(共10张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.下列有关数列的说法正确的是( )
D
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列 ，0，2与数列2，0， 是同一个数列
C.数列2，4，6，8可表示为 ，4，6，
D.数列中的每一项都与它的序号有关
2.在数列 中， ,则 等于( )
B
A.2 B.3 C.9 D.32
3.数列2， ，6， ， 的通项公式可能是( )
C
A. B.
C. D.
4.已知数列 的通项公式为 ，则33是这个数列的( )
C
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
5.已知数列 的通项公式是 ,则122是该数列的第____项.
11
6.数列 的通项公式是 .
（1）这个数列的第4项是多少？
解 因为 ，所以 .
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
令 ，即 ，解得 或 （舍去），所以150是这个数列的项，是第16项.
B层 能力提升练
7.若一个数列为1， ， ， ， ，则 是这个数列的( )
D
A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项
8.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 中，第25项为( )
C
A.2 B.6 C.7 D.8
9.（多选题）已知数列0，2，0，2，0，2， ，则前六项适合的通项公式为( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] 分别验证，写出各数列的前六项可得.选项A的前六项为0，2，0，2，0，2，满
足条件；选项B的前六项为0， ，0，2，0， ，不满足条件；选项C的前六项为0，
2，0，2，0，2，满足条件；选项D的前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件.故
选 .
10.已知数列 .
（1）求这个数列的第10项.
解 设 ，则 .
（2） 是不是该数列中的项？为什么？
解 不是.理由：令 ，得 .此方程无正整数解，所以 不是该数列
中的项.
（3）求证：数列中的各项都在区间 内.
证明 因为 ，
所以 ，所以 ，所以数列中的各项都在区间 内.
（4）在区间 内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.
解 令 ，即 所以 所以当且仅当 时，
上式成立，故在区间 内有数列中的项，且只有一项,为 .
C层 拓展探究练
11.如图1是第七届国际数学教育大会（简称 ）的会徽图案,会徽的主体图案是
由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中 ,若
把图2中的直角三角形继续作下去,记 , , , , 的长度构成数列 ,则
_ ___,此数列的通项公式为 _ ___
图1
图2
2
[解析] 因为 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ， ， .(共24张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.数列及其有关概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列
的一般形式可以写成 , , , , , ,简记为 ，其中 称为数列 的第1项
或首项, 称为第2项 称为第 项.
注意两个区别：（1） 与 的区别： 表示数列 , , , , , ;
表示数列 的第 项.（2）数列与集合的区别：数列是按照一定次序排列的一列数，
其每一项必须是数，是有序的；而集合中的元素可以是数，也可以是点、方程等，其
排列是无序的.
知识点2.数列的分类
项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列.
知识点3.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，它可以看成以正整数集 （或它的有限子集 ，2， ， ）为定义域的函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反过来，对于函数 ，如果 有意义，那么就可以得到一个数列 , , , , ， .
知识点4.数列的通项公式及表示法
一般地，如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示.
数列的图象是一些离散的点.并非所有的数列都能写出它的通项公式，对于一个确定的数列，其通项公式也不一定唯一.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】数列的有关概念及其分类
例1 （多选题）下列有关数列的说法正确的是( )
BD
A.数列 ，0，1与数列1，0， 是同一个数列
B.数列可以看成一个定义在正整数集（或它的有限子集 ，2， ， ）上的函数
C.数列 与 表示同一数列
D.数列1，2，1，2，1，2， 是无穷数列
[解析] 数列 ，0，1与数列1，0， 中项的顺序不同，即表示不同的数列，故A不正确；由数列的函数性质可知B正确；数列 表示数列 ， ， ， ， ， ，而数列 表示数列 ， ， ， ， ， ，不是同一数列，故C不正确；由于数列1，2，1，2，1，2， 有无穷多项，所以是无穷数列，故D正确.故选 .
题后反思
准确理解数列的有关概念是解决这类问题的关键.如：数列是按照一定次序排列的一
列数，也是一种特殊的函数，其图象是一些离散的点；数列 中的 表示第 项等.
跟踪训练1 现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1， 是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④数列可以用一群孤立的点表示.
其中正确的有( )
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【题型二】根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1） ， ， ， ;
解 各项均是分式且分子均为1，分母均为两因数的积，第一个因数是项数加上1，第
二个因数比第一个因数大2，所以它的一个通项公式为 .
