3.4 方差 课件（34张PPT）

(共34张PPT)
第3章 · 数据的集中趋势和离散程度
3.4　方　差
学习目标
2.了解极差、方差是刻画数据离散程度的统计量,会在生活情境中利用方差解决问题.
1.掌握极差、方差的概念，会计算极差、方差;
知识回顾
1.平均数:反映数据的平均水平;
2.中位数:数据从小到大排列后,处于中间位置的数或中间
两数的平均数;
3.众 数:出现次数最多的数.
数据的分析指标
集中趋势
数据的集中趋势仅仅是数据分布的一个特征，反映的是一组数据向其中心值聚集的程度.生活中除了关心数据的集中趋势外，还需要关心数据之间的差异，考察数据的波动情况，即数据的离散程度.
生活·数学
问题1 下表是某市某一天在不同时间测得的气温情况：
时 间 0：00 4：00 8：00 12：00 16：00 18：00
气 温 25 ℃ 27 ℃ 29 ℃ 32 ℃ 34 ℃ 30 ℃
这一天的气温日温差多大？
解：这一天气温的最大值是34 ℃，最小值是25 ℃，
所以温差为34－25＝9(℃)．
最大值－最小值
新知归纳
我们把一组数据中最大值与最小值的差叫做极差.
极差：
极差反映一组数据的变化范围，在一定程度上描述了一组数据的离散（波动）程度．
问题2 某市2022年、2023年3月上旬的日最高气温如下(单位℃)：
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 3月10日
2022年3月 13 14 15 20 12 11 12 16 18 19
2023年3月 14 15 13 10 16 19 16 12 17 18
该市这两年中，哪一年3月上旬的日最高气温比较稳定？说说你的想法？
极差：2022年3月：20-11=9℃；
2023年3月：19-10=9℃.
两组数据的极差相同，即波动的范围相同.
生活·数学
气温的稳定性如何更精确地描述呢？
将上面两组数据绘制成图：
尝试·交流
观察上图发现气温的稳定性与各个数据偏离中心值(平均数)的程度有关.
2022年3月：
2023年3月：
怎样用数量来描述各个数据偏离中心值的程度呢？
尝试·交流
尝试一：把这些“差” 相加：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
2022年3月 13 14 15 20 12 11 12 16 18 19
与平均数的差
-2
-1
0
5
-3
-4
-3
1
3
4
-2+(-1)+0+5+(-3)+(-4)+(-3)+1+3+4=0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
2023年3月 14 15 13 10 16 19 16 12 17 18
与平均数的差
-1
0
-2
-5
1
4
1
-3
2
3
-1+0+(-2)+(-5)+1+4+1+(-3)+2+3=0
相同，无法描述
尝试·交流
尝试二：把这些“差”取绝对值相加：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
2022年3月 13 14 15 20 12 11 12 16 18 19
与平均数的差的绝对值
2
1
0
5
3
4
3
1
3
4
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
2023年3月 14 15 13 10 16 19 16 12 17 18
与平均数的差的绝对值
1
0
2
5
1
4
1
3
2
3
2+1+0+5+3+4+3+1+3+4=26
1+0+2+5+1+4+1+3+2+3=22
不相同，可以描述
尝试·交流
尝试三：把这些“差”的平方相加：
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
2022年3月 13 14 15 20 12 11 12 16 18 19
与平均数的差的平方
4
1
0
25
9
16
9
1
9
16
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
2023年3月 14 15 13 10 16 19 16 12 17 18
与平均数的差的平方
1
0
4
25
1
16
1
9
4
9
4+1+0+25+9+16+9+1+9+16=90
1+0+4+25+1+16+1+9+4+9=70
不相同，可以描述
尝试·交流
上述各差的平方和的大小还与什么有关？
——与数据的个数有关！
进一步用各差平方和的平均数来衡量数据的稳定性.
新知归纳
方差：
来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.记作s2
样本容量
样本平均数
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据偏离平均数的大小)
新知应用
例1 乒乓球的标准直径为40mm．质检部门对A、B两厂生产的乒乓球的直径进行检测，从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，测量结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．
(1)这两组数据的极差分别是_____，______．
0.4
0.4
例题讲解
(2)这两个厂家，哪个厂家生产的乒乓球质量比较稳定？
例题讲解
例题讲解
例2 某校九年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100个）为优秀.成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩如下表（单位：个）：
编　号 1号 2号 3号 4号 5号 总　数
甲　班 100 98 102 97 103 500
乙　班 99 100 95 109 97 500
经统计发现，两班5名学生踢毽子的总个数相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题：
60%　
40%　
100　
99
例题讲解
(3)计算两班比赛成绩数据的方差.
