2023-2024学年江苏省扬州市高三上学期期初模拟数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市高三上学期期初模拟数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 在中，“”是“”的( )
A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 充要条件
3. 重庆八中五四颁奖典礼上有，，，，，共个节日，在排演出顺序时，要求，相邻，，不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图所示．已知球的半径为，酒杯的容积，则其内壁表面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需
6. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，是椭圆上两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 已知，则．( )
A. B. C. D.
8. 设函数，若，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10. 如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是经过点的半圆弧上的动点不包括端点，点是经过点的半圆弧上的动点不包括端点，则下列说法正确的是( )
A. 四面体的体积是定值
B. 的取值范围是
C. 若与平面所成的角为，则
D. 若三棱锥的外接球表面积为，则
11. 若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是( )
A. 一定为正数
B. 是的一个周期
C. 若，则
D. 若在上单调递增，则
12. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 方程的解集为_____________ ．
14. 若为等差数列的前项和，且，则数列的通项公式是___________．
15. 若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为_______．
16. 在锐角中，内角所对的边分别是，若，则的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在中，，，点在边上，，为锐角．
若，求线段的长度；
若，求的值．
18. 本小题分
设数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．
19. 本小题分
在，，，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答如图，在五面体中，已知___________，，，且，．
求证：平面与平面；
线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20. 本小题分
政府举办“全民健身乒乓球比赛”，比赛规则为：每队人，男男号，男号，女女号，女号，比赛时第一局两队男号进行单打比赛，第二局两队女号进行单打比赛，第三局两队各派一名男女运动员参加混双比赛，第四局两队男号进行单打比赛，第五局两队女号进行单打比赛，五局三胜，先胜局的队获胜，比赛结束某队中的男甲和男乙两名男队员，在比赛时，甲单打获胜的概率为，乙单打获胜的概率为，若甲排号，男女混双获胜的概率为；若乙排号，男女混双获胜的概率为每局比赛相互之间不受影响
记表示男甲排号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，求的分布列；
若要该队第一局和男女混双这两局比赛获胜局数的数学期望大，甲、乙两人谁排号？加以说明．
21. 本小题分
已知椭圆的上顶点为右顶点为．点为坐标原点的面积为，直线被椭圆所截得的线段长度为．
椭圆的标准方程；
试判断椭圆内是否存在圆，使得圆的任意一条切线与椭圆交于，两点时，满足为定值？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数，．
若曲线在处的切线与直线垂直，求函数的极值；
若函数的图象恒在直线的下方．
求的取值范围；
求证：对任意正整数，都有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域及集合的并集，属基础题．
求出集合，，求并集即可．
【解答】
解：依题意，得，，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：在三角形中，
由正弦定理可得，
又因为，，而余弦函数在区间单调递减，
故A，
所以，
即“”是“”的充要条件，
故选：．
在三角形中根据正弦定理可得，然后再根据余弦函数的单调性即可求解．
本题考查了四个条件的简单应用，涉及到三角形中正弦定理的应用以及余弦函数的单调性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了排列与排列数公式，属于基础题可将，看作一个整体，与，，一起排列，有种排法，将，插入到个空位当中有种排法，从而得出结果．
【解答】
解：相邻，可将，看作一个整体，与，，一起排列，有种排法，
不相邻，可将，插入到个空位当中有种排法，
故该典礼节目演出顺序的不同排法种数为种．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了球的体积公式及表面积公式，也考查了圆柱的体积公式及表面积公式，属于基础题．