（2） ， ， ， ;
数列可写为 ， ， ， ，分子满足 ， ， ，
，分母满足 ， ， ，
，所以它的一个通项公式为 .
（3） ，7， ，31;
正负相间，且负号在奇数项，故可用 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次
幂减1，所以它的一个通项公式为 .
（4）2，6，2，6.
为摆动数列，一般求两数的平均数 ，而 ， ，中间符号用
来表示，所以它的一个通项公式为 或
题后反思
由数列的前几项写出其中一个通项公式.往往要观察数列的前几项是否具有以下几个特征：各项的符号是否正负相间；各项能否拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”等；相邻项的变化规律；奇偶项是否有变化；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子与分母之间的关系等.
跟踪训练2（1） （多选题）已知数列 的前5项为 ，1， ，1， ，则
的通项公式可能为( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] 观察数列 的前5项可知， 的通项公式可能为
，因为 ，
所以 ；若 ，则 ，不符合题意.故选 .
（2）根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式：
① ，3，8，15，24， ；
解 观察数列中的数，可以看到 ， ， ， ，
， ，所以它的一个通项公式为 .
② ， ，5， ，9， ；
数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，
偶数项为负，所以它的一个通项公式为 .
③ ， ， ， ， ， ；
此数列的整数部分为1，2，3，4， ，恰好是序号 ，分数部分与序号 的关系为
，故所求数列的一个通项公式为 .
④1，11，111， ， ， .
原数列的各项可变为 ， ， ， ， ， ，易知数列9，99，999， ， ， 的一个通项公式为 ，所以原数列的一个通项公式为
【题型三】数列中项的求解与判断
例3 已知数列 的通项公式为 .
（1）求这个数列的第4项与第25项.
解 因为 ，所以 ， .
（2）253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
假设253是这个数列中的项，则 ，解得 ，所以253是这个数列
的第121项.假设153是这个数列中的项，则 ，解得 ，这与 是
正整数矛盾，所以153不是这个数列中的项.
题后反思
（1）已知数列的通项公式，只要将序号代替公式中的 ，就可以求出数列的指定项.
（2）判断某数值是否为该数列的项：先假定它是数列中的第 项，然后列出关于
的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不
是该数列的一项.
跟踪训练3（1） 已知数列1，2， ， ， , ,则10是该数列的第____项.
34
（2）在数列 中，若 ,则 的值为____.
27
【题型四】用列表法与图象法表示数列
例4 已知数列 的通项公式，分别用列表法和图象法表示它们
（1） ；（2） .
解 列表法分别表示这两个数列为
1 2 3 4 5
1 3 1 3 1
2
和 的图象分别如图1，2.
图1
图2
题后反思
对于任意数列 ，其每一项的序号与该项都有对应关系，于是可以用列表法表示；这样，根据列表法可知，数列的图象是一群孤立的点.一般情况下，我们用横坐标表示序号 ，纵坐标表示项 ,注意横坐标是正整数.
跟踪训练4 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象：
（1）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（2）欧拉函数 的函数值按从小到大的顺序排列成的数列.［注：欧拉函
数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的正整数的个数，如
，
图2
解 令数列的第 项为 .
（1）前10项为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29.图象如图1.
（2）前10项为1，1，2，2，4，2，6，4，6，4.图象如图2.
图1(共10张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.下列数列中，不成等差数列的是( )
B
A.2，5，8，11 B. , , ,
C. , , , D. , , ,
2.“ , , 成等差数列”是“ ”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若等差数列 的公差为 , 为常数且 ,则( )
B
A.数列 是公差为 的等差数列 B.数列 是公差为 的等差数列
C.数列 是首项为 的等差数列 D.数列 不是等差数列
4.若 是2，8的等差中项，则 ___.
5
5.请写出三个数，使它们成等差数列，且这个数列的公差为 ，这三个数为________
____________________.
0， ， （答案不唯一）
6.若3， , , , 成等差数列，求 , , 的值.
解 由题意，得 解得
B层 能力提升练
7.现有下列命题：
①若 ,则数列 是等差数列；
②若 ,则数列 是等差数列；
③若 ， 是常数 ，则数列 是等差数列.
