(共13张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.在平均变化率的定义中，自变量 在 处的改变量 ( )
D
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不等于零
2.设函数 ，当自变量 由 改变为 时，函数值的改变量 为( )
D
A. B.
C. D.
3.一根金属棒的质量 （单位： ）与长度 （单位： ）的函数关系为
，则金属棒从 到 时,质量的平均变化率是( )
B
A. B. C. D.
4.（多选题）如图是表示物体甲、乙在时间 0 到 范围内路程的变化
情况，下列说法正确的是( )
BC
A.在0到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到 范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C.在 到 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在 到 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
5.函数 在区间 上的平均变化率为_ _________.
6.若函数 在区间 上的平均变化率为2，则 ___.
5
7.已知函数 在 上的平均变化率是函数 在 上的
平均变化率的 3 倍，求实数 的值.
解 函数 在 上的平均变化率为 ,函数 在 上的平
均变化率为 ,则 ,解得 .
B层 能力提升练
8.函数 在区间 上的平均变化率为 ，在区间 上的平
均变化率为 ，则( )
A
A. B. C. D.不确定
9.某物体沿水平方向运动，其前进距离 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系为
，则该物体在运动前 的平均速度为( )
C
A. B. C. D.
10.函数 的图象如图所示，则函数 在下列区间上平均变
化率最大的是( )
C
A. B. C. D.
11.已知函数 的图象上一点 及邻近一点 ，
则 ( )
D
A.3 B. C. D.
12.一个物体做直线运动，位移 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系
为 ，且这一物体在 这段时间内的平均速度为 ，则实
数 的值为( )
A
A.2 B.1 C. D.
13.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时
间内，该车每 100千米平均耗油量为( )
加油时间 加油量/升 加油时累计里程/千米
2022年10月1日 12 35 000
2022年10月15日 60 35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
C
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
14.某人服药后,吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度 （单位: ）来表
示,它是时间 （单位: ）的函数,表示为 ,下表给出了 的一些函数值:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
服药后 这段时间内,血液中药物质量浓度的平均变化率为________
.
15.将半径为 的球加热,若半径从 到 时,球的体积膨胀率为 ,则 的值
为___.
2
16.已知函数 在区间 ， 上的平均变化率分别为 ， ，那么
， 的大小关系为_ _______.
[解析] 当 , 时,平均变化率 ,当 , 时,平均变化率
,所以 .
17.有一圆柱形容器，其底面直径为 ，深度为 ，盛满液体后以 的速
率放出，求液面高度的平均变化率.
解 设液体放出 后液面高度为 ,则 ,所以
,液面高度的平均变化率为 .
C层 拓展探究练
18.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位： ）与时间 （单位：
）之间的函数关系为 ，则：
（1）前 内球的平均速度为___ ；
8
[解析] 由题设知， ， ，即平均速度为
.
（2）在 这段时间内球的平均速度为____ .
12
[解析] 由题设知， ， ，即平均速度为 .
19.已知函数 , , , ,分别计算这四个函数在区
间 上的平均变化率,并比较它们的大小.
解 , , , .
故在区间 上的平均变化率由大到小依次为 .(共13张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.函数的平均变化率
函数 在区间 上的平均变化率为 .若设
, ，则平均变化率为
.
， 的值可正也可负，但 ， 可为零，若函数 为
常值函数，则 .平均变化率的实质是函数值的改变量与自变量的改变量之比，其
意义是刻画函数值在区间 上变化的快慢. 它的几何意义为:如图，设
， 是曲线 上任意不同的两点，函数 的平均
变化率 为割线 的斜率.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求函数的平均变化率
例1 若函数 , 在 上的平均变化率分别记为 , ,则下列结
论正确的是( )
A
A. B.
C. D. , 的大小无法确定
[解析] , ,故 .故选A.
规律方法 求函数平均变化率的三个步骤
步骤1
步骤2
步骤3
跟踪训练1 若函数 在区间 上的平均变化率为3,则 ___.
2
【题型二】实际问题中的平均变化率
例2 一质点作直线运动,其位移 （单位: ）与时间 （单位: ）的函数关系为
,该质点在时间段 上的平均速度不大于5,则 的取值范围是
_ ______.
（0,
[解析] 质点在 上的平均速度为 .
又 ,所以 ,所以 .又 ,所以 的取值范围是 .