(4) 根据以上三条信息，你认为应该把团体第一名的奖状给哪个班？请说明理由.
解：(4) 应该把团体第一名的奖状给甲班.　
理由：∵ 甲班的优秀率比乙班高；甲班成绩的中位数比乙班高；甲班成绩的方差比乙班小，成绩比较稳定，
∴ 综合评定甲班的成绩比较好，应该把团体第一名的奖状给甲班.
新知归纳
比较两组数据的稳定性的步骤:
(1)计算这两组数据的平均数.
(2)分别计算各自的方差:
(3)得出结论：一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，即数据越不稳定；一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小，即数据越稳定.
可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
新知归纳
方差的意义：
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大，越不稳定.说明这组数据的离散程度越大；
方差越小，数据的波动越小， 越稳定. 说明这组数据的离散程度越小.
方差的适用条件：
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况．
在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；
当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据．
来描述一组数据的离散程度，并把它叫作这组数据的标准差．
在有些情况下，需要用方差的算术平方根，
即
新知归纳
知识归纳
1.平均数:反映数据的平均水平;
2.中位数:数据从小到大排列后,处于中间位置的数或中间
两数的平均数;
3.众 数:出现次数最多的数.
集中趋势
4.极 差:反映数据变化范围的大小,易受极端值影响;
5.方 差:反映数据波动的大小;
6.标准差:反映数据波动的大小,且与数据单位一致.
离散程度
数据的分析指标
新知巩固
1.为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加全国数学竞赛，李老师每个月对他们进行一次测验，如图是两人赛前5次测验成绩的折线统计图．(1)分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数、极差及方差；(2)请你从平均成绩及方差的角度分析，李老师应选派哪一名学生参加这次竞赛．
新知巩固
2.填表：
数 据 平均数 方差
1、2、3、4、5
11、12、13、14、15
3、6、9、12、15
3
2
13
9
2
18
(1)比较上面结果，你能发现什么规律？
拓展延伸
(2)请你用发现的结论来解决以下的问题：
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y. 则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为____，方差为____.
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为_____，方差为____.
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为___，方差为____.
X+3
Y
X-3
Y
3X
9Y
拓展延伸
课堂小结
方差
公式
意义
极差=最大值-最小值
方差越大(小)，数据的波动越大(小)
注意：要求方差，应先求样本的平均数，再代入公式求方差.
步骤为“先平均，后求差，平方后，再平均”.
当堂检测
1.要比较两名同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是( )
D
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
2. 5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm)：0，2，－2，－1，1，则这组数据的极差为( )
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 6名同学的年龄数据分别是13、14、15、14、14、15.关于这组数据，正确的说法是( )
D
A. 平均数是14 B. 中位数是14.5 C. 方差是3 D. 众数是14
5.设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则(　　)
A．x＝0 B．x1＋x2＋…＋xn＝0
C．x1＝x2＝…＝xn＝0 D．x1＝x2＝…＝xn
当堂检测
4.甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙的平均数均是7，甲的方差是1.2，乙的方差是5.8，下列说法中不正确的是( )
A. 甲、乙射中的总环数相同 B. 甲的成绩较稳定
C. 乙的成绩较稳定 D. 乙的成绩波动较大
C
D
当堂检测
6.某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示：
身高（cm） 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
那么，这批女演员身高的方差为 　 　，标准差为_________.
2 cm2
7.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3，则这组数据的方差是____.
　2　
8. 数据 -1，3，0 ，x 的极差是 5 ，则 x =________.
- 2或4
9. 一组数据的方差为s2，将这组数据中每个数据都除以2，所得新数据的方差是________．
当堂检测
10.甲、乙两班举行计算机打字比赛，参赛学生每分钟打字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟打字个数≥150为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①②③
当堂检测
11.为了研究甲、乙两种农作物的长势，分别抽取了10株秧苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8；
乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11.
经过计算后回答下面的问题：
（1）试比较两种农作物的平均高度；
当堂检测
（2）哪种农作物长得比较整齐？
当堂检测
12.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
(1)填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
当堂检测
(2)利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.