由球的体积公式及表面积公式，结合圆柱的体积公式及表面积公式求解即可．
【解答】解：设圆柱的高为，
则，即，
则其内壁表面积为．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查指数函数模型、对数的运算性质的应用，解指数方程，属于中档题．
由题意可得，由此求得的值，再对各选项逐项计算，即可求出结果．
【解答】解：的牛奶，放在的空气中冷却，分钟以后物体的温度是，
则，
，
两边取以为底的对数，得
，解得，
所以，
当牛奶的温度从降至时，，
即，解得，
所以牛奶的温度降至还需．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义，是中档题．
设，则，，，在中，求得，
在中，由勾股定理求出 ，由此能求出椭圆的离心率．
【解答】
解：连接，设，则，，
，，
在中，
，即
，
在中
，
，又
，故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数化简求值，属于基础题．
利用三角恒等变换求得，由诱导公式即可求解．
【解答】
解：
所以，
即，
即，
所以．
则．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：函数，，
，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值，属于基础题目．
【解答】
解：，，．
对于，，当且仅当时取等号，故A正确
对于，当时，，故B错误
对于，，当且仅当时取等号，故C正确
对于，，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直四棱柱的特征以及棱锥体积和线面角以及外接球表面积公式，属于难题．
利用三棱锥体积公式判断；利用数量积判断；利用线面角判定；建立空间坐标系，利用外接球表面积公式判断．
【解答】
解：直四棱柱中，点到面的距离．
设点到的距离为，
所以，为不定值，
所以四面体的体积不是定值，故A错误；
对于，因为，在直角三角形中，，
则，
因为，
所以的取值范围是，故B正确；
对于，易知与平面所成的角为，
所以，
因为，所以，故C正确；
对于，因为，
即，得，又，即有，
又平面且、平面，
则，，
则以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间坐标系，如图所示：
取中点为，中点为，则，
所以，
设，则，
设三棱锥的球心为，则，因为，
可得可得．
因为所以
所以，所以，故D正确．
故答案选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性，奇偶性，周期性和对称性，属于较难题．
由，结合已知可判断；由函数对称性，奇偶性得出函数的周期，判断；由周期性可得，求出可判断；若，由，，得出与已知矛盾，判断．
【解答】
解：对于，若函数为，符合题意，故，A错误；
对于，依题设关于直线对称，
故，即，，
又由是偶函数知，，
，，
将上式中以代换，得，，
这表明是上的周期函数，且是它的一个周期，故B正确；
对于，由，是以为周期的周期函数，，
因为对，，，都有，
所以，
，
，，，，
所以，，即，故C正确
对于，若，则，
，，，
，，与在上单调递增，相矛盾，
所以，错误，原命题在上单调递增，则正确．
故选BCD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的基本性质，条件概率公式，属于中档题．
根据概率的基本性质及条件概率逐项求解即可．
【解答】
解：由题意，
对于，，所以，故A错误；
对于，由，所以，所以，故B正确；
对于，，故C正确；
对于：由，所以，
所以，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角方程的解法，二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
由题结合二倍角公式求得，，由此求出方程的解集．
【解答】
解：方程，可得，
即，可得舍去，或，
解得，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由，得，
由，得，
又，解得，
所以．
故答案为：．
设等差数列的公差为，由，得到，再由，令求解．
本题考查了等差数列的通项公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的零点与极值，属于中档题．
由题意，列出关于的不等式，结合得到的取值范围即可．
【解答】
解：由题意，，
又在内存在零点，由于，故，即
又由于，且，又，
故，从而，即
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦定理、二倍角公式及余弦函数的性质，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键．
利用三角形为锐角三角形，得出角的范围，由正弦定理、二倍角公式得，根据余弦函数的性质即可得出．
【解答】
解：由得，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则在中，
由正弦定理得．
故答案为．
17.【答案】解：在中，由余弦定理得，
或．
当时，，则，不合题意，舍去；
当时，，则，符合题意．
．
在中，，
或舍．
．
记，则，
在中，，
为锐角，得，，
即，，
法一：，
同理．
由知：，
．
法二：，．
．

【解析】本题主要考查余弦定理解三角形，涉及三角恒等变换，属于中档题．
分别在、中，由余弦定理求，，即可求的长度；