规律方法
实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似,首先求
,再求比值 .当函数解析式没有给定时,先根据实际问题求出函数
解析式,再重复上述步骤.
跟踪训练2 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 （单位: ）与起跳后的时
间 （单位: ）存在函数关系: ，则运动员在第一个 内
高度 的平均变化率为_________；高度 在 这段时间内的平均变化率为
_ _________.
【题型三】平均变化率的实际应用
例3 为了检测甲、乙两辆车的刹车性能,分别对两辆车进行了测试,甲车从 到
用了 ,乙车从 到 用了 ,试比较两辆车的刹车性能.
解 甲车速度的平均变化率为 ,乙车速度的平均变化率为
,平均变化率为负值说明速度在减少.因为刹车后,甲车的速度变化相
对较快,所以甲车的刹车性能较好.
规律方法
平均变化率的应用主要有:求某一时间段内的平均速度,物体受热膨胀率，高度（质量）的平均变化率等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.
跟踪训练3 已知气球的体积 （单位: ）与半径 （单位: ）之间的函数关系是
.
（1）求半径 关于体积 的函数 .
解 因为 ,
所以 , ,即 .
（2）比较体积 从 增加到 和从 增加到 半径 的平均变化率,哪段半径变
化较快（精确到 ） 此结论可说明什么意义
函数 在区间 上的平均变化率为 ,函数 在
区间 上的平均变化率为 .显然体积 从
增加到 时,半径 变化快,这说明气球刚开始膨胀得比较快,随着体积的增大,半径增加
得越来越慢.(共9张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.函数 在 处的导数为( )
C
A.9 B.6 C. D.
2.已知 ，且 ，则 的值等于( )
D
A. B.2 C. D.
3.（多选题）下列结论正确的是( )
ACD
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
4.（多选题）下列选项正确的是( )
BCD
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
5.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为________.
6.求下列函数的导数：
（1） ；
解 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） ；
.
（5） .
.
B层 能力提升练
7.曲线 的斜率等于1的切线有( )
B
A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定
8.已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则
( )
C
A.2 B.0 C.1 D.
9.如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则
( )
D
A. B.3 C. D.1
10.曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 ___.
1
11.设函数 ， , ， ， ,
，则 _ ______.
[解析] 由已知,得 , , , , , ,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则
12.若曲线 在点 处的切线与两个坐标轴所围成的三角形的面积为18，
求实数 的值.
解 因为 的定义域为 ,所以 ,所以曲线在点 处的切线斜
率 , ,所以切线方程为 .
令 ,得 ；
令 ,得 .
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ,所以
.
C层 拓展探究练
13.已知函数 的图象在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 ，
其中 .若 ，则 ____.
21
[解析] 因为 ,所以 的图象在点 处的切线方程为
.
又该切线与 轴的交点为 ,所以 ,即数列 是首项 ,公
比 的等比数列,所以 , ,所以 .(共14张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.能根据定义求函数 , , , , 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.求导公式
（1） （ 、 为常数）;
（2） （ 为常数）;
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6） ;
（7） ;
（8） （ 为常数 ）；
（9） ,且 ；
（10） ；
（11） ,且 ；
（12） ；
（13） ；
（14） .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数的求导问题
例1 求下列函数的导数:
（1） ；
解 .
（2） ；
.
（3） .
.
规律方法
直接利用求导公式求导,要特别注意“ 与 ”“ 与 ”“ 与 ”的导数的区别.
跟踪训练1 求下列函数的导数:
（1） ；
解 .
（2） ；
.
（3） .
.
【题型二】化简后再求导问题
例2 求函数 在 处的导数.
解 因为 ,
所以 ,
所以 .
规律方法
求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解.
跟踪训练2（1） 已知函数 ,则 _ _.
（2）已知函数 在 处的导数为 ,则实数 的值是_____.
【题型三】导数公式的应用
例3 已知曲线 , 是曲线上一点,求该曲线在点 处的切线方程.
解 因为 ,所以切线斜率 ,所以切线方程为 ,即 .
规律方法
（1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
（2）求过点 与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3（1） 已知 是曲线 的一条切线,则 _ __.
（2）求曲线 过点 的切线方程.
解 设切点为 .
因为 ,所以切线的斜率 .