其中真命题有( )
C
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.已知无穷数列 和 都是等差数列，其公差分别为 和 ，若数列 也是
等差数列，则( )
B
A. B.
C. , 可以是任何实数 D.不存在满足条件的实数 和
9.已知数列 满足 , ,则 与 的等差中项是( )
C
A. B. C.5 D.10
10.设甲： 的一个内角为 ，乙： 的三个内角的度数成等差数列，那
么( )
C
A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
11.已知数列 和 满足 , , ,
.证明：数列 是等差数列.
证明 因为 ， ，两式相减,得
，所以 .又因为
，所以 是首项为1，公差为2的等差数列.
C层 拓展探究练
12.[2023南京模拟] 已知等差数列 的首项为 ,且 ，则
__________.
1或6或11
[解析] 当 时， 为常数列，所以 ；当 时， 是首项为1，公差为1的等差数列，所以 ；当 时， 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 .
13.设 和 是两个等差数列,记 , , ,
,其中 , , , 表示 , , , 这 个数中最小的
数.
（1）若 , ，求 , , 的值；
解 因为 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ， ， .
（2）若 , ,证明 是等差数列.
证明 因为 ， ，所以 ，当 时， ;当 时， ，所以 为递增数列，所以 ， ， ， ，所以对任意 ， ，所以 ，所以 是等差数列.(共10张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.401是等差数列5，9，13， 的( )
C
A.第98项 B.第99项 C.第100项 D.第101项
2.在数列 中, , ,那么这个数列的通项公式是( )
B
A. B. C. D.
3.（多选题）等差数列20,17,14,11, 中的负数项可以是( )
BCD
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
4.已知 是等差数列，且 ,则 ( )
B
A.1 B.3 C.5 D.7
5.在等差数列 中， , ,则 的值为( )
B
A.18 B.20 C.22 D.24
6.已知 为等差数列,若 , ,则 _ ___.
7.在等差数列 中, , .
（1）求数列的第10项.
（2）112是数列 的第几项
（3）在80到110之间有多少项
解 设数列 的公差为 ，则 解得
.
.
由 ，解得 ,所以112是数列 的第39项.
（3）由 ,解得 ，
所以 的值为29，30， ，38，共10项.
故80到110之间有10项.
B层 能力提升练
8.（多选题）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个
数依次为( )
AB
A. ,4,10,16 B.16，10，4， C.2，5，8，11 D.11,8,5,2
9.在数列 中， , ，则数列 的通项公式为_________.
10.写出一个公差不为零，且满足 的等差数列 的通项公式
_ ____________________.
（答案不唯一）
11.已知等差数列 的首项为2，公差为8，在 中每相邻两项之间插入三个数，使
它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列 ,则数列 的通项公式 _ ___.
12.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起，由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销此产品将亏损
解 设第 年的利润为 万元，
则 ， ，所以每年的利润构成一个等差数列 .
从而 .
若 ，则该公司经销此产品将亏损，令 ，得 .
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
C层 拓展探究练
13.意大利数学家斐波那契在《算盘全书》中提出一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,这个
数列被称为斐波那契数列.数列 与自然界的许多现象有密切关系,在科学研究中有
着广泛的应用.若该数列 满足 , ,则该数列的前1 000
项中,为奇数的项共有( )
D
A.333项 B.334项 C.666项 D.667项
[解析] 因为 为奇数， 为偶数， ， 为奇数，
为偶数，依此类推， ， ， ， 为偶数.由 ，可得为偶数的
项共有333项，那么为奇数的项共有667项.故选D.
14.已知数列 ， 都是等差数列，公差分别为 , ,数列 满足
.
（1）数列 是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
解 数列 是等差数列.
证明:因为数列 ， 都是等差数列，公差分别为 ， ，所以
， .又因为
， 故
. 而 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数
列.
（2）若 , 的公差都等于2， ,求数列 的通项公式.
由（1）知，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，且 ， ，所以 .(共15张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.下列说法错误的是( )
B
A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是
C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D. , , 成等比数列
2.若2, ,6成等比数列,则 等于( )
B
A.1 B. C.2 D.
