湖南省常德市名校2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（PDF版含答案）

常德市名校 2023年下学期高二年级入学考试试卷
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1 2．已知集合 P x x 2x 0 ，Q x log2 x 1 1 ，则 RP Q
A． 0,1 B． 0,2 C． 1, 2 D． 1,2
2．如果不等式 x a 1
1 3
成立的充分非必要条件是 x ，则实数 a的取值范围是
2 2
1 3 1 3 3 1 3 1
A． a B． a C． a 或 a D． a 或 a
2 2 2 2 7 2 2 2
3π
3．已知扇形面积 ，半径是 1，则扇形的周长是
8
3π 1 3π 3πA． B． 2 C． 2
3π
D． 1
16 8 4 2
1
4 ．设 a,b 为单位向量， a在b 方向上的投影向量为 b，则 a 2b 2
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
5．已知0 m 1，0 n 1，且 2log4m log2 1 n
1 9
，则 的最小值是
m n
A．18 B．16 C．10 D．4
6 a 20.5．下列三个数： ，b 0.32 ， c log2 3，大小顺序正确的是
A． a b c B． a c b C． c a b D．b a c
7．如图，二面角 l 等于120 ， A,B是棱 l上两点， BD,AC分别在半平面 , 内，
AC l ， BD l，且 AB AC BD 2，则CD的长等于
A．2 3 B．2 2 C．4 D．2
8．已知函数 f x 2cos π x （ 0），若 f x 在区间 0,π 内有且仅有 3 个零点和 3 条对称轴，则 的取值范
6
围是
17 ,10 17A． B． ,
23 17 ,10 7 10 C．
6 3 6 6 6 3
D． ,
3 3
1
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二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．下列各式中值为 1 的是
A 2sin15 cos15 B cos275 sin 275 C 3． ． ． 2sin215 D．sin2 2023 cos2 2023
2
10．若 P AB 1 ， P A 2 ，P B 1 ，则事件A 与 B的关系错误是
9 3 3
A．事件A 与 B互斥 B．事件A 与 B对立
C．事件A 与 B相互独立 D．事件A 与 B既互斥又独立
π
11．已知函数 f x Asin x ， A 0, 0, 2 部分图象如图所示，下列说法正确的是
5π
A． f x 的图象关于直线 x 对称
12
f x 2π B． 的图象关于点 ,0 中心对称
3
π
C．将函数 y 3 sin 2x cos 2x的图象向左平移 个单位得到函数 f x 的图象
2
D．若方程 f x π m 在 ,0 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 2, 3 2
12．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，O为底面 ABCD的中心，
AC1交平面 A1BD于点 E，点 F为棱 CD的中点，则
A． A1，E，O三点共线 B．异面直线 BD与 AC1所成的角为90
8
C 3．点C1到平面 A1BD的距离为 D．过点 A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为3 9
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）