又切线的斜率 ,所以 ,
即 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以切线方程为 ,即 .(共16张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.函数 的单调递减区间是( )
B
A. B.
C. D.
2.已知 在 上是可导函数, 的图象如图所示,则不等式
的解集为( )
C
A. B.
C. D.
3.函数 的单调递增区间为( )
A
A. B. C. D.
4.（多选题）函数 在区间 上的单调性是( )
AC
A.在 上单调递减 B.在 上单调递增
C.在 上单调递增 D.在 上单调递减
5.函数 的图象如图所示, 为函数 的导函数,则不
等式 的解集为______________________.
（ , ） （0,1）
6.判断函数 的单调性.
解 函数 的定义域为 , .
当 时, ；
当 时, ；
当 时, .
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
B层 能力提升练
7.[2023南京期末] 函数 的单调递增区间为( )
C
A. B. C. D.
8.已知函数 的导函数 的图象如图所示,则该函数的图象可能是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
9.函数 的导函数 在区间 上的图象大致是( )
A
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
10.（多选题）已知函数 的定义域为 ,其导函数 的图象
如图所示,则对于任意 , ,下列结论正确的是( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知, 是 上的减函数,且递减速度越来越慢,所以 图象的割线
斜率 为负,即 ,故A正确,B错误；
表示 对应的函数值, 表示 和 时所对应的函数值
的平均值,显然有 ,故C错误,D正确.故选 .
11.函数 的减区间为_ ____________.
（ , ）
12.函数 的单调递减区间为________.
（0,1）
13.[2023淮安期末] 已知定义在区间 上的函数 ，则 的单
调递增区间为_ ______.
,
[解析] 因为 ,则 .令
,即 ,且 ,所以 , ,所以 的单
调递增区间为 , .
14.已知函数 是 上的偶函数,且在 上有 ,若 ,则关于
的不等式 的解集是_ _______________________.
（ , ） （0,1）
[解析] 因为在 上， ,所以 在 上单调
递增.
又 为偶函数,所以 ,且 在 上单
调递减, 的草图如图所示,
所以 的解集为 .
15.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
解 因为 的图象在点 处的切线方程为 ,所以
,且 ,解得 ,
所以 .①
又 ,
所以
由①②，得 , （因为 ，所以 舍去），
所以所求函数的解析式是 .
（2）求函数 的单调区间.
由（1）知, .
令 ,解得 , ,当 或 时, ；当 时, .所以 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 和 .
C层 拓展探究练
16.（多选题）若函数 是自然对数的底数 在 的定义域上是
增函数,则称函数 具有 性质,则下列函数中具有 性质的是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 设 ,对于A, 在定义域 上是增函数,故A正
确；
对于B, , ,所以
在定义域 上是增函数,故B正确；
对于C, 在定义域 上是减函数,故C错误；
对于D, ,则 , 在定义域 上不恒成
立,故D错误.故选 .
17.已知函数 为常数, 为自然对数的底数 ,曲线 在点
处的切线与 轴平行.
（1）求实数 的值；
解 由 ,得 .
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行,所以 ,即 ,解得 .
（2）求函数 的单调区间.
由（1）知, .
设 ,
则 .
可知 在 上单调递减.由 知,当 时, ,故
；
当 时, ,故 .
综上, 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .(共16张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.导数与函数的单调性
一般地,在某区间上函数 的单调性与导数 有如下关系:
条件 结论
常数函数
名师点睛
（1）直观表示
（2）一般地,可导函数 在区间 上单调递增（减）的充要条件是:对
任意的 ,都有 ,且 在区间 的任何子区间上都不
恒等于0.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数图象与导函数图象的关系
例1 （多选题）在同一坐标系中作出三次函数 及其
导函数的图象,下列一定不正确的是( )
CD
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 易知 ,它是二次函数,图象为抛物线.
当 时, 单调递增；当 时, 单调递减 ,B中函数
图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；C中导函数为负的区间内相应的函数
不单调递减,故错误；D中导函数为正的区间内相应的函数不单调递增,故错误.故选 .
规律方法
函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断,即符号为正,图象上升；符号为负,图象下降.看导函数图象时,主要是看图象在 轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
跟踪训练1 若偶函数 为 的导函数, 的图象如图所示,则
函数 的图象可能为( )
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 由题意，得 为偶函数,设 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为
, , .由图象可得,当 时, ,则 单调递增,当
时, ,则 单调递减,当 时, ,则 单调递
增,故选项A错误,选项D错误；由 的图象可知, 在 左右的值是变化的,
而选项C中, 的图象在 左右是一条直线,其切线的斜率为定值,即导数 为
定值,故选项C错误,选项B正确.故选B.