3.在等比数列 中, , ,则 ( )
C
A.16 B.16或 C.32 D.32或
4.在数列 中,若 , ,则 ( )
B
A.108 B.54 C.36 D.18
5.已知数列 和 满足 ,则“数列 为等比数列”是“数列 为等比数
列”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.（多选题）若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )
AB
A. B.
C. D.
7.在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列
的通项公式为_ __________.
8.已知数列 的通项公式,判断它是否为等比数列.
解 由等比数列的定义可知， , ，若 是一个与 无关的常数，
则数列 是等比数列.
（1） ；
，不是常数，故 不是等比数列.
（2） ；
，故 是等比数列.
（3） ；
，不是常数，故 不是等比数列.
（4） .
，故 是等比数列.
B层 能力提升练
9.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”出自《庄子·天下篇》,其意思为“一根一尺长的木棰,每
天截取其一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下 尺,第二天被截取剩
下的一半剩下 尺, ,第五天被截取剩下的一半剩下 尺,则 等于( )
D
A.18 B.20 C.22 D.24
10.已知不等式 的解集中的三个整数解构成等比数列 的前三项,则
数列 的第四项是( )
D
A.8 B. C.8或2 D.8或
11.若等差数列 和等比数列 满足 , , ,则 的公比
为( )
B
A.2 B. C.4 D.
12.若 是等比数列的通项公式，则 ___.
2
13.在 中，若 , ， 成公比为 的等比数列，则 _ _.
[解析] 由 ， ， 成公比为 的等比数列，得 ，
.设角 ， ， 的对边分别 ， ， ，则由正弦定理可知，
， ，所以 .
14.一个正实数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该正实数的小数部分
为_ ____.
[解析] 设该正实数的小数部分为 ，整数部分为 .由题设知
.若 ，则 ，矛盾.从而
， ,故 . 又因为 ，且 是整数，所以 ， .因
此，该正实数的小数部分为 .
15.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ,
（1）求 ;
解 设等差数列 的公差为 ， ，解得 .又
，所以 ， ，所以 .
（2）若 为 与 的等比中项，求 .
解 由题意，得 ，即 ，化
简得 ，解得 或 （舍去），故 .
16.在 中,角 , , 的对边分别是 , , ,若 , , 成等比数列,且
,求 的大小及 的值.
解 因为 ， ， 成等比数列，所以 .又 ，所以
，即 .在 中，由余弦定理,得
，所以 .在 中，由正弦定理,得
.因为 ， ，所以 .
C层 拓展探究练
17.已知在等差数列 中, , , , 成等比数列,把各项按
如图所示排列,则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为________.
275或8
[解析] 设 的公差为 ，
由 ，得 .
由 ， ， 成等比数列，
得 ，解得 或 .
当 时， ， ，由题图可得第10行第11个数为数列 中的第92项， ；当 时， ，则 .
18.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,这样的操作称为该数列的
一次“ 扩展”.已知数列1，2，3第一次 扩展后得到数列1,3,2,5,3；第二次 扩展后得
到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设第 次 扩展后得到数列1, , , , ,3,并记
.
（1）求 ， ， 的值；
解 设 ， ， ,则
.由
，得 ， .
（2）若 ,证明： 为等比数列.
证明 ，即 .又 ，故 为等比
数列.(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.通过实例理解等比数列的概念.2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列,并能进行简单的求值.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.等比数列的概念
文字 语言
符号 语言
注意：等比数列的每一项都不为0.
知识点2.等比中项
若 , , 成等比数列，则称 为 和 的等比中项，此时 .
只有两个同符号的非零实数才有等比中项,其等比中项有两个，它们互为相反数.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】等比数列的概念
例1 判断下列数列是否为等比数列,如果是,写出它的公比.
（1）1, , , , ,…；
解 不是等比数列.
（2） , , , , ；
解 是等比数列，公比为 .
（3）1,0,1,0,1,0, ；
解 不是等比数列.
（4）1, ,16, ,256, .
解 是等比数列，公比为 .
规律方法 判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列;否则不是等比数列.等比数列中任意一项不能为0,对于含参的数列需要分类讨论.
跟踪训练1（1） 对于无穷常数列7,7,7, ,下列说法正确的是( )
D
A.该数列既不是等差数列也不是等比数列 B.该数列是等差数列但不是等比数列
C.该数列是等比数列但不是等差数列 D.该数列既是等差数列又是等比数列
[解析] 该数列看成等差数列时，公差为0；该数列看成等比数列时，公比为1.故选D.
