令
，整理，得
，即 ，解得 ，所以切线方程为
，即 .
（2）已知点 是椭圆 上的任意一点，则点 到直线 的最
大距离为_ _______.
[解析] 设直线 与椭圆相切，联立 得
，
所以 ，解得 ，所以切线方程为
和 ，与直线 距离较远的是 ，
所以所求最大距离为 ．
题后反思
对于直线和椭圆相切问题，我们一般将直线方程和椭圆方程联立建立一元二次方程，利用根的判别式等于零来解决问题.
跟踪训练4 [2023海安质检] 在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，
为椭圆 上的动点，直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 的最小值为
_ ___.
[解析] 设直线 与椭圆 相切，联立并消去 ，得
，
所以 ，可得 ，显然 与
椭圆无交点，
当 时，切线为 ，与 的距离为 ；当 时，
切线为 ，与 的距离为 .故点 到直线 的距离 的最小值
为 ．(共20张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.直线与双曲线相交的弦长公式
设直线与双曲线的两个交点为 ， ， ，
则弦长 ，
，其中“ ”是消去“ ”后关于“ ”的一元二次方
程中“ ”的系数.
特别地，双曲线通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为
.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】直线与双曲线位置关系的判断
例1（1） 已知双曲线 ，求当直线 的斜率 为何值时，过点 的直
线 与双曲线只有一个公共点；
解 ①当直线 的斜率不存在时，直线 与双曲线相切，符合题意．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
代入双曲线方程，得 ．
当 ，即 时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一
个公共点．
当 时，令 ，得 ．
综上，当 或 或直线 的斜率不存在时，过点 的直线 与双曲线都只有一
个公共点．
（2）若直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，求 的取值范围.
把 代入 ，得 ，
化简，得 .
由题意知 即
解得 ．
故 的取值范围为 , .
题后反思
（1）解决直线与双曲线的位置关系问题，一般采用代数法，即将直线方程与双曲
线方程联立，通过判别式 的符号确定位置关系.
（2）直线与双曲线相交，应考虑交在同一支上还是交在两支上，可用直线的斜率
与渐近线斜率比较.
对于实轴在 轴上的双曲线，若 ，则交在同一支上；若 ，则交在两
支上.
若直线过焦点，则可考虑用双曲线的定义.
跟踪训练1（1） [2023如东调研] 直线 过点 ，且与双曲线 有且只有
一个公共点，则这样的不同直线的条数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立
得 ，当
时， 不成立，方程组无解；当 时，解得 ， ，方程组
有唯一解，即直线 与双曲线有唯一公共点；当 时，
，即当直线
的斜率存在时，符合条件的直线只有1条.
当直线 的斜率不存在时，直线 ，代入双曲线方程得 ，即直线 与双曲
线也有唯一公共点.综上，符合条件的直线有2条．故选B.
（2）已知直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则斜
率 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由 可得 .因为直线 与双
曲线 的右支交于不同的两点，所以
解得 ，所以斜率 的取值范围是 .故选C.
【题型二】直线与双曲线相交
角度1 求弦长
例2 [2023海安调研] 过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 ， 两点.
若 ，则这样的直线 的条数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 设 ， ，当直线 与 轴垂直时， ，满足题意；当直
线 与 轴不垂直时，设直线 ，联立直线与双曲线方程，得
整理，得 ，所以
， ，
所以 ，解
得 .
综上,满足这样的直线 的条数为3.故选C.
题后反思
直线与双曲线相交涉及弦长问题时，往往采用设而不求的方法，即设出弦两端点的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，结合弦长公式进行求解.需要注意的是直线与双曲线相交可能交于一支，也可能交于两支.
跟踪训练2 已知直线 与双曲线 交于 ， 两点，且 ，
则实数 的值为( )
B
A. B. 或 C. D.
角度2 点差法
例3（1） [2023扬州月考] 直线 经过 且与双曲线 交于 ， 两点.
如果点 是线段 的中点，那么直线 的方程为( )
A
A. B. C. D.不存在
[解析] 当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意.
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，设 ， .
因为点 是线段 的中点，
所以 ， ，
代入双曲线方程，得
两式相减得 ，
则 .
又直线过点 ，所以直线方程为 .
联立 得 ，
经检验， ，方程有解，
所以直线 满足题意．故选A．
（2）已知双曲线 ，斜率为2的直线与双曲线 相交于点
， ，且弦 的中点坐标为 ，则双曲线 的离心率为( )
B
A.2 B. C. D.3
[解析] 设 ， ，则 ， ，所以 ，
所以 .
又弦 的中点坐标为 ，所以 ， .因为 ，所以
，即 ，所以双曲线的离心率
．故选B．
题后反思
直线与双曲线相交，涉及弦的中点问题时，可使用点差法，即设出弦的两个端点坐标，代入双曲线方程，两式相减即得弦的中点坐标和直线斜率的关系.
跟踪训练3 已知倾斜角为 的直线与双曲线 相交于 ，
两点， 是弦 的中点，则双曲线的离心率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为倾斜角为 的直线与双曲线 相交于 ， 两
点，所以直线的斜率 .设 ， ，则 ，
.
，得 ，
则 .
因为 是弦 的中点，
所以 ， .
因为直线的斜率为1，所以 ，即 ， ，所以
，所以 ，所以 .故选D．