【题型二】判断（证明）函数的单调性
例2（1） 求证:函数 在区间 上是单调递增的,在区间
上是单调递减的；
证明 因为 ,所以 当 时, ,即
，故函数 在区间 上是单调递增的；
当 时, ,即 ，故函数 在区间 上是单
调递减的.
（2）判断函数 在区间 上的单调性.
解 因为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
故 ，
所以函数 在区间 上单调递增.
规律方法
（1）利用导数证明函数 在给定区间上的单调性,实质上就是证明
或 在给定区间上恒成立.
（2）利用导数判断可导函数 在区间 上的单调性,步骤是:①求 ；②
确定 在区间 上的符号；③得出结论.
跟踪训练2 已知函数 求证: 在区间 上单调递增.
证明 因为 ,所以 在区间
上单调递增.
【题型三】求函数的单调区间
例3 求下列函数的单调区间:
（1） ；
解 的定义域为 , .由 ,得 ,解
得 或 ；由 ,得 .故 的增区间是 和
，减区间是 .
（2） .
.因为 ,所以 恒成立,故所求的减区间为
,无增区间.
规律方法 求函数 的单调区间的步骤
跟踪训练3 求下列函数的单调区间：
（1） ；
解 的定义域为 ,
.
令 ,得 或 ；
令 ,得 或 .故 的增区间是
和 ，减区间是 和 .
（2） .
函数 的定义域为 , .令 ,即
解得 ；令 ,即 解得 .
故函数 的增区间为 ，减区间为 .(共13张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.函数零点个数的判断（证明）方法
利用函数零点存在定理的条件为函数图象在区间 上是一条连续不断的曲线，
且有 .
（1）直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明
；
（2）分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明 .
知识点2.已知函数有零点求参数范围的方法
（1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，
通常解法为从 中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最
值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】判断函数零点的个数
例1 当 时，讨论函数 与 ， 图
象的交点个数.
解 令 ， ，题目中问题等价于
求 的零点个数． ，当 时， ，函数 单调
递减.因为 ， ，所以 有唯一零点；当 ，
或 时， ； 时， ，所以函数 在区
间 和 上单调递减，在区间 上单调递增.因为 ，
，所以 有唯一零点．综上，函数 有唯一零
点，即函数 与 的图象总有一个交点．
规律方法 解函数零点问题的一般思路
（1）对函数求导.（2）分析函数的单调性、极值情况.（3）结合函数性质画函数的草图.（4）依据函数草图确定函数零点情况.
跟踪训练1 讨论函数 的零点个数.
解 令 ．
①当 时， 在定义域 上恒大于0， 没有零点.
②当 时， ，易知 在区间 上恒成立，所以 在
定义域 上单调递增.因为 ， ，所以 有一
个零点.
③当 时， ．易知当 时，
，所以 在区间 上单调递减；当 时， ，所
以 在区间 上单调递增，所以当 时， 有极小值，也是最小值，
即为
当 时， ， 没有零点.
当 时， ， 有一个零点，该零点为 .
当 时， .因为 且 ，所以
在区间 上有一个零点.
因为当 时， ，所以 ，所以 ，所以
．因为 ，所以 ，
所以 在区间 上有一个零点．所以 在区间 上有两个零点．
综上，当 时，函数 没有零点；当 或 时，
函数 有一个零点；当 时，函数
有两个零点．
【题型二】已知函数零点个数，求参数的取值范围
例2 已知关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实数根，
求实数 的取值范围.
解 原方程可化为 ， ．令 ， ，
则 .因为当 时， ；当
时， ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递
增，所以 又 ， ，且
，
所以画出 的图象如图所示．
由图象，得 ，故实数 的取值范围是 ．
规律方法
根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象
与 轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求
得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”.