（2）（多选题）以下数列中,不能判断数列是等比数列的有( )
ABC
A.数列1,2,6,18,
B.数列 中,已知 ,
C.常数列 , , , ,
D.数列 中, ,其中
[解析] 对于A，数列不符合等比数列的定义,不是等比数列；对于B，前三项成等比数
列，多于三项时，无法判断，故不能判断是等比数列；对于C，当 时，不是等
比数列；对于D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选 .
【题型二】等比中项及其应用
例2（1） 已知等比数列的前三项依次为 , , ,求实数 的值；
解 因为等比数列的前三项依次为 ， ， ，所以 ，解得 或 .
又因为当 时， ，不合题意，所以实数 的值为 .
（2）已知等比数列 中, , ,求 和 的等比中项.
解 因为 是等比数列，所以 是 和 的等比中项，即 ，所以
，解得 ，从而 .
设等比数列 的公比为 ，则 解得 所以 ,
.
设 和 的等比中项为 ，则 ,所以 ，故 和
的等比中项为 .
规律方法
涉及三个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中项的符号.
跟踪训练2 在等差数列 中, ,公差 .若 是 和 的等比中项,则
( )
B
A.2 B.4 C.6 D.8
【题型三】等比数列的判断或证明
例3 已知数列 是首项为3,公差为2的等差数列,令 ,求证:数列 是等比数列.
证明 依题意, ,所以 ，所以
,
所以数列 是首项为 ，公比为25的等比数列.
规律方法 判断或证明一个数列是等比数列的主要方法
（1）定义法:若当 时, （ , 为常数）,则数列 为等比数列.
（2）等比中项法:对于各项均不为0的数列 ,若 ,则数列 为等比数列.
跟踪训练3 已知数列 的通项公式，判断它是否为等比数列.
（1） ；
解 ， ， 是等比数列.
（2） ；
解 ， ，不是常数，故 不是等比数列.
（3） ；
解 ， ， 是等比数列.
（4） .
解 ， ，不是常数，故 不是等比数列.(共19张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.利用数学归纳法证明不等式 的过程中,由
变到 时,左边增加了( )
D
A.1项 B. 项 C. 项 D. 项
2.已知命题 及其证明：
①当 时，左边 ，右边 ，所以等式成立；
②假设 时等式成立，即 成立，则当
时， ，所以 时等式也成立.
由①②知，对任意的正整数 等式都成立.
判断以上评述( )
B
A.命题、推理都正确 B.命题正确,推理不正确
C.命题不正确,推理正确 D.命题、推理都不正确
3.用数学归纳法证明 时,
从 到 的证明,若设 ,则
( )
B
A.
B.
C.
D.
4.（多选题）已知一个命题 , ,若当 ,2, ， 时，
成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( )
AD
A. 对 成立
B. 对每一个自然数 都成立
C. 对每一个正偶数 都成立
D. 对某些偶数可能不成立
5.用数学归纳法证明 时,第
一步应验证的等式是_ ________；从“ ”到“ ”左边需增加的代数式是
_ ___________.
6.用数学归纳法证明： .
证明 ①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，等式
成立.
②假设当 时，等式成立，即
，
则当 时， ，
所以当 时，等式也成立.根据①②可知，对任意的 ，等式成立.
B层 能力提升练
7.现有命题“ , ”不
知真假，请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为( )
B
A.不能用数学归纳法去判断真假
B.一定为真命题
C.加上条件 后才是真命题，否则为假
D.存在一个很大常数 ,当 时，命题为假
8.利用数学归纳法证明等式:
,当 时,左
边的和 记作 ,当 时,左边的和记
作 ,则 ( )
C
A. B.
C. D.
9.（多选题）如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下
列结论正确的是( )
BC
A.若 对 成立，则 对所有正整数都成立
B.若 对 成立，则 对所有正偶数都成立
C.若 对 成立，则 对所有正奇数都成立
D.若 对 成立，则 对所有自然数都成立
10.（多选题）设 是定义在正整数集上的函数,且 满足当 成立时,
总有 成立，则下列命题总成立的是( )
AD
A.若 成立,则 成立
B.若 成立,则当 时,均有 成立
C.若 成立,则 成立
D.若 成立,则当 时,均有 成立
11.若 ,用数学归纳法验证关于 的命题时，第
一步计算 _ _;第二步“从 到 时”， __________
___________.
12.已知存在常数 ，使等式 对
都成立，则 ___.