13 ．已知平面向量 a sin ,1 ,b 2,cos ，若 a b，则 tan .
14 4a 3b 6 2a b．已知 ，则 .
ab
15．正三棱锥 P ABC底面边长为 2,M为 AB的中点，且PM PC，则正三棱锥 P ABC外接球的体积为 .
16．在 ABC中， ACB 60 ，BC 2， AC AB 1，则 ABC周长的最小值为 .
四、解答题（共 70分，17题 10分，18-22题每题 12分）
1
17. （本小题满分 10 分）在 ABC中，A，B，C的对边分别为 a,b,c，若满足 c 3， cos B ．
3
（1）若 a 1，求b的大小；
（2）若满足 S a ABC 2 2 ，求 及 sin A 的值．
2
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18．（本小题满分 12 分）为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有 100
人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间 50,100 ，将他们的成绩（满分 100 分）分成五组，依次
为 50,60 、 60,70 、 70,80 、 80,90 、 90,100 ，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求出 a的值，并用各区间的中间值估计这 100 人的竞赛成绩的平均数；
(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在 80,100 （即第四、五组内）的学生中抽取了 12 人作为航天
知识宣讲使者.现从这 12 名使者中随机抽取 1 人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在 90,100 内的概率.
19．（本小题满分 12 分）某药品企业经过市场调研，生产某种药品需投入月固定成本 3 万元，每生产 x万件，需另
投入流动成本W x 1 2 144万元，在月产量不足 7 万件时，W x x 2x ；在月产量不小于 7 万件时，W x 7x 37 ，
2 x
每件药品售价 6 元，通过市场分析该企业的药品能当月全部售完．
(1)写出月利润P x （万元）关于月产量 x（万件）的函数解析式（注：月利润＝月销售收入－固定成本－流动成
本）；
(2)月产量为多少万件时，该企业在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
π
20 2．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) 2 3 cos x 2sin(π x) cos x 3．
2
π π
(1)当 x , 时，求 f (x) 的最大值和最小值，以及相应 x的值； 4 2
(2)若 f x π 14 3π ，求 的值．0 ,x ,π sin 2x
6 25 0
0
4
3
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21. （本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 A BCD中，平面 ABD 平面 BCD， AB AD，O为 BD的中点.
（1）证明：OA CD；
（2）若 OCD是边长为 1的等边三角形，点 E在棱 AD上，DE 2EA，且二面角 E BC D的大小为 45 ，
求三棱锥 A BCD的体积.
x x 1
22 2 b．（本小题满分 12 分）已知函数 f x ， g x logx a （ a 0且a 1），且 f 0 0 .2 b x b
(1)求 b的值，判断函数 g x 的奇偶性并说明理由；
(2)当a 2时，求不等式 g x 1的解集；
(3)若关于 x的方程m f x
2
m 1 f x 3 0有两个不同的解，求实数 m的取值范围.
4
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常德市名校 2023年下学期高二年级入学考试数学参考答案
一单选题：（40 分）
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A
二．多选题：（20 分）
9．CD 10．ABD 11．AD 12．AB
三填空题：（20 分）
1
13. 14.2 15. 6π 16．9 6 2
2
四．解答题：
17.解：（1）若 a 1，由余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB ，
2
可得b 1 9 2 1 3 1 8，即b 2 2 ................................................................... 4 分3
1 2 2
(2)因为 cos B 0 ，可知角 B为锐角，则 sin B 1 cos 2 B ，
3 3
1
又因为 S ABC ac sin B
1 a 3 2 2，即2 2 2
，解得a 2，................................. 7 分
2 3
b2 a2 c2由余弦定理 2accosB 4 9 2 2 3 1 9，即b 3 ，
3
b a 2 2 2
由正弦定理 ，可得 a sin B 3 4 2 . .................................10 分sin B sin A sin A
b 3 9
18.解（1）由 0.015 a 0.035 0.025 0.005 10 1，解得a 0.02；
这 100 人的竞赛成绩的平均数估计为：55 0.15 65 0.2 75 0.35 85 0.25 95 0.05 73.5 ...................4 分
（2）成绩在 80,90 的频率为 0.25，成绩在 90,100 的频率为 0.05，...............6 分
所以竞赛成绩在 80,90 ， 90,100 两个组的人数之比为5:1，采用分层抽样的方法从中抽取12人，
所以成绩在 80,90 5 1抽得的人数为12 10人，成绩在 90,100 抽得的人数为12 2 人
6 6
2 1
现从这 12 名使者中随机抽取 1 人作为组长，则这名组长的竞赛成绩在 90,100 内的概率为 ...............12 分
12 6
1 1
19.解：（1 2）由题意得，当0 x 7时， P x 6x x 2x 3 x 2 4x 3 ， ...........3 分
2 2
P x 6x 144 144当 x 7时， 7x 37 3 34 x ，
x x
5
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1 x2 4x 3,0 x 7
P x 2故 144 ..............6 分 34 x , x 7
x
1
（2）当0 x 7时， P x x 4 2 5，当 x 4时， P x 最大值为 5 万元．.............8 分
2
当 x 7时， P x 34 x 144 34 2 x
144
10， .............10 分
x x
144
当且仅当 x ，即 x 12时等号成立，即P x 最大值为 10 万元．
x
∵5 10 ，∴当月产量为 12 万件时，该企业所获利润最大值为 10 万元． .............12 分
π π π π 2π
20.解：（1） x , t 2x , ，
4 2 3 6 3
t π π π 1当 即 x 时， sin t sin y
6 4 min
，此时
6 2 min
1， . ............3 分
t π π当 x
5π
即 时， sin t sin 112 max 此时 ymax 2． .............6 分2 2
π
（2） f x0 2sin

