第一章 空间向量与立体几何（章末总结） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
章末总结
第 一 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
01知识结构
PART ONE
思维导图
知识结构
加法、减法、数乘运算
减法：三角形法则
加法：三角形法则或平行四边形法则
数乘：ka，k为正数,负数,零
运算律
加法交换律
数乘分配律
加法结合律
线性运算
知识结构
空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.
空间向量的数量积
数量积
数量积的性质
①⊥ ·＝0;　
②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2;
③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0;
④ |·|≤||·||.
⑤cos〈，〉=
证明两个向量垂直
求模长
夹角公式
知识结构
四点共面
知识结构
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
线线平行 l1∥l2 _________ ____________________
线面平行 l1∥α ______________ ________________
面面平行 α∥β ______________ ________________
线线垂直 l1⊥l2 _____________ ________________
线面垂直 l1⊥α ______________ ________________
面面垂直 α⊥β ______________ _____________
平行、垂直
知识结构
1.点到直线的距离（勾股定理）-平行线间的距离
2.点P到平面α的距离-平行线面、平行平面间的距离
距离问题
P
A
Q
D
A
Q
P
法1
法2
等体积法
知识结构
夹角问题
线线角θ：
线面角θ：
面与面的夹角θ：
02用空间向量研究问题
PART ONE
知识应用
1.已知空间向量 ，则 =__________；
向量 与的夹角为___________.
解析 由 ，则=(3,0,3)，所以
=，
==，所以向量与的夹角为 .
1.空间向量的运算
ABC
知识应用
1.空间向量的运算
知识应用
2.　空间向量解决线面位置关系问题
1.如图，由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=，AB=1,BC=BB1=2,
C1D=CD=平面CC1D 平面ACC1A1
（1）求证：AC DC1；
（2）若M为 DC1中点，求证：AM//平面DBB1；
解：（1） 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
CC1 平面ABC，又AC 平面ABC，∴CC1 AC ，
∵平面CC1D 平面ACC1A1,且平面 CC1D 平面ACC1A1=CC1，
又AC 平面 ACC1A1,∴AC 平面CC1D，
又 DC1 平面CC1D，∴AC DC1
知识应用
（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AA1平面A1B1C1，而A1B1,A1C1 平面A1B1C1,∴AA1，AA1又∠BAC=，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(2,,0),C1(0,,0),B(2,0,1),B1(0,0,1),D(1,,2)
所以，,-1)
设平面DBB1 的一个法向量为，则，
即，令y=1，则(0,1,，
∵M为DC1的中点，则M()，所以，
因为，所以，又 AM平面DBB1，∴AM//平面DBB1.
知识应用
2. 如图所示，已知平面，四边形为矩形，，，分别为，的中点.求证：
（1） //平面；
（2） 平面平面.
设，则，，，
，，因为分别为的中点，
所以.
解： 如图所示，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
知识应用
所以，，，
所以.
又因为平面，所以平面.
（2） 由（1）可知，，.
设平面的法向量为，
则即
知识应用
令，得，，
则.
设平面的法向量为，
则即
令，得，，则.
所以， 所以平面平面.
知识应用
1.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，
求证：AO//平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B是直二面角，求点B到平面GCF的距离．
3.空间向量解决距离问题
知识应用
(1)证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB，
∴O是线段BF与CE的中点，∴ OH//BC且OH=，在图1中知AG//BC且AG=BC，EF//BC且EF=BC，
所以在图2中，AG//BC且AG=BC，AG//OH且AG=OH，∴四边形AOHG是平行四边形，则AO//HG，
由于AO 平面GCF，HG平面GCF，∴AO//平面GCF.
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(2)解：由图1，EF，EF折起后在图2中仍有 EF，EF，
∴即为二面角A-EF-E 的平面角，∴=，
以E为坐标原点，分别为 轴和 轴正向建立空间直角坐标系E-xyz，
则B(2,0,0)、C(4,2,0)、F(0,4,0)、A(0,0,2)、G(0,2,2)，
∴,
设平面GCF 的一个法向量为
由，得，取，则z=1,
于是平面GCF的一个法向量 =(0,1,1)
点B到平面GCF的距离为d==.
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4.空间向量解决夹角问题
1.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
知识应用
知识应用
知识应用
2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2AB=AA1=4，CE=EC1，AF=3FA1.
（1）证明：BE 平面B1EF；
（2）求面EBF与面BFA夹角的余弦值.
解：(1)由条件可知BE=，BF=，EF=，
满足 ，EF BE.
BE=B1E=，BB1=4，
满足，BE B1E.
又 B1E， BE平面B1EF.
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(2)以AC 的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O- xyz，
则B(0,，E(-1,0,2)，F (1,0,3). ，，
设平面 BEF 的法向量为，，
取 得 = (.
易得平面 ABF 的一个法向量为 ，
cos，
面EBF与面BFA夹角的余弦值.
例3　如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
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5.空间向量探索性问题
1.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1P＝λA1B1.
(1)证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
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