5
13.用数学归纳法证明
,其中 .
证明 ①当 时，左边 ，右边 ，
左边 右边，等式成立.②假设当 时，等式成立，即
，那么当
时， ，即当 时，
等式也成立.综上，对任意的 ，等式都成立.
14.观察下列等式：
……
据此规律，请你猜想出第 个等式并证明你的结论.
解 猜想第 个等式为 .证明：当
时， ，显然成立；假设当 时， 成
立，那么 时， ，
所以对任意的 ， 成立.
C层 拓展探究练
15.已知向量 , , , ,则
____.
[解析] .下面用数学归纳法进行证明：当
时， ， 满足题意，假设当 时， , ,则当
时， ， ， ，
， ， ， ，
故 ， ,所以 ,，
所以 .
16.是否存在常数 ， ,使得等式 对一切正整数
都成立？若存在，求出 , 的值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说
明理由.
解 分别令 ，2，可得 解得 猜想
对一切正整数 都成立.下面用数学归纳法证明：
①当 时，由上面的探求可知等式成立.②假设 时猜想成立，即
,
当 时，
，
所以当 时等式也成立.
由①②知猜想成立，即存在 ， 使命题成立.(共17张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解数学归纳法的原理.2.能利用数学归纳法证明与正整数有关的问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.数学归纳法
一般地,证明一个与正整数 有关的数学命题,可按如下两个步骤进行:
（1）证明当 时命题成立；
（2）假设当 时命题成立,证明当 时命题也成立.
根据 就可以断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立.
上述证明方法叫作数学归纳法.
名师点睛
（1）初始值 不一定是1,要结合题意恰当地选择.
（2）框图表示
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】对数学归纳法原理的理解
例1（1） 用数学归纳法证明不等式 时,初始值 应等于___.
6
[解析] 由题意，得当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，所以用数学归纳法证明不等式 时，初始值 应等于6.
（2）用数学归纳法证明 的过程如下:
①当 时,左边 ,右边 ,等式成立.
②假设当 时等式成立,即 ,则当
时, ,所以当 时等式也成立.由
此可知对于任意的 ,等式都成立.
上述证明中,错误是______________.
未用归纳假设
[解析] 在由 成立证明 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用
归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
题后反思 数学归纳法的三个注意点
（1）验证是基础.找准起点,合理验证,有些问题中验证的初始值不一定是1.
（2）递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律.
（3）利用假设是核心.在第二步证明 时,一定要利用归纳假设.
跟踪训练1 对于不等式 ,某同学用数学归纳法的证明过程如下:
（1）当 时, ,不等式成立;
（2）假设当 时,不等式成立,即 ,则当 时, ,不等式成立.
上述证法( )
D
A.过程全部正确 B. 验证不正确
C.归纳假设不正确 D.从 到 的推理不正确
【题型二】数学归纳法中的增项问题
例2（1） 用数学归纳法证明“ ”时，假设当 时命
题成立，则当 时，左端增加的项为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 当 时，不等式的左边 ，当 时，
不等式的左边 ，当 时，不等式的左边
比 时增加 .故选D.
（2）用数学归纳法证明： 的过程中，
由 递推到 时等式左边增加的项数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 当 时，等式为 ，当 时，
等式为 ，增加的项数
为 .故选B.
题后反思
在利用归纳假设论证 时等式也成立时，应注意分析 和
时两个等式的差别.
跟踪训练2（1） 在用数学归纳求证：
为正整数 的过程中，从“ 到
”左边需增乘的代数式为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 当 时，左边 .当
时，左边
，则
故选D.
（2）利用数学归纳法证明不等式 的过程中，
由 到 ，左边增加的项数为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意，当 时，左边 ，当 时，左边
，增加的部分为
，共 项.故选D.
【题型三】用数学归纳法证明等式
例3 用数学归纳法证明： .
证明 ①当 时， ，等式成立.
②假设当 时等式成立，则 ,则当
时，有 ，即当 时，等式也成立.
