22.1.3二次函数y=a(x-h)? k 的图象和性质（第一课时） 课件（33张PPT）

(共33张PPT)
新课标 人教版 九年级上册
2023-2024学年度上学期人教版精品课件
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质(第一课时)
学习目标
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.理解抛物线y=ax 与抛物线 y=ax +k之间的联系.
3.能说出抛物线y=ax +k的开口方向、对称轴、顶点.
这个函数的图象是如何画出来呢？
x
y
复习提问
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 … …
8 3 0 -1 0 3 8
1.列表：
探究新知
10 5 2 1 2 5 10
8 3 0 -1 0 3 8
y=x2+1
10
8
6
4
2
-2
-5
5
x
y
y=x2-1
y=x2
O
2.描点，连线：
探究新知
【思考】抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
解析 它们的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是
（0，1）（0，-1）.
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=x2 向上 x=0 （0,0）
y=x2+1 向上 x=0 (0，1)
y=x2-1 向上 x=0 (0，-1)
探究新知
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解析 先列表：
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
例题讲解
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y = 2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
然后描点画图：
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
例题讲解
2
6
8
y
4
O
-2
2
x
4
-4
y = 2x2 -1
y = 2x2+1
-1
抛物线y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2+1 向上 x=0 （0,1）
y=2x2-1 向上 x=0 （0，-1）
解答：
探究新知
解：先列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
+1 ··· ···
1.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
探究新知
2
2
3
3
0
1
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
再描点、连线，画出这两个函数的图象：
探究新知
+1
【想一想】通过观察图象，二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？
探究新知
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
开口方向：向上
对称轴：x=0
顶点坐标：（0，k）
最值：当x=0时，有最小值，y=k
增减性：当x＜0时，y随x的增大而减小；
当x＞0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质
探究新知
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
探究新知
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 .
(2)三条抛物线的开口方向 ;
(3)对称轴都是__________
(4) 从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向下
直线x=0
( 0,0)
( 0，2)
( 0,-2)
探究新知
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________
(6) 函数的增减性都相同： __________________________
__________________________
高
大
y=0
y= -2
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
探究新知
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质
探究新知
注意：k带前面的符号！
例2 已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析 由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
例题讲解
抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，
在 侧，y随着x的增大而增大；
在 侧，y随着x的增大而减小.
（0,3）
y轴
对称轴左
对称轴右
巩固练习
解析式
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
x … …
y=2x2-1 … …
y=2x2 … …
y=2x2+1 … …
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x, )
(x, )
(x, )
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
2x2+1
探究新知
4
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
观察图象可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
从形的角度探究
探究新知
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当k > 0 时,向上平移 个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移 个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系
探究新知
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将 (　　 )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．
D
巩固练习
1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，分两步即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax的图象向上（或向下）平移︱k ︱单位.
第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
【想一想】
探究新知
连接中考
中考链接
1.（2023秋 九龙坡区期末）关于抛物线y＝﹣x2+2，
下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．有最小值
D．当x＜0时，函数y随x的增大而减小
连接中考
中考链接
2.（2023 濠江区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
1.抛物线 y=2x2 向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　
2.填表：
y = 2x2－4
函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点
y = ３x2
y = 3x2＋1
y = -4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
随堂练习
3.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点 (-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
在
=2
>2
<2
随堂练习
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x
时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
随堂练习
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
D
解析 此类题目就是看字母a、k在两个函数中符号一致，选项A二次函数中a＜0，一次函数中a＞0，故错误；选项B二次函数中a＞0，一次函数中a＜0，故错误；选项C二次函数中a＞0，一次函数中a＜0，故错误；选项D二次函数中a＜0，一次函数中a＜0.
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
随堂练习
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）， 则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
随堂练习
1.开口方向由a的符号决定；
2.k决定顶点位置；
3.对称轴是y轴.
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂小结
课堂小结
祝所有同学
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
不负韶华