跟踪训练2 已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
解 当 时， ，则 ．当 时， ；当 时， ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
解 ．当 时， ，所以 在区间 上单调递
增，故 至多存在一个零点，不符合题意．当 时，由 ，得
当 时， ；当 时， ，所以
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．故当
时， 取得最小值，最小值为 ．①若 ，则
， 在区间 上至多存在一个零点，不符合题意．②若 ，
则 ．因为 ，所以 在区间 上存在唯一零
点．由（1）知，当 时， ，所以当 且 时，
．故 在区间
上存在唯一零点．从而 在区间 上有两个零点．综上， 的
取值范围是 ．(共16张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.设 ， 在 上可导，且 ，则当 时，有( )
D
A. B.
C. D.
2.已知 为定义在 上的可导函数， 为其导函数，且 恒成立，其
中 是自然对数的底，则( )
B
A. B.
C. D.
3.（多选题）已知函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，则
( )
BC
A. B. C. D.
4.设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有
，则不等式 的解集为( )
B
A. B. C. D.
5.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ， 为奇函数，且
，则不等式 的解集为________.
（1,2）
B层 能力提升练
6.已知定义在 上的偶函数 满足 ， .若
，则不等式 的解集为( )
B
A. B. C. D.
7.已知定义在 上的函数 的导函数为 ，对任意的 满足 .
若 的最小值为 ，则不等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
8.已知定义域为 的函数 满足 为函数 的导函数），
则不等式 的解集为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] .当 时，
，即
，即
.构造函数
, ，所以函数 单调递增，则
，此时 ，即 满足；当 时，
.由函数 单调递增，
得 ，此时 或 ，即 满足；当 时，
，即 满足 .综上， .故选A.
9.已知 是函数 的导函数，且对于任意的实数 都有
， ，则不等式 的解集为( )
A
A. B.
C. D.
10.已知函数 ，若对任意两个不相等的正实数 ， ，都有
，则实数 的最小值为( )
B
A. B. C. D.2
[解析] 由题意，不妨设 .因为对任意两个不相等的正实数 ， ，都有
，所以 ，即 ，
构造函数 ，则 ，所以
在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即
在 上恒成立.当 时，因为
，所以 ，所以 ，所以实
数 的最小值为 .故选B.
11.（多选题）已知 ，则( )
BC
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，即 .令 ，则有
，则 令 ，则 .令
，可得 ，当 时， ，函数 单
调递增；当 时， ，函数 单调递减，故
，所以总有 ，所以 单调递减,所以
，即 . 对于A， ，故A错误；对于B，设
，则 ，所以 在
上单调递增，所以 ，所以 .因为 ，所以
，故B正确；对于C， ，即
.设 ，则 ，则
，所以 单调递增.因为 ，所以 ，故C
正确；对于D， ，即 .令
，则 .因为
，所以 为偶函数，
所以 ，则 ,则 .令 ，则
，所以 单调递增.又 ，所以当 时，
， ，函数 单调递减,当 时， ， ，
函数 单调递增，当 时， ，故D错误.故选 .
12.已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 （ 是自
然对数的底数）， .若不等式 的解集中恰有三个整数，则实数
的取值范围是_ _______.
,
[解析] 因为 ，所以 ,
即 .设 .令 ，可得
，所以 , ，则 .令
, , ， .而不等式 的解集中恰有三个
整数，等价于不等式 的解集中恰有三个整数.由图象知，当 时，
不等式 的解集中恰有三个整数1,2,3，所以实数 的取值范围是 , .
，可得 在 上单调递增，令 ，可得 在 上
单调递减，所以 在 处取得极大值 ，作函数 的图象如图
所示，
C层 拓展探究练
13.已知定义在 上的函数 是奇函数，当 时，
，则不等式 的解集为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 是定义在 上的奇函数，所以函数 的图象关于
点 成中心对称，且 .当 时， ，则
，当且仅当 时取等
号，故 ，函数 在 上单调递增.因为函数 的
图象关于点 成中心对称，所以函数 在 上单调递增，所以不等式
可化为 或 解得 或
，故不等式
的解集为 .故选D.
14.已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，
对任意的 恒成立，且 ，则不等
式 的解集为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由 ，可得 ，即
.令 ，则 .令
， ，所以 在 上单调递减.
不等式 等价于 ，即
， ，所求不等式即 .由
于 在 上单调递减，所以 ，且 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .故选D.
15.已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有
， ，则不等式 的解
集是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意，得 ，则 .由 ，得 ，
故 ， .因为当 时，
， ， ， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增.又 ，故 为 上的偶函数，其图象
关于 轴对称， 在 上单调递减，故 ，解得 .故选
C.