由①②可知，对任意的 ，等式都成立.
规律方法 用数学归纳法证明等式时应注意的问题
（1）首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与 的取值是否有关,由 变化到 时等式两边会增加（或减少）多少项.
（2）利用归纳假设,将 时的式子经过恒等变形转化到 时的式子中得到要证的结论.
跟踪训练3 用数学归纳法证明:
.
证明 ①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，所以等式
成立.
②假设当 时，等式成立，即
，
则当 时，
，等式也成立.
由①②知，对任意的 ，等式都成立.(共20张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.两个等差数列的公共项问题
求两个等差数列的公共项可以通过解不定方程；也可以通过观察找出规律，再求解.
知识点2.等差数列前 项和的最值与参数范围问题
根据等差数列前 项和的最值求参数的值（或范围）的问题，其关键是寻求数列 的正、负项分界点，可以利用数列项的大小性质，也可以从前 项和的函数考虑.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】两个等差数列的公共项构成的新数列问题
例1 数列 与 的通项公式分别为 ， ，它们的公共项由
小到大排成的数列是 ，求数列 的通项公式.
解 设 ，则 ，所以 .因为3，4互质，所以
必为4的倍数，即 ，所以 ，即数
列 的通项公式为 ．
规律方法
解决两个等差数列的公共项问题有两种方法：（1）不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；（2）周期法：即寻找下一项,通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律（周期），分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.
跟踪训练1 已知等差数列 ，5，8， 与等差数列 ，5，9， 均为40项,
求它们的公共项构成的数列 的通项公式.
解 ，5，8， 的公差为3； ，5，9， 的公差为4.观察归纳可知，它们的相同项构成以5为首项,12为公差（3，4的最小公倍数）的等差数列，所以 .因为 ， ， ,所以 的通项公式为 .
【题型二】根据等差数列前 项和的最值求参数的值（或范围）
例2（1） 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 取最大值时
的值为( )
B
A.6 B.7 C.8 D.13
[解析] 根据 ， ，可以确定 , ，所以可以得到 , ，所以当 取最大值时， 的值为7.故选B .
（2）设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知 ，
，若对任意 都有 成立，则 的值为( )
B
A.10 B.20 C.30 D..40
[解析] 设等差数列 的公差为 ，
由 解得
所以 ，所以
当 时， 取得最大值．因为对任意 都有 成立，所以 为数列
的最大值，所以 ．故选B.
规律方法
根据等差数列前 项和的最值求参数的值（或范围）的问题，其关键是寻求数列
的正、负项分界点，主要方法：（1）利用等差数列的性质或利用
来寻找；（2）利用到 图象的对称轴距离最
近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负
项的分界点.
跟踪训练2（1） 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，
则下列结论错误的是( )
C
A. B.
C. D. 与 均为 的最小值
[解析] 对于A选项，由 可得 ，故A选项正确；对于C选项，
由 可得 ，所以 ，故C选项错误；对于D选
项，由 可得 ，且 ， ， ，所以当
且 时， ，且 ，则 与 均为 的最小值，故D选项正
确；对于B选项，因为 ， ，当 时， ，所以
，故B选项正确.故选C.
（2）已知等差数列 的前 项和为 ，则( )
B
A.若 ， ，则 ，
B.若 ， ，则 ，
C.若 ， ，则 ，
D.若 ， ，则 ，
[解析] 设等差数列 的公差为 .对于A选项，若 ， ，则
, ， , ，则 ，
， ，无法
判断符号，故A选项错误.对于B选项， ，则
，所以 ，所以 .又 ，
则 ，所以 ， ，故B选项正确. 对于C选项，若
， ， , ，
,则 ，
，则 ，则 , ， ，故
C选项错误.对于D选项，若 ， ，则 , ，当 ,
时， ，所以 ，但 ，故D选
项错误.故选B.
【题型三】等差数列中的数学文化问题
例3（1） 《张丘建算经》卷上第22题：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月
日织九匹三丈.”其意思：今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同
量的布，若第一天织5尺布，现在一个月（按30天计）共织390尺布，则该女子最后一
天织布的尺数为( )
C
A.18 B.20 C.21 D.25
[解析] 依题意，得该女子每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为 ，
其中 ，前30项和为390，于是有 ，解得 ，即该女子
最后一天织21尺布．故选C.