记，则，在中由余弦定理求、、，
法一：即可求、，由已知求，由即可求值；
法二：由余弦定理求，可得，由即可求值．
18.【答案】解：当时，，解得，
当时，
，
，
，，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
数列的通项公式为；
由得，
数列中落入区间内，
，
，，
，
数列中落入区间内的项的个数，
，
，
，即，
当时，，
当时，，
随的增大而增大，
的最小整数为．
【解析】根据已知条件，分，两种情况讨论，即可求解；
由得，由，推出，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值．
本题主要考查数列求和，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】证明：若选，取中点，中点，中点，连接，
，，四边形为平行四边形，，
，又，，
，，
又，，又，，平面，
平面，平面，平面平面，
，，又平面，平面平面，
平面，又，，；
若选，，，，平面，
平面，平面，平面平面，
取中点，中点，连接，
，，又平面，平面平面，
平面，又，，；
若选，取中点，中点，连接，
，，又，；
分别为中点，，又，，
四边形为平行四边形，；
，，，，，
，，，
，又，，
又，，平面，
平面，平面，平面平面，
又，平面，平面平面，
平面，又，，；
综上所述：两两互相垂直，
则以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
，，
平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则
令，解得：，，，
，即，平面与平面．
设在线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，
由得：，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
，
由平面的法向量的一个法向量为，
，
化简可得：，解得：或舍，
，，；
综上所述：在线段上存在点，满足，使得平面与平面夹角的余弦值等于．
【解析】本题考查面面垂直的判定，利用空间向量求面面夹角，属于较难题．
若选，取中点，中点，中点，可证得四边形为平行四边形，从而利用勾股定理和平行关系证得，由线面垂直和面面垂直判定得到平面平面，利用面面垂直性质可证得平面；
若选，取中点，中点，由线面垂直和面面垂直的判定可证得平面平面，利用面面垂直性质可证得平面；
若选，取中点，中点，根据长度和平行关系可证得四边形为平行四边形，由此确定，得到，结合可得，从而利用勾股定理和平行关系证得，由线面垂直和面面垂直判定得到平面平面，利用面面垂直性质可证得平面；
三个条件均可说明两两互相垂直，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面垂直的向量证明方法可证得结论；
假设存在满足题意的点，利用二面角的向量求法可构造方程求得，由此可确定点位置，得到的值．
20.【答案】解：
的可能取值为，
，，
，
故分布列为：
由知，甲排号时，期望值为，
设表示男乙排号时，该队第一局和男女混双两局比赛获胜局数，
则的可能取值为，
则，，
，
故期望值为，
因为，故乙排号时期望值更大．

【解析】本题考查了独立事件的概率以及分布列与期望，属于中档题．
求出的可能取值及对应的概率，得到分布列；
在的基础上，求出男甲排号时的期望值，再求出男乙排号时的期望值，比较后得到结论．
21.【答案】解：由题意知，，由，得
设直线与椭圆交于点，，则，
把代入椭圆方程，得，
故，即．
由，解得或舍去，
所以椭圆的标准方程为
假设存在这样的圆，设．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由，得．
设，，则，，
故
．
由，得．
由，得，当与无关时，，，
即圆的半径为，
当直线的斜率不存在时，若直线的方程为，
将其代入椭圆的方程，得，，
此时．
若直线的方程为，同理可得．
综上，存在满足题意的圆，其方程为．

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题，
由题意得，设直线与椭圆交于点，，结合直线被椭圆所截得的线段长度，可得，联立可得结果；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得圆的半径，再研究直线的斜率不存在时的情况，综合可得结果．
22.【答案】解由可得，
由条件可得，即，
则，，，
令可得，
当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增，
的极大值为，无极小值；
由条件可知：只需，
即在上恒成立．
即，而，
，恒成立．
令，则，令，可得．
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为，
，即实数的取值范围是；
证明：由可知，时，，
即对任意的恒成立．
令，则．
，
即，
．
【解析】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数及利用分离法求解参数范围问题，体现了转化思想的应用，属难题．
先对函数求导，然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求，然后结合单调性可求极值；
由已知可得在上恒成立，分离参数后通过构造函数，转化为求解相应函数的最值，结合导数可求；
结合可得对任意的恒成立，赋值，可得，然后结合对数的运算性质可求．
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