2 x
π π
0 2sin
2π 14
6 6 3
2x0 ， ............8 分
3 25
sin 2x 2π 7 , 3π 5π 2π 4π 0 x0 π, 2x0 ，
3 25 4 6 3 3
cos 2x
2π
0

1 sin
2
2x
2π 24
0 ， ............8 分
3 3 25
2π 2π 2π ............12 分sin2x sin 2x sin 2x 2π 2π 2π0 0
3 3
0 3
cos cos 2x
3 0

3
sin
3
7 1 24 3 24 3 7
25 2 25 2 50
21.解:（1）因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 AO⊥BD
因为平面 ABD 平面 BCD=BD ,平面 ABD⊥平面 BCD， AO 平面 ABD，
因此 AO⊥平面 BCD，因为CD 平面 BCD，所以 AO⊥CD.. ..........5 分
(2)作 EF⊥BD 于 F, 作 FM⊥BC 于 M,连 FM，因为 AO⊥平面 BCD，所以 AO⊥BD, AO⊥CD
所以 EF⊥BD, EF⊥CD, BD CD D ,因此 EF⊥平面 BCD，即 EF⊥BC，
因为 FM⊥BC， FM I EF F ,所以 BC⊥平面 EFM，即 BC⊥MF，
EMF 则 EMF 为二面角 E-BC-D 的平面角, ，..........8 分
4
因为 BO OD , OCD为正三角形,所以 OCD为直角三角形，
6
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1 1
因为 BE 2ED , FM BF (1
1) 2
2 2 3 3
2
AO 1 Q AO V 1 1 1 3从而 EF=FM= 平面 BCD,所以3 AO S BCD 1 1 3
..........12 分
3 3 2 6
1 b x
22.解:（1）由 f 0 0 2 1 g x log x 1得b 1，故 f x ， .1 b 2x 1 a x 1
g x 为奇函数，理由如下：
g x x 1定义域满足 0，即 x , 1 1, ，
x 1
g x log x 1 log x 1
1 x 1
又 a

x 1 a
loga g x ，故 g x 为奇函数...........3 分
x 1 x 1
x 1 x 1 x 3
（2） a 2， g x log2 1 log 2 2 ，即 2，即 0，解得 x 3, 1 .x 1 x 1 x 1
故不等式 g x 1的解集为 3, 1 . ..........6 分
3 2
x 1 2 2
（ ） f x 的定义域为R， f x x 1 x ，为增函数，∵ 2x 1 1，∴0 x 2 ，∴ f x 1,1 .2 1 2 1 2 1
f x 3
经检验 f 0 0 2

不符合方程m f x m 1 f x 3 0，故可化为m f 2 x f x ，
1 f
2 x ff x 1,1 x 又 ，可化为 ，令 t = - f (x)+ 3 (2,3) (3,4 )，则m f x 3
3 t 21 t 3 t2 5t 6 t 6 5 .
m t t t
∵关于 x的方程m f
2
x m 1 f x
1 6
3 0有两个不同的解，即等价于 t 5在 t
m t (2,3) (3,4)有两个不
1
同的解，即等价于 y 与 g t t 6 5的图象在 t (2,3) (3, 4)有两个交点.m t
6 6
∵ g t t 5 2 t 5 2 6 5，当且仅当 t 6 时等号成立，且 g t 在 2, 6 单调递减，在( 6,3)、(3,4)单t t
调递增， g(2) = g(3)，
1 6 1
故当 y 与 g t t 5的图象在 t (2,3) (3, 4)有两个交点时， (2 6 - 5,0)，即m (- ,-2 6 - 5 .m t m )
故实数 m的取值范围为(- ,-2 6 - 5) . ..........12 分
7
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