（2）（多选题）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：
一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日
影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气
及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，
周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为
一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列选项正确
的有( )
ABC
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长短
[解析] 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列 ，其中 ， ，
公差为 ，则 ，解得 ，同理可知，由冬至到夏至的晷长构成
等差数列 ，首项 ，末项 ，公差 （单位都为寸），故
A正确.因为春分的晷长为 ，所以 因为秋分的晷长
为 ，所以 ，故B正确.因为立冬的晷长为 ，所以
，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确.因为立春的晷
长、立秋的晷长分别为 ， ，所以 ，
，所以 ，故D错误．故选 ．
规律方法 数列与数学文化解题三步骤
读懂题意 会脱去数学文化的背景，读懂题意
构建模型 由题意，构建等差数列或递推关系式的模型
求解模型
跟踪训练3（1） “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统
宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，
上梢四节贮三升，唯有中间二节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到
天明.”（［注］三升九：3.9升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数
学知识求得中间二节竹的容积为( )
A
A.2.1升 B.2.4升 C.2.3升 D.3.6升
[解析] 设从下至上各节竹的容积 ， ， ， 为等差数列，公差为 ，则由题意可知
即
解得
所以中间二节竹的容积为 ．故选A．
（2）（多选题）大衍数列来自《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经
历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前
10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是( )
AC
A.此数列的第20项是200 B.此数列的第19项是200
C.此数列偶数项的通项公式为 D.此数列的前 项和为
[解析] 观察此数列，偶数项通项公式为 ，奇数项是后一项减去后一项的项
数，即 ，由此可得 ，故A，C正确；
，故B错误； 是一个等差数列的前 项
和，而题中数列不是等差数列，不可能有 ，故D错误．故选 ．(共13张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.在数列 中， ， ，则 ( )
C
A.958 B.967 C.977 D.997
2.已知数列 满足 ，且 ，则 的第 项为
( )
A
A. B. C. D.
3.已知数列 满足 , ,则 _ _______.
4.已知数列 满足 ， ，则 _ ___________.
5.在数列 中， ，当 时， ，则数列 的通项公式为
_ ___________.
6.已知数列 满足 ， ，则 ___.
7.在数列 中，已知 ， ， .
（1）若 ，求数列 的通项公式；
解 由 ，得 ，由累加法得
，所以
，即 ，所以 , ，所以
，当 时，也成立，所以 .
（2）记 ，若在数列 中， ，求实数 的取值范围.
由（1）知 ， ，则 .因为 ，所以
，化简得 .当 时， ，即 ;
当 时， ，即 ，即 .故实数 的取值范围为 .
B层 能力提升练
8.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则数列 的通项公式为
( )
A
A. B. C. D.
9.已知数列 满足 ， , ,则 ( )
C
A. B.2 525 C. D.2 526
10.在数列 中， , 且 ，则 _____.
100
11.已知数列 满足 ，且 ，则 _______.
8 078
[解析] 由 ，可得 ，所以
，则当 时， ;当 时， 也符合上式，所以
，所以 .
12.已知数列 满足 ，且 ，则 的
通项公式为_ __________.
[解析] 依题意,数列 满足 ，且 .当
时， , ， ②， ,得
, ，则 ，所以
， , 都符合上式，所
以 的通项公式为 .
13.已知数列 满足 ， ，则 的通项公式
为_ _________________.
[解析] 由 ，得 ，则
，即 .又 ，
所以 .
14.在正项数列 中， ， ， ，则 的通
项公式 _ _________.
[解析] 对 两边同时取常用对数,可得
令 ，则
， ，所以
，所以 ，故 ，由
累乘法可得 .
因为 ，故 ，则
， ， 均满足 ，因此对任意的
， .
15.已知数列 满足 .若 ，则 _______；若 ，
则 _ _.
2 604
[解析] 由 取倒数,得 ，即 ，则当
时， ；当 时，上式也成立，则 .当 时，
，有 ，则
当 时，
，即 ，所以 .
C层 拓展探究练
16.在数列 中， ， ，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ，故 ，
记 ，则 ，两边取倒数，得 ，所以 是以
为公差的等差数列.又 ，所以 ，所以
，故 .